1、典型例题例 1：已知梯形 ABCD 的面积是 32，两底与高的和为 16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_思路分析本题是几何中的计算问题通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长解：如图 4-50，梯形 ABCD 中，ADBC，BDBC设 AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，（熟记梯形面积公式）解得 x+y=8，z=8，过 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于 E四边形 ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）DE=AC，AD=CE（将“上底+下底”转化到一条线段上）在
2、 RtDBE 中，DBE=90，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，根据勾股定理得 ，AC=DE，点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”例 2：如图 4-51，已知 AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE思路分析这是一个直角梯形，通过作 CFAB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性
3、质，利用两次全等，达到证明 CD=CE 的目的证明：如图 4-52，连结 AC，过 C 作 CFAB 于 F在CFB 和AEB 中， （这是直角梯形中常见的辅助线）（构造三角形证明三角形全等）CFBAEB（AAS）CF=AED=90，CFAB 且 ABCD，AD=CF，AD=AE在 RtADC 和 RtAEC 中，RtADCRtAEC（HL）CD=CE点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形将题中已知条件 AB=BC 中的两条线段 AB 和 BC 分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明
4、CD=CE的目的解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到的例 3：如图 4-53，梯形 ABCD 中，ABDC，AD=BC，延长 AB 至 E，使 BE=DC求证：AC=CE思路分析本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法证法一：四边形 ABCD 是等腰梯形，ADC=BCD （等腰梯形同一底上的两个角相等）又ABDC，BCD=CBE，（两直线平行，内错角相等）ADC=CBE，在ADC 和CBE 中，ADCCBE （SAS）AC=CE证法二：如图 4-54，连结 BD，DCBE，DC=BE，四边形 DCEB 是平行四边形，（一组对边
5、平行且相等的四边形是平行四边形）DB=CE又四边形 ABCD 是等腰梯形，AC=BD，（等腰梯形对角线相等）AC=CE证法三：如图 4-55，作 CFAE 于 F，DMAE 于 M在AMD 和BFC 中，AMDBFC （AAS）AM=BF又ABDC，MDFC，DC=MF又DC=BE，AM+MF=BF+BE，F 为 AE 的中点，CF 是 AE 的垂直平分线，AC=CE证法四：如图 4-54，连结 BDDCBE，DC=BE，四边形 DCEB 是平行四边形，DBA=E，（两直线平行，同位角相等）又四边形 ABCD 是等腰梯形，AC=BD，在ABC 和BAD 中，ABCBAD （SSS）CAB=DB
6、A，CAB=E，AC=CE（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形例 4：要剪切如图 4-56（尺寸单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的铝板，第一块长 500mm，宽 300mm（如图 4-57（1），第二块长 600mm，宽 250mm（如图 4-57（2）
7、，可供选用（1）为了充分利用材料，应选用第_种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是_ （2）从图 4-57（1）、4-57（2）中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来思路分析通过计算，两直角梯形零件面积分别为 ，而铝板的面积均为，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样设计时，为了充分利用材料，考虑到（1）中宽为 300mm，则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（2）也可以这样分割设计，做出尝试解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共 4 个，由计算得第一块铝板面
