1、1第四章 向量组的线性相关性1 设 v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T 求 v1v2及 3v12v2v3 解 v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T(10 11 01)T(1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设 3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求 a 其中 a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解 由 3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得5(6)1 ,4(5)10 ,() , TTT(1 2
2、 3 4)T 3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明 B 组能由 A 组线性表示 但 A 组不能由 B 组线性表示 证明 由312304) ,( 9718205640 r54076 r 0342 r2知 R(A)R(A B)3 所以 B 组能由 A 组线性表示 由 0121023214rr知 R(B)2 因为 R(B)R(B A) 所以 A 组不能由 B 组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T
3、b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价 证明 由012312010),( rr知 R(B)R(B A)2 显然在 A 中有二阶非零子式 故 R(A)2 又 R(A)R(B A)2 所以 R(A)2 从而 R(A)R(B)R(A B) 因此 A 组与 B 组等价5 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明(1) a1能由 a2 a3线性表示 (2) a4不能由 a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由 R(a2 a3 a4)3 知 a2 a3 a4线性无关 故 a2 a3也线性无关 又由 R(a1 a2 a3)2 知 a1 a2 a3线性相关
4、 故 a1能由 a2 a3线性表示 (2)假如 a4能由 a1 a2 a3线性表示 则因为 a1能由 a2 a3线性表示 故 a4能由 a2 a3线性表示 从而 a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此 a4不能由 a1 a2 a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 3(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为 01272rrA所以 R(A)2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为 B 因为 020431|B所以 R(
5、B)3 等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关7 问 a 取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 由)(| A知 当 a1、0、1 时 R(A)3 此时向量组线性相关 8 设 a1 a2线性无关 a1b a2b 线性相关 求向量 b 用 a1 a2线性表示的表示式 解 因为 a1b a2b 线性相关 故存在不全为零的数 1 2使1(a1b)2(a2b)0 由此得 2121)(aa设 则21cbca1(1c)a2 cR 49 设 a1 a2线性相关 b 1 b2也线性相关 问 a1b1 a2b2是否一
6、定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当 a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而 a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组 a1 a2 am是线性相关的 则 a1可由 a2 am线性表示 解 设 a1e1(1 0 0 0) a2a3 am0 则 a1 a2 am线性相关 但 a1不能由 a2 am线性表示 (2)若有不全为 0 的数 1 2 m使1a1 mam1b1 mbm0成立 则 a1 a2 a
7、m线性相关 , b1 b2 bm亦线性相关 解 有不全为零的数 1 2 m使1a1 mam 1b1 mbm 0原式可化为1(a1b1) m(ambm)0 取 a1e1b1 a2e2b2 amembm 其中 e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而 a1 a2 am和 b1 b2 bm均线性无关 (3)若只有当 1 2 m全为 0 时 等式1a1 mam1b1 mbm0才能成立 则 a1 a2 am线性无关, b 1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当 1 2 m全为 0 时 等式由 1a1 mam1b1 mbm 05成立 所以只有当 1 2 m全为 0 时 等式1(a1b1)2(a2b
