1、海博教育机械能守恒定律典型例题剖析例 1、如图示，长为 l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为 m 的小球，为使轻质硬棒能绕转轴 O 转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度 v= 。解：系统的机械能守恒，E P +E K=0因为小球转到最高点的最小速度可以为 0 ，所以，例 2. 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角 =30，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块 A 和 B 连结， A 的质量为 4m， B 的质量为 m，开始时将 B 按在地面上不动，然后放开手，让 A 沿斜面下滑而 B 上升。物块 A 与斜面间无摩擦。设当 A 沿斜面下
2、滑 S 距离后，细线突然断了。求物块 B 上升离地的最大高度 H. 解：对系统由机械能守恒定律4mgSsin mgS = 1/2 5 mv2 v 2=2gS/5细线断后，B 做竖直上抛运动，由机械能守恒定律mgH= mgS+1/2 mv2 H = 1.2 S 例 3. 如图所示，半径为 R、圆心为 O 的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为 m 的重物，忽略小圆环的大小。 （1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧 =30的位置上(如图)在两个小圆环间绳子的中点 C 处，挂上一个质量 M= m 的重物，使两个小圆环间的绳子水平，
3、然后无初速释放重物 M设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物 M 下降的最大距离（2）若不挂重物 M小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态? 解：(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大设下降的最大距离为 h ，由机械能守恒定律得lmglvm2212 glglv8.4522Rsinsi2mgh22海博教育解得 （另解 h=0 舍去）(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为a 两小环同时位于大圆环的底端b两小环同时位于大圆环的顶端c两小环一个位于大圆环的顶端，另
4、一个位于大圆环的底端d除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧 角的位置上(如图所示)对于重物，受绳子拉力与重力作用， 有 T=mg对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力 T、 竖直绳子的拉力 T、大圆环的支持力 N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反 得 =, 而 +=90，所以 =45 例 4. 如图质量为 m1的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为 k， A、 B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A，另一端连一
5、轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A 上方的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为 m3的物体 C 上升。若将 C 换成另一个质量为( m1+m3)物体 D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次 B则离地时 D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为 g。解:开始时，B 静止平衡，设弹簧的压缩量为 x1, k1挂 C 后，当 B 刚要离地时，设弹簧伸长量为 x2，有 gm2此时， A 和 C 速度均为零。从挂 C 到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变量为 )()(21213xgmxgE将 C 换成 D 后，有 )()()( 2121313 xgmxgv联立以上各式可以解得 )2(312k
6、v直击机车启动问题R2hA m1kB m2海博教育一、机车的两种启动问题当机车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是 P=Fv 和 F-f=ma.为使问题简化，假定机车所受阻力大小恒定.1恒定功率的加速问题由公式 P=Fv 和 F-f=ma 知，由于 P 恒定，随着 v 的增大，F 必将减小，a 也必将减小，机车做加速度不断减小的加速运动，直到 F=f，a=0，这时 v 达到最大值 可见恒定功率的加速运动一定不是匀加速运动.这种加速过程发动机做的功只能用 W=Pt 计算，不能用 W=Fs 计算（因为 F 为变力）. 2恒定牵引力的加速问题由公式 P=Fv
7、 和 F-f=ma 知，由于 F 恒定，所以 a 恒定，机车做匀加速运动，而随着 v 的增大，功率也将不断增大，直到功率达到额定功率 P，功率不能再增大了.这时匀加速运动结束，其最大速度为 ，此后机车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了.可见当机车做恒定牵引力的加速运动时功率一定不恒定.这种加速过程发动机做的功只能用 W=Fs 计算，不能用 W=Pt 计算（因为 P 为变功率）.以上机车的两种启动过程可用如图所示的 v-t 图像来概括说明.0t 1时间内，机车从静止开始匀加速运动，牵引力 F 恒定，机车的输出功率 P=Fv 不断变大，t 1时刻达到额定功率（匀加速阶段结束）；t 1t2时