8、积为： ，而零件甲、乙的面积分别为 ，剩余的边角料的面积是 ；（2）如图 4-58 所示正确画出图形（设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深发展）习题精选一、选择题1下列命题中，真命题有( )有两个角相等的梯形是等腰梯形； 有两条边相等的梯形是等腰梯形； 两条对角线相等的梯形是等腰梯形； 等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个2以线段 a=16，b=13，c=10，d=6 为边作梯形，其中 a、c 作为梯形的两底，这样的梯形( )(A)
9、只能作 1 个 (B)能作 2 个(C)能作无数个 (D)不能作3在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，E 是 CD 中点，则( )(A)AE=BE (B)AEBE(C)AEBE (D)AE、BE 大小不确定4等腰梯形的两底长分别为 a、b，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是( )(A) (B) (ab)(c) (D)ab5有两个角相等的梯形是( )A等腰梯形 B直角梯形C一般梯形 D等腰梯形或直角梯形6已知直角梯形的一腰长为 10cm，这条腰与底所成的角为 30，那么另一腰的长为( )A2.5cm B5cm C10cm D15cm7如图 4-59，梯形 ABCD 中，ADBC，AB
10、=CD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则图中全等三角形共有( )A1 对 B2 对 C3 对 D4 对（平移对角线 BD 即可）8如图 4-60，ABCD，AEDC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形 ABCD 的面积是( )A130 B140 C150 D160二、填空题9在梯形 ABCD 中，ADBC，B=50，C=80，AD=a，BC=b，则D=_，CD=_10直角梯形一底与一腰的夹角为 30，并且这腰长为 6 厘米，则另一腰长为_11已知梯形 ABCD 中，ADBC，ACBC，ACBD 于 O，AC=8，BD=6，则梯形 ABCD 的面积为_12已知梯形上、下底长分别为
11、 6、8，一腰长为 7，则另一腰 a 的范围是 _，若a 为奇数，则此梯形为_梯形13梯形不在同一底上的两组角的比值分别为 36 和 42，则四个角的度数分别为_14等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3，则下底上的内角的度数是_15已知梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，若B=30，AD= 2cm，BC= 6cm，那么梯形的周长为_16已知梯形的上底长为 2，下底长为 5，一腰长为 4，则另一腰长的取值范围是_17已知：等腰梯形的两底分别为 10cm 和 20cm，一腰长为 ，则它的对角线长为_cm三、解答题18梯形 ABCD 中，ADBC，BDDC，若 AB=AD=DC，梯形 ABC
12、D 的周长为 10，求梯形ABCD 的面积19已知梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且BC=90，E 为 AD 中点，F 是 BC 中点求证：20如图 4-61，已知等腰梯形 ABCD，ADBC，E 为梯形内一点且 EA=ED求证：EB=EC21如图 4-62，四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABDE 是等腰梯形，AEBD求证：BEDBCD22如图 4-63，梯形 ABCD 中，B+C=90，E、F 分别为上、下底的中点求证：参考答案：一、1B； 2D； 3A； 4A 5D； 6B； 7C； 8C； 二、9100，b-a； 103；1124； 125a9，等腰梯形；1360，60，12
13、0，1201460； 15 ； 161x7； 1717；三、18AD=AB=DC 1=2， ADBC， C=2+3，1=3 2=3， C=23 BDDC， 3=30， 设 CD=x，则 x+x+x+2x=10， x=2在 RtBCD 中，BD= 作 DEBC，垂足为 E则 ， ， 19过 E 作 EM/AB，EN/CD 交 BC 分别于 M、N，则得 、 ，有AE=BM，EN=CD，B=EMC，C=ENB，又B+C=90，则EMC+ENB=90，有MEN=90。又BF=CF，AE=DE，有 MF=NF。 。MN=BC-BM-CN=BC-AE-DE=BC-AD， 。20四边形 ABCD 是等腰梯
14、形，AB=CD，BAD=CDA，EA=ED，EAD=EDA，BAD-EAD=CDA-EDA，即BAE=CDE在BAE 和CDE 中，BAECDE（SAS）EB=EC21四边形 ABDE 是等腰梯形，BDE=ABD，AB=DE，又AB=DC，DE=DC，四边形 ABCD 是矩形，ABD=BDC，BDE=BDC在BED 和BCD 中BEDBCD22如图，过点 E 作 EG/AB 交 BC 于 G，作 EH/CD 交 BC 于 H，则B=EGC，C=EHB又B+C=90，EGC+EHB=90，GEH=90AD/BC，四边形 ABGE 和四边形 EHCD 都是平行四边形AE=BG，ED=HC，又AE=