8、2) m(ambm)0成立 因此 a1b1 a2b2 ambm线性无关取 a1a2 am0 取 b1 bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但 a1 a2 am线性相关 (4)若 a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为 0 的数 1 2 m使1a1 mam0 1b1 mbm0同时成立 解 a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)T 1a12a2 01221b12b2 01(3/4)2120 与题设矛盾 11 设 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组 b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得a1b1a
9、2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是 a1 b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而 b1b2b3b40 这说明向量组 b1 b2 b3 b4线性相关12 设 b1a1 b2a1a2 br a1a2 ar 且向量组 a1 a2 ar线性无关 证明向量组 b1 b2 br线性无关 证明 已知的 r 个等式可以写成6 10) , ,() ,(2121 rrab上式记为 BAK 因为|K|10 K 可逆 所以 R(B)R(A)r 从而向量组 b1 b2 br线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组 (1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a
10、3(2 4 2 8)T 解 由 0193208149) ,( 321 rr知 R(a1 a2 a3)2 因为向量 a1与 a2的分量不成比例 故 a1 a2线性无关 所以a1 a2是一个最大无关组 (2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7) 解 由 059118097634) ,( 21 rr知 R(a1T a2T a3T)R(a1 a2 a3)2 因为向量 a1T与 a2T的分量不成比例 故 a1T a2T线性无关 所以 a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 (1) 4820351977解 因为4820
11、35197132r534732r01437所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.(2) 40解 因为140325142r 2015234r0215所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T的秩为 2 求 a b 解 设 a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为 52013610) ,( 2143 babrr而 R(a1 a2 a3 a4)2 所以 a2 b5 16 设 a1 a2 an是一组 n 维向量 已知 n 维单位坐标向量 e1 e2 en8能由它们
12、线性表示 证明 a1 a2 an线性无关 证法一 记 A(a1 a2 an) E(e1 e2 en) 由已知条件知 存在矩阵K 使EAK 两边取行列式 得|E|A|K|可见|A |0 所以 R(A)n 从而 a1 a2 an线性无关证法二 因为 e1 e2 en能由 a1 a2 an线性表示 所以R(e1 e2 en)R(a1 a2 an)而 R(e1 e2 en)n R(a1 a2 an)n 所以 R(a1 a2 an)n 从而 a1 a2 an线性无关17 设 a1 a2 an是一组 n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一 n 维向量都可由它们线性表示 证明 必要性 设 a
13、为任一 n 维向量 因为 a1 a2 an线性无关 而 a1 a2 an a 是 n1 个 n 维向量 是线性相关的 所以 a 能由 a1 a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一 n 维向量都可由 a1 a2 an线性表示 故单位坐标向量组 e1 e2 en能由 a1 a2 an线性表示 于是有nR(e1 e2 en)R(a1 a2 an)n即 R(a1 a2 an)n 所以 a1 a2 an线性无关 18 设向量组 a1 a2 am线性相关 且 a10 证明存在某个向量 ak (2km) 使 ak能由 a1 a2 ak1线性表示 证明 因为 a1 a2 am线性相关 所以存在
