1、典型例题剖析例 1.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？（1）三个球全部放入两个盒子，其中有一个盒子有一个以上的球.（2）直线 右侧区域内的点的坐标可使不等式 成立0CByAx 0CByAx（3）当角 x 取某一实数时可使 成立.01sinx解：（1）是必然事件.（2）当 A0 时，直线 右侧区域内的点的坐标使不等式y成立；0CByx当 A0 时，直线 右侧区域内的点的坐标使不等式0CByx成立.yx所以“直线 右侧区域内的点的坐标可使不等式 成立.”yx 0CByAx是随机事件.（3）是不可能事件.因为由三角函数定义可知 ，当 x 取任何实数时，也不能1sin使 .01sinx例
2、 2.一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块四种花色，每种 13 张，共 52 张，从一副洗好的牌中任取四张，求四张中至少有三张黑桃的概率.以下两种解法哪一种对？解法一：从 52 张牌中任取 4 张，有 C 种取法，n=C .“四张中至少有三张黑桃”452452可分为两类：“恰有三张黑桃”与“四张全是黑桃” ，共有 C 种取法.41393145213931CP解法二：所求概率的分子可按如下方法计算，先取三张黑桃，有 C 种取法，第四张31从剩余 49 张中任选一张，故分子应为 C C3149452193CP结论：解法二出现的错误在于分子计算中有重复现象（前面排列组合部分也曾提醒同学们注意这个问题）
3、.例 3.有 6 个房间安排 4 个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住各房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（1）事件 A：指定的 4 个房间各有一人；（2）事件 B：恰有 4 个房间中各有一人 ；（3）事件 C：指定的某个房间中有两人；（4）事件 D：第一号房间有一人，第二号房间有三人；解：由于每人可以进住任一房间，进住哪房间有 6 种等可能的方法，根据乘法原理 4个人进住 6 个房间共有 64 种方法.（1）指定的 4 个房间中各有一人，有 A 种方法.4 541A)(P（2）从 6 间中选出 4 间有 C 种方法，4 个人每人去一间有 A 种方法.6185A)(4BP（3）从 4
4、个人中选 2 人去指定的某个房间，共有 C 种选法，余下 2 人每人都可去 524个房间中的任一间，因而有 52 种方法. 165)(4P（4）从 4 个人中选 1 人去第一号房间，有 C 种选法，从余下 3 个人中选 3 人去第二1号房间，有 1 种选法. 3246)(41DP例 4.一个口袋里共有 2 个红球和 8 个黄球，从中随机地接连取三个球，每次取一个，记恰有一个红球为事件 A， 第三个球是红球为事件 B，在（1）不返回抽样（2）返回抽样两种情况下分别求事件 A、B 的概率.（1）解法一：由不返回抽样知第一次从 10 个球中抽一个，第二次只能从 9 个球中抽一个，第三次只能从 8 个
5、球中抽一个，故基本事件的总数 ，事件 A 的种数310n，从而1328CAm57)(31028P解法二：抽三次恰有一个红球的三个事件：红黄黄 、 黄红黄 、 黄黄红两两互斥，因此P（A）=P（红黄黄）+P（黄红黄）+P（黄黄红）= 157ACC3028310283102第三次抽到红球，对前二次是否抽到红球没要求，所以事件 B 的种数 ，29m故 51C)(3029B（2）求 P（A ）解法一：由返回抽样知每次从 10 个球中抽一个，故基本事件的总数 n=103，事件 A 的结果总数 ，从而 P（A）=2138Cm125480C31解法二：用 n 次独立重复实验中事件恰好发生 k 次的概率公式，
6、由得,10,PkP（A）= 12548)0()(13knkn求 P（B）解法一：由返回抽样知每次从 10 个球中抽一个，故基本事件的的总数 n=103，事件 B的种数 ，从而 P（B）12C0m.510C32第三次抽到红球的三个事件：红黄红 、 黄红红 、 黄黄红两两互斥，因此P（B）=P（红黄红）+P（黄红红）+P（黄黄红）= 51ACAC30283102831082 说明：从本例可看出不论返回抽样还是不返回抽样，第三次抽到红球的概率，只与红球所占的比例 有关，与第几次抽到红球无关.51例 5.箱中有 a 个正品，b 个次品，自箱中随机连续抽取 3 次，每次取 1 个，取出后不放回，问取出的
7、 3 个全是正品的概率是多少？解法一：任取三个产品，第一个产品有 a+b 种取法，第二个产品有 a+b1 种取法，第三个产品有 a+b2 种取法，故共有( a+b)(a+b1)(a+ b2)=A 种取法.3ba同理，取出三个全是正品有 A 种取法.3a3baP解法二：不考虑产品取出顺序，从 a+b 个产品中任取 3 个产品，有 C 种取法.取出3ba三个正品有 C 种取法，共以 C 种取法.3a3a3Cba注意：两种解法都正确，其区别在于将基本事件划分得粗细不同.值得指出的是，不论划分粗细，必须是等可能才行.例 6.箱中有 a 个白球和 b 个黑球，从中任意连续取出 k+1 个球 ，如果)1(