15、ED，BF=FC，BG+HC=AD，GF=FH，BC-AD=GH，E、F 分是上、下底的中点，GH=FH又GEH 为直角，EF 是直角三角形斜边的中线， ，（直角三角形的性质） 习题精选1一等腰梯形上底等于一腰，下底等于一腰的 2 倍，梯形的周长为 25，那么它的对角线的长为( )A5 B5C5 D3答案：C说明：设该等腰梯形的上底为 x，则由题意可知腰也为 x，且下底为2x，所以由该梯形的周长为 25，可得 x+2x+2x = 25，x = 5，如图，则 CE = DF，且 CE+DF = DCAB = 5，知 CE = ，因此，C = 60；不难得出1 =2 =3 = ADC = C =
16、30，所以 DBBC，DB = = 5 ，答案为 C2如图，线段 AC、BD 相交于点 O，欲使四边形 ABCD 为等腰梯形，应满足的条件是( )AAO = CO，BO = DOBAO = CO，BO = DO，AOB = 90CAO = DO，BO = CO，ADBCDAO = DO，AOD = 90答案：C说明：由选项 A 可得四边形为平行四边形；由选项 B 可得四边形为矩形；则选项C，AO = DO，BO = CO 可得 AC = BD，由于AOD = 1802DAO，COB = 1802BCO，得出DAO =BCO，因此，AD/BC，又 ADBC，所以四边形 ABCD 为梯形，且对角线
17、 AC = BD，即四边形 ABCD 为等腰梯形，选项 C 正确；由选项 D 中的条件无法得出两条对角线相等，所以答案为 C3如图，梯形 ABCD 中，AB/CD，若 AD = a，CD = b，AB = a+b，则下列等式一定成立的是( )AA =BBBC = aCBC = bDD = 2B答案：D说明：过点 C 作 CE/AD，则 CE = AD = a，AE = CD = b，所以 BE = ABAE = a，得出 CE = BE，则B =ECB；因此，有D =AEC =B+ECB = 2B 成立，答案为 D填空题：1如图，直角梯形 ABCD 中，AD/BC，CD = 8，ADC = 1
18、20，则 AB 的长为_答案： 4说明：过点 D 作 DEBC 于点 E，则 AB = DE，由已知ADC = 120，知C = 60，所以 RtDEC 中，DC = 2EC，得 EC = 4，则 AB = DE = = 4 2等腰梯形的上、下底分别是 3cm 和 5cm，一个角是135，则等腰梯形的面积为_答案：4cm 2说明：如图，等腰梯形 ABCD，AB = 3，CD = 5，ABC = 135，则BCD = 45，过 B 作 BEDC，则 BEC 为等腰直角三角形，BE = EC，同样过 A 作 AFDC，则有 AF = FD，而 FD+EC = CDAB = 53 = 2，AF =
19、BE，所以 AF = 1，因此，该梯形的面积为(3+5)12 = 4cm 2解答题：1如图，AB/CD，AECD，AE = 12，BD = 15，AC = 20，求梯形 ABCD 的面积分析：过点 A 作 BD 的平行线交 CD 的延长线于点 F，得到 AFDB，则 AB = FD，AF = BD，利用勾股定理分别求出 EF、EC 的长解：过点 A 作 AF/BD 交 CD 的延长线于点 FAB/CD，四边形 AFDB 是平行四边形AB = FD，AF = BD = 15AECD，AC = 20，AE = 12EF = = 9，EC = = 16FC = EF+EC = 25S 梯形 ABCD
20、 = (AB+CD)AE = (FD+CD)AE = FCAES 梯形 ABCD = 2512 = 1502如图，在 ABC 中，ACB = 90，延长 BC 到点 D，使 CD =BC，点 E、F 分别为边 AB、AC 的中点；求证：四边形 EFDB 是等腰梯形分析：利用“两腰相等的梯形是等腰梯形”进行证明证明：连结 ECE、F 分别为 AB、AC 的中点，EF/BC，EF = BC四边形 EFDB 是梯形ACB = 90，EC = EB = ABCD = BC，EF = BC，EF/CD 且 EF = CD四边形 EFDC 是平行四边形EC = FD，EB = FD四边形 EFDB 是等腰
21、梯形121 梯形选择题1下列说法正确的是（ ）A梯形的两条对角线相等B有两个内角相等的梯形是等腰梯形C有两条边相等的梯形是等腰梯形D一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形2四边形四个内角度数之比为 2：2：1：3，则此四边形是（ ）A任意四边形 B任意梯形 C等腰梯形 D直角梯形3直角梯形的一腰是另一腰的 2 倍，则此梯形的最大角与最小角的度数之比是（ ）A2：1 B3：1 C4： 1 D5：14等腰梯形的两腰分别与两对角线互相垂直，一底边与一腰相等，那么它的四个内角的度数分别是（ ）A50，50，130，130 B60，60，120，120C45，45，135，135 D70，
22、70，110，1105在周长为 40cm 的梯形 中， 交 BC 于 E， cm，则 的周长为ACDCAE/,/ 5AABE（ ）A40cm B30cm C20cm D15cm6顺次连结等腰梯形各边中点得到的图形是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形7梯形的上底长为 6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是 19cm，那么这个梯形的周长为（ ）A31cm B25cm C19cm D28cm8等腰梯形 中， 与 BD 相交于点 O，图中全等三角形有（ ）A,/A2 对 B4 对 C1 对 D3 对9直角梯形 中， ，则 和 分别是（ ）10,2,90,/ BCAD