14、不全为零的数 1 2 m 使91a12a2 mam0而且 2 3 m不全为零 这是因为 如若不然 则 1a10 由 a10知 10 矛盾 因此存在 k(2km) 使k0 k1k2 m0于是 1a12a2 kak0ak(1/k)(1a12a2 k1ak1)即 ak能由 a1 a2 ak1线性表示19 设向量组 B b1 br能由向量组 A a1 as线性表示为(b1 br)(a1 as)K 其中 K 为 sr 矩阵 且 A 组线性无关 证明 B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 R(K)r 证明 令 B(b1 br) A(a1 as) 则有 BAK必要性 设向量组 B 线性无关 由向量组
15、 B 线性无关及矩阵秩的性质 有rR(B)R(AK)minR(A) R(K)R(K) 及 R(K)minr sr因此 R(K)r充分性 因为 R(K)r 所以存在可逆矩阵 C 使 为 K 的标准形 OEr于是(b1 br)C( a1 as)KC(a1 ar) 因为 C 可逆 所以 R(b1 br)R(a1 ar)r 从而 b1 br线性无关 20 设1013212321 nnn证明向量组 1 2 n与向量组 1 2 n等价 证明 将已知关系写成 01) , ,() , ,(2121 nn将上式记为 BAK 因为)(01| 1nK所以 K 可逆 故有 ABK 1 由 BAK 和 ABK 1可知向
16、量组 1 2 n与向量组 1 2 n可相互线性表示 因此向量组 1 2 n与向量组 1 2 n等价21 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x 满足 A3x3AxA2x 且向量组 x Ax A2x 线性无关 (1)记 P(x Ax A2x) 求 3 阶矩阵 B 使 APPB 解 因为APA(x Ax A2x)(Ax A2x A3x)(Ax A2x 3AxA2x) 10,11所以 103B(2)求|A| 解 由 A3x3AxA2x 得 A(3xAxA2x)0 因为 x Ax A2x 线性无关 故3xAxA2x0 即方程 Ax0有非零解 所以 R(A)3 |A|0 22 求下列齐次线性方程组的
17、基础解系 (1) 268541432xx解 对系数矩阵进行初等行变换 有 04/13 10rA于是得 4321)/(/xx取(x 3 x4)T(4 0)T 得(x 1 x2)T(16 3)T 取(x 3 x4)T(0 4)T 得(x 1 x2)T(0 1)T 因此方程组的基础解系为1(16 3 4 0)T 2(0 1 0 4)T (2) 67852431xx解 对系数矩阵进行初等行变换 有 0019/7/21 2rA于是得12 4321)19/7()/4(xx取(x 3 x4)T(19 0)T 得(x 1 x2)T(2 14)T 取(x 3 x4)T(0 19)T 得(x 1 x2)T(1 7
18、)T 因此方程组的基础解系为1(2 14 19 0)T 2(1 7 0 19)T (3)nx1 (n1)x2 2xn1xn0.解 原方程组即为xnnx1(n1)x2 2xn1取 x11 x2x3 xn10 得 xnn 取 x21 x1x3x4 xn10 得 xn(n1)n1 取 xn11 x1x2 xn20 得 xn2 因此方程组的基础解系为1(1 0 0 0 n)T 2(0 1 0 0 n1)T n1(0 0 0 1 2)T 23 设 , 求一个 42 矩阵 B, 使 AB0, 且82593AR(B)2.解 显然 B 的两个列向量应是方程组 AB0的两个线性无关的解 因为 8/15 8259
19、31r所以与方程组 AB0同解方程组为 4321)/()/xx13取(x 3 x4)T(8 0)T 得(x 1 x2)T(1 5)T 取(x 3 x4)T(0 8)T 得(x 1 x2)T(1 11)T 方程组 AB0的基础解系为1(1 5 8 0)T 2(1 11 0 8)T 因此所求矩阵为 B24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为1(0 1 2 3)T 2(3 2 1 0)T 解 显然原方程组的通解为, 即 (k1 k2R) 0321432kx4312x消去 k1 k2得2431此即所求的齐次线性方程组.25 设四元齐次线性方程组I II 0421x04321x求 (1)方程 I
20、与 II 的基础解系 (2) I 与 II 的公共解 解 (1)由方程 I 得 421取(x 3 x4)T(1 0)T 得(x 1 x2)T(0 0)T 取(x 3 x4)T(0 1)T 得(x 1 x2)T(1 1)T 14因此方程 I 的基础解系为1(0 0 1 0)T 2(1 1 0 1)T 由方程 II 得 43x取(x 3 x4)T(1 0)T 得(x 1 x2)T(0 1)T 取(x 3 x4)T(0 1)T 得(x 1 x2)T(1 1)T 因此方程 II 的基础解系为1(0 1 1 0)T 2(1 1 0 1)T (2) I 与 II 的公共解就是方程III 04321x的解
21、因为方程组 III 的系数矩阵 021 10rA所以与方程组 III 同解的方程组为 4321x取 x41 得( x1 x2 x3)T(1 1 2)T 方程组 III 的基础解系为(1 1 2 1)T 因此 I 与 II 的公共解为 xc(1 1 2 1)T cR 26 设 n 阶矩阵 A 满足 A2A E 为 n 阶单位矩阵, 证明R(A)R(AE)n证明 因为 A(AE)A2AAA0 所以 R(A)R(AE)n 15又 R(AE)R(EA) 可知R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n由此 R(A)R(AE)n 27 设 A 为 n 阶矩阵(n2) A*为 A 的伴随阵