8、ba球被取出后不放回，求最后取出的一个球是白球的概率.解法一（细分）：每 k+1 个排列好的球构成一基本事件，故基本事件总数为 A 个.1kba最后取出的一个是白球，该球可从 a 个白球中任取一个，其余 K 个可以是 a+b1 中任意k 个的一种排列，故事件 A“取出的 k+1 个球中最后一个是白球”共有 个基本事k件. .A)(1baPkba解法二（粗分）：只考虑最后一球，若最后一球可任取，共有 a+b 种取法.限定最后一球为白球，有 a 种取法，故概率 P= .例 7.一人有 n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门.随机逐个试验钥匙，问“房门恰在第 k 次被打开” 的概率是多少？解法一（细分
9、）：n 把钥匙按任意顺序开锁，共有 n！种开法；限定第 k 次成功，则第k 次只能是确定的一把，其他钥匙次序任意，共有（n1）! 种开法， nP1)!(解法二（粗分）：只考虑第 k 次试验时的钥匙，第 k 次试验的钥匙是任意一把时共有n 种取法，第 k 次恰能打开房门时，只有一种取法. nP1小结：恰当地简化基本事件，是一种技巧，更重要的是首先考虑基本事件是否是等可能的.例 8.把 3 个白球和 4 个黑球排成一排，分别判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.事件 A 事件 B（1）白球不能相邻 黑球不能相邻（2）至少两个白球相邻 任何黑球不能相邻（3）两个白球不得排
10、在两端 四个黑球相邻且至多两个白球相邻解：（1）不是互斥事件.因为 A、B 可以同时发生，如能排成.（2）是互斥事件，不是对立事件.若 A 发生，2 个或 3 个白球相邻，余下 3 或 2 个空排 4 个黑球至少有两个黑球相邻，因而 B 不发生，所以是互斥事件.可排成这说明 A、B 都不发生，根据定义知 A、B 不是对立事件.（3）是互斥事件，也是对立事件.“白球排在两端”与“白球不得排在两端”不能同时发生，但必有一个发生，所以 A、 B 是互斥事件，也是对立事件.例 9.一个口袋里共有 7 个白球 4 个黑球，现在一次要取出三个球，问这三个球中至少有一个黑球的概率是多少？解法一：设三个球中至
11、少有一个黑球为事件 A， 三个球中恰有一个黑球为事件A1， 三个球中有两个黑球为事件 A2， 三个球全是黑球为事件 A3，则 A=A1+A2+A3，且这三个事件两两互斥，由互斥事件的概率加法公式得： .26CC)()( 3107431724317421 PP解法二：设三个球全是白球是事件 ，是 A 的对立事件，则 P（ ）=A37C1P（A）=1 326)(小结：运用公式 P（A+B）P（A）P（B）计算和事件的概率时，必须注意考虑事件 A、B 互斥这一前提条件，而 与 A 是对立事件，利用对立事件的概率和等于 1 然后求差，比解法一求彼此互斥事件的和的概率更为简便.例 10.甲、乙两个人独立
12、地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 ，求：413和（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有一个人译出密码的概率；（4）至多一个人译出密码的概率；（5）若要达到译出密码的概率为 ，至少需要多少个乙这样的人？109解：记“甲独立地破译密码”为事件 A， “甲译不出密码”为事件 ,“乙独立地破译A密码”为事件 B.“乙译不出密码”为事件 ， “两个人都译出密码”为事件 C， “两个人都B译不出密码”为事件 D， “恰有一个人译出密码 ”为事件 E.“至多一个人译出密码”为事件 F.（1）甲、乙二人独立地破译密码，为相互独立事件，二人都译出密码就是事件 AB发生
13、，根据相互独立事件的概率乘法公式，得出P（C）=P （AB）=P（A）P（B）= .1243（2）两个人都译不出密码也是独立事件，又两个人都译不出密码是事件 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得出：P（D）= P（ ）+P（ ）P（ ）=（1 ）（1 ）=34.213（3） “恰有一个人译出密码”包括两种情况，一种 A ，另一种 B，这两种情况不可能同时发生，是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得出：P（E）=P（A ）+P（ B）=P（A）P（ ）+P（ ）P（B）= .1254)3(41(3（4）解法一：“至多一个人译出密码”是“两个人都译不出密码”或“恰有一个人译出密码” ，即事件 D+E，且事件 D 与 E 是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式得出：P（F）=P（ ）+P（A ）+P（ B）=P（D）+P（E）BA= .125解法二：P（F）=1P（AB）=1P（C ）=1 .12（5）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为（1 ，根据题意，有：n)4.16,09)4(nn解 得