23、CBADA30，150 B45，135 C120，60 D150，3010等腰梯形两底之差等于一腰长，则腰与上底的夹角为（ ）A 60 B120 C135 D150参考答案：1D2D提示：设四个角分别为 由四边形的内角和为 360知四个角分别是 90，90，x3,245，135，可得一组对边平行，另一组对边不平行，且有两个角是 903D提示：应用直角三角形中，如果一条直线边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 304B提示：运用等腰梯形及直角三角形的性质5B提示： 的周长等于梯形周长减去 10AE6C提示：运用等腰梯形的对角线相等，可知所得的平行四边形有一组邻边相等7A提示：梯形的周长等于
24、所得三角形周长加上上底的 2 倍8D提示： 与 与 与 全等ABCD,AOB,DC9D提示：运用直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半10B提示：平移一腰后可得等边三角形121 梯形 填空题1梯形上底长为 5cm，过上底的一端点引一腰的平行线与下底相交，若所得三角形的周长为 20cm，则梯形的周长为_cm2等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的 3 倍，则下底的一个底角为_3等腰梯形的一个锐角等于 60，它的上底是 3cm，腰长是 4cm，则下底是_4一个梯形的面积是 24，它的上、下底的长分别是 5 和 7，则梯形的高是_5如图，在梯形 中， ，则 ABCDCDBA,/ _6如图，等腰
25、梯形 中， ，若梯形的周长是 30cm，则ABCDBCA21,/_,cm_AD7若等腰梯形的周长是 30cm， 平分 ，则 BDACAD,2,/DC, _A8梯形 中， ，则 AB 的长是_ABCDcm10,c303,/ 参考答案：130245374456066 60768 310121 梯形 解答题1如图，梯形 中， ，延长 AB 到 E，使 试说明 ABCDBCA,/ DCBEA2如图，等腰梯形 中， 为对角线，延长 BC 到 E，使 ，连结 DE，ABCDBDAC,/ ADC试判断 与 相等吗？E3如图，等腰梯形 中， 的平分线恰为 BD，已知梯形的周长为 50cm，ABCDABC,/求
26、梯形各边的长BCAD214如图，在梯形 中， 是 CD 和 AB 的中点， ，那么 吗？说ABCDNM,/ ABMNCD明你的理由5如图，等腰梯形 中， ，平移腰 AB 到 DE，再将 翻折，得到ABCD72,/ABCDCE，则 ECD_6根据下图，填写下表：梯形个数 1 2 3 4 5 6 n周 长 5 8 11 14 7在如图所示的梯形 中， 和 BD 相交于点 O，试说明 ABCDAC,/ DOCABS8如图所示，要剪切如图（1） （长度单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的矩形铝板可供选用：第一种长 500mm，宽 300mm，如图（2）所示；
27、第二种长 600mm，宽 250mm，如图（3）所示（1）填空：为了充分利用材料，应选用第_种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_个，剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是_mm 2（2）画图：从图（2）或图（3）中选出所要用的铝板，在图上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来9现有一块梯形土地，想从中修一条笔直小路将这块梯形土地分成面积相等的两部分，你能做到吗？请设计方案参考答案：1由 ，可得 ，所以 CBEDBEAC, ADCBECEA2相等因为 是等腰梯形，所以 又因为四边形 是平行四边形，所以D，所以 D3 20,14相等 ，因此 D 与 C 关于 MN 对称，同理 A 与 B
28、 关于 MN 对称，则 AD 与MNCBC 是轴对称线段，故 BA536 提示： ，所以 72DE 36EDC6 3,20,17n7作高 AH，因为 ，所以 ，所以AHSHSACDABD1,1 ACDBS，所以 OCAOBDSOB8 （1）应选用第一种铝板，并且这块铝板最多能剪甲、乙两种零件各 2 个，即共计 4 个，剩余的边角料面积为： )m(8015)30(21)301(2305 （2）如图所示9此题的解法是借用了我们熟悉的三角形和平行四边形的等面积法，因此解决此问题的关键是如何将梯形与三角形或平行四边形进行类比，或者如何将梯形变成为等面积的三角形和平行四边形有两种解题方案可供选择（1）将
29、梯形与三角形（或平行四边形）进行类比，可得如下分法：取梯形 的上、下底的中点ABCD即为所求 如图（1） EF,（2）将梯形问题转化为三角形（或平行四边形）的问题，也就是如何将一个梯形转化为一个面积相等的三角形或平行四边形图（2）是将梯形 变形为与它面积相等的三角形：取 AD 的中点 E，连结 CE 并延长交 BA 的延长ABCD线于 F，取 FB 的中点 G，连结 CG，则 CG 即为所求图（3）是将梯形 变形为与它面积相等的平行四边形：取 AD 的中点 E，过 E 作 ，分别BCFG/交 （或它们的延长线）于 ，在 中，过中点 O 作直线 MN 使它与线段 同, F,GBCD,时相交即可，直线 MN 即为所求