22、证明2)( 011)nR当当当证明 当 R(A)n 时 |A|0 故有|AA*|A|E|A|0 |A*|0 所以 R(A*)n当 R(A)n1 时 |A|0 故有AA*|A|E0即 A*的列向量都是方程组 Ax0的解 因为 R(A)n1 所以方程组 Ax0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为 1 因此 R(A*)1当 R(A)n2 时 A 中每个元素的代数余子式都为 0 故 A*O 从而 R(A*)0 28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 (1) 32351241xx解 对增广矩阵进行初等行变换 有21038 50rB与所给方程组同解的方程为 4321x当
23、x30 时 得所给方程组的一个解 (8 13 0 2)T 16与对应的齐次方程组同解的方程为0 4321x当 x31 时 得对应的齐次方程组的基础解系 (1 1 1 0)T (2) 62415341xx解 对增广矩阵进行初等行变换 有 002/179 3rB与所给方程组同解的方程为)/(1/432xx当 x3x40 时 得所给方程组的一个解(1 2 0 0)T与对应的齐次方程组同解的方程为4321)/(/79xx分别取(x 3 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系1(9 1 7 0)T 2(1 1 0 2)T29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 已知 1
24、 2 3是它的三个解向量 且1(2 3 4 5)T 23(1 2 3 4)T求该方程组的通解 17解 由于方程组中未知数的个数是 4 系数矩阵的秩为 3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于 1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得21(23)(12)(13) (3 4 5 6)T为其基础解系向量 故此方程组的通解 xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T (kR)30 设有向量组 A a1( 2 10)T a2(2 1 5)T a3(1 1 4)T 及 b(1 1)T 问 为何值时(1)向量 b 不能由向量组 A 线性表示 (2)向量 b 能由向量组
25、A 线性表示 且表示式唯一 (3)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 10542), (123a 34012r(1)当 4 0 时 R(A)R(A b) 此时向量 b 不能由向量组 A 线性表示 (2)当 4 时 R(A)R(A b)3 此时向量组 a1 a2 a3线性无关 而向量组a1 a2 a3 b 线性相关 故向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式唯一 (3)当 4 0 时 R(A)R(A b)2 此时向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一 当 4 0 时 10542) ,(123ba0132 r方程组(a 3 a2 a1)xb 的解
26、为 cR c33因此 b(2c1)a3(3c1)a2ca1 18即 b ca1(3c1)a2(2c1)a3 cR31 设 a(a1 a2 a3)T b(b1 b2 b3)T c(c1 c2 c3)T 证明三直线l1 a1xb1yc10 l2 a2xb2yc20 (ai2bi20 i1 2 3)l3 a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件为 向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组 即0332211cybxa332211cybxa有唯一解 上述方程组可写为 xaybc 因此三直线相交于一点的充分必要条件为 c 能由 a b 唯一线
27、性表示 而 c 能由 a b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 32 设矩阵 A(a1 a2 a3 a4) 其中 a2 a3 a4线性无关 a12a2 a3 向量ba1a2a3a4 求方程 Axb 的通解 解 由 ba1a2a3a4知 (1 1 1 1)T是方程 Axb 的一个解 由 a12a2 a3得 a12a2a30 知 (1 2 1 0)T是 Ax0的一个解 由 a2 a3 a4线性无关知 R(A)3 故方程 Axb 所对应的齐次方程 Ax0的基础解系中含一个解向量 因此 (1 2 1 0)T是方程 Ax0的基础解系 方程 Axb 的通