8、间内，机车以恒定功率继续加速，牵引力和加速度不断减小（加速度减小的加速运动），对应图像中曲线部分；t 2时刻加速度减为零，F=f，机车匀速前进（对应图像中水平直线部分），此时达到最大速度 典例 1 （2011天津卷）一新型赛车在水平专用测试道上进行测试，该车总质量为m=1103 kg ，由静止开始沿水平测试道运动，用传感设备记录其运动的 v-t 图像如图所海博教育示.该车运动中受到的摩擦阻力（含空气阻力）恒定，且摩擦阻力跟车的重力的比值为0.2.赛车在 05 s 的 v-t 图像为直线，5 s 末该车发动机达到额定功率并保持该功率行驶，在 520 s 之间，赛车的 v-t 图像先是一段曲线，后
9、为直线.取 g=10 m/s2，试求：（1）该车的额定功率；（2）该车的最大速度 v m. 【分析】 （1）05s 赛车做匀加速运动，其加速度： 所以发动机牵引力的额定功率 P=Fv1=1.2105 W.（2）由 P=fv m，解得：v m=60 m/s.点评 弄清楚 v-t 图像中各段图线所表示的运动过程，然后画出运动草图，合理运用牛顿运动定律和运动学公式是解决此类问题的基本思路和方法.拓展训练 1 一辆电动汽车的质量为 1103 kg，额定功率为 2104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为 v2，运动中汽车所受阻力恒定.发动机的最大牵引力为3103 N，其行驶过程中牵引力
10、F 与车速的倒数 1/v 的关系如图所示. 试求：（1）v 2的大小；（2）整个运动中的最大加速度；（3）当汽车的速度为 10 m/s 时，发动机的功率. 二、机车启动问题中的位移分析方法海博教育在机车启动过程中，计算机车的位移是一个难点.由于机车一般会经历多个运动过程，在匀变速运动过程中可以利用运动学公式直接求解，但在变加速运动阶段，只能借助动能定理来计算.在机车启动问题中，要注意区别“两个速度”，即匀加速阶段的最大速度（图像中的 v1）和最终匀速运动的速度（图像中的 v m）.求匀加速阶段的位移可运用匀变速直线运动的位移公式 计算变加速运动阶段的位移则不能用上述公式，但由于该阶段功率 P
11、不变，故可以用动能定理 P(t2-t1)-fx2= 计算如在调研 1 中，计算赛车出发后前 20 s 内的位移，分析如下： 代入数据解得 x2=100 m 总位移 x=x1+x2=150 m.典例 2 （2011浙江卷）节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车.有一质量 m=1 000 kg 的混合动力轿车，在平直公路上以速度 v1=90 km/h 匀速行驶，发动机的输出功率为 P=50 kW. 当驾驶员看到前方有 80 km/h 的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动 L=72 m 后，速度变为 v2=7
12、2km/h.此过程中发动机功率的 1/5 用于轿车的牵引，4/5 用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有 50%转化为电池的电能.假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变.求：（1）轿车以 90 km/h 在平直公路上匀速行驶时，所受阻力 f 的大小；（2）轿车从 90 km/h 减速到 72 km/h 过程中，获得的电能 E 电 ；（3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能 E 电 维持 72 km/h 匀速运动的距离 L.【分析】 （1）轿车牵引力与输出功率的关系 P=Fv1将 P=50 kW，v1=90 km/h=25 m/s 代入得 当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，
13、有 f=2103 N.（2）在减速过程中，发动机只有 P/5 用于轿车的牵引，根据动能定理有 海博教育（3）根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为 f=2103 N.此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功 E 电 =fL， 代入数据得L=31.5 m.拓展训练 2 某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为 v-t 图像，如图所示（除 210s 时间段内的图像为曲线外，其余时间段图像均为直线）已知小车运动的过程中，214s 时间段内小车的功率保持不变，在 14s 末停止遥控而让小车自由滑行小车的质量为 1 kg，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变求：（1）小车所受到的阻力大小及 02 s 时间内电动机提供的牵引力大小（2）小车匀速行驶阶段的功率（3）小车在 010s 运动过程中位移的大小 海博教育变式拓展答案与解析1.由 F-1/v 图线可知，当速度较小（1/v 较大）时，图线 AB 对应的牵引力 F 恒定，说明汽车由静止开始匀加速运动；图线 BC 的 F 与 1/v 成正比，斜率表示汽车的功率 P，因最大速度为 v2，说明汽车达到额定功率后，做功率一定的牵引力逐渐减小的变加速运动，直至达到最大速度 v2，此后做匀速直线运动.