28、解为xc(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T cR33 设 *是非齐次线性方程组 Axb 的一个解 , 1 2 nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明 (1)* 1 2 nr线性无关 19(2)* *1 *2 *nr线性无关 证明 (1)反证法, 假设 * 1 2 nr线性相关 因为 1 2 nr线性无关 而 * 1 2 nr线性相关 所以 *可由 1 2 nr线性表示 且表示式是唯一的 这说明 *也是齐次线性方程组的解 矛盾 (2)显然向量组 * *1 *2 *nr与向量组 * 1 2 nr可以相互表示 故这两个向量组等价 而由(1)知向量组 * 1 2 nr线性无关 所以向
29、量组 * *1 *2 *nr也线性无关 34 设 1 2 s是非齐次线性方程组 Axb 的 s 个解 k1 k2 ks为实数 满足 k1k2 ks1. 证明xk11k22 kss也是它的解.证明 因为 1 2 s都是方程组 Axb 的解 所以Aib (i1 2 s) 从而 A(k11k22 kss)k1A1k2A2 ksAs(k1k2 ks)bb 因此 xk11k22 kss也是方程的解 35 设非齐次线性方程组 Axb 的系数矩阵的秩为 r 1 2 nr1是它的 nr1 个线性无关的解 试证它的任一解可表示为xk11k22 knr1nr1 (其中 k1k2 knr11).证明 因为 1 2
30、nr1均为 Axb 的解 所以 121 231 nr nr11均为 Axb 的解 用反证法证 1 2 nr线性无关 设它们线性相关 则存在不全为零的数 1 2 nr 使得11 22 nr nr0即 1(21) 2(31) nr(nr11)020亦即 (12 nr)11223 nrnr10由 1 2 nr1线性无关知(12 nr)12 nr0矛盾 因此 1 2 nr线性无关 1 2 nr为 Axb 的一个基础解系 设 x 为 Axb 的任意解 则 x1为 Ax0的解 故 x1可由 1 2 nr线性表出 设x1k21k32 knr1nrk2(21)k3(31) knr1(nr11) x1(1k2k
31、3 knr1)k22k33 k nr1nr1 令 k11k2k3 knr1 则 k1k2k3 knr11 于是xk11k22 knr1nr1 36 设V1x(x1 x2 xn)T | x1 xnR满足 x1x2 xn0V2x(x1 x2 xn)T | x1 xnR满足 x1x2 xn1问 V1 V2是不是向量空间？为什么？解 V1是向量空间 因为任取(a1 a2 an)T V1 (b1 b2 bn)T V1 R有 a1a2 an0 b1b2 bn0 从而 (a1b1)(a2b2) (anbn)(a1a2 an)(b1b2 bn)0a1a2 an(a1a2 an)0所以 (a1b1 a2b2 a
32、nbn)TV1(a1 a2 an)T V1 V2不是向量空间 因为任取(a1 a2 an)T V1 (b1 b2 bn)T V1有 a1a2 an1 b1b2 bn1 21从而 (a1b1)(a2b2) (anbn)(a1a2 an)(b1b2 bn)2 所以 (a1b1 a2b2 anbn)TV1 37 试证 由 a1(0 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 1 0)T所生成的向量空间就是R3.证明 设 A(a1 a2 a3) 由 01|知 R(A)3 故 a1 a2 a3线性无关 所以 a1 a2 a3是三维空间 R3的一组基, 因此由 a1 a2 a3所生成的向量空间就是 R3.
33、38 由 a1(1 1 0 0)T a2(1 0 1 1)T所生成的向量空间记作 V1,由 b1(2 1 3 3)T b2(0 1 1 1)T所生成的向量空间记作 V2, 试证 V1V2.证明 设 A(a1 a2) B(b1 b2) 显然 R(A)R(B)2 又由 03 30 ,r知 R(A B)2 所以 R(A)R(B)R(A B) 从而向量组 a1 a2与向量组 b1 b2等价 因为向量组 a1 a2与向量组 b1 b2等价 所以这两个向量组所生成的向量空间相同 即 V1V2.39 验证 a1(1 1 0)T a2(2 1 3)T a3(3 1 2)T为 R3的一个基, 并把v1(5 0
34、7)T v2(9 8 13)T用这个基线性表示.解 设 A(a1 a2 a3) 由2206231|) ,(|21a知 R(A)3 故 a1 a2 a3线性无关 所以 a1 a2 a3为 R3的一个基.设 x1a1x2a2x3a3v1 则705321x解之得 x12 x23 x31 故线性表示为 v12a13a2a3 设 x1a1x2a2x3a3v2 则89321x解之得 x13 x23 x32 故线性表示为 v23a13a22a340 已知 R3的两个基为a1(1 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 0 1)Tb1(1 2 1)T b2(2 3 4)T b3(3 4 3)T求由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵 P 解 设 e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则 10) ,(),(321 321321) ,() ,(ae23于是 3412) ,() ,(1321eb0) ,(321a由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵为 1043240P
