1、 1二项式定理 nullnullnull式定理 ( ) ( )0 1 1 2 2 2 .n n n n n nn n n na b C a C a b C a b C b n + = + + + + N 这个公式表示的定理null做nullnull式定理 nullnullnull式系数、nullnull式的通null 0 1 1 2 2 2 .n n n n nn n n nC a C a b C a b C b + + + + null做 ( )na b+ 的nullnull展开式，其中的系数( )0, 1, 2, .,rnC r n= null做nullnull式系数，式中的 r n r
2、rnC a b null做nullnull展开式的通null，用 1rT + 表示，即通null为展开式的第 1r + nullnull 1 r n r rr nT C a b+ = nullnullnull式展开式的各null幂指数 nullnull式 ( )na b+ 的展开式null数为 1n + null，各null的幂指数状况是 null各null的次数都等于nullnull式的幂指数 n null字母 a的按降幂排列，从第一null开始，次数由 n逐nullnull 1 直到零，字母 b 按升幂排列，从第一null起，次数由零逐null增 1 直到 n null几点注意 null通
3、null 1 r n r rr nT C a b+ = 是 ( )na b+ 的展开式的第 1r + null，这里 0, 1, 2, .,r n= nullnullnull式 ( )na b+ 的 1r + null和 ( )nb a+ 的展开式的第 1r + null r n r rnC b a 是有区别的，应用nullnull式定理时，其中的 a和 b 是null能随便交换的 null注意nullnull式系数null rnC nullnull展开式中对应null的系数null一定相等，nullnull式系数一定为正，而null的系数有时可为负 知识内容 证明不等式 null通null公
4、式是 ( )na b+ 这个标准形式null而言的，如 ( )na b 的nullnull展开式的通null公式是( )1 1 r r n r rr nT C a b+ = nullnullnull把 b 看null b 代入nullnull式定理null这null 1 r n r rr nT C a b+ = 是null同的，在这里对应null的nullnull式系数是相等的都是 rnC ，但null的系数一个是 ( )1 r rnC ，一个是 rnC ，可看出，nullnull式系数nullnull的系数是null同的概念 null设 1,a b x= = ，则得公式null ( ) 1
5、2 21 1 . .n r r nn n nx C x C x C x x+ = + + + + + + null通null是 1rT + = r n r rnC a b ( )0, 1, 2, .,r n= 中含有 1 , , , ,rT a b n r+ 五个元素， null要知道其中四个即可求第五个元素 null当 nnull是很大， x 比较小时可以用展开式的前几null求 (1 )nx+ 的近似值 2二项式系数的性质 null杨辉null角形null 对于 n是较小的正整数时，可以直接写出各null系数而null去套用nullnull式定理，nullnull式系数也可以直接用杨辉nu
6、ll角计算 杨辉null角有如null规律nullnull左、右两边斜行各数都是 1其余各数都等于它肩null两个数字的和null nullnullnull式系数的性质null ( )na b+ 展开式的nullnull式系数是null 0 1 2, , , ., nn n n nC C C C ，从函数的角度看 rnC 可以看null是 r 为自变null的函数 ( )f r ，其定义域是null 0, 1, 2, 3, ., n 当 6n = 时， ( )f r 的图象为null图null 这样null们利用null杨辉null角null和 6n = 时 ( )f r 的图象的直null来
7、帮助null们研究nullnull式系数的性质 null对称性nullnull首末两端null等距离null的两个nullnull式系数相等 null实null，这一性质可直接由公式 m n mn nC C = 得到 null增null性null最大值 如果nullnull式的幂指数是偶数，中间一null的nullnull式系数最大null 如果nullnull式的幂指数是奇数，中间两null的nullnull式系数相等并且最大 由于展开式各null的nullnull式系数null次是 ( )0 1 2 11, ,1 1 2n n nn nnC C C = = = ， ( )( )3 1 21
8、 2 3nn n nC = ， ( )( ) ( )( )1 1 2 . 21 2 3 . 1knn n n n kCk += ，( )( ) ( )( )( )1 2 . 2 11 2 3. 1knn n n n k n kCk k + += ， 1nnC = 其中，后一个nullnull式系数的分子是前一个nullnull式系数的分子乘以逐次null小 1 的数null如, 1, 2, .n n n null，分母是乘以逐次增大的数null如 1，2，3，null因为，一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，从而当 k 依次取 1，2，3，等值时， rnC
9、的值转化为null递增而递null了又因为null首末两端null等距离null的两null的式系数相等，所以nullnull式系数增大到某一null时就逐渐null小，且nullnull式系数最大的null必在中间 当 n是偶数时， 1n + 是奇数，展开式共有 1n + null，所以展开式有中间一null，并且这一null的nullnull式系数最大，最大为 2nnC 当 n是奇数时， 1n + 是偶数，展开式共有 1n + null，所以有中间两null 这两null的nullnull式系数相等并且最大，最大为1 12 2n nn nC C += nullnullnull式系数的和为
10、2n ，即 0 1 2 . . 2r n nn n n n nC C C C C+ + + + + + = null奇数null的nullnull式系数的和等于偶数null的nullnull式系数的和，即 0 2 4 1 3 5 1. . 2nn n n n n nC C C C C C+ + + = + + + = 常null题型有null 求展开式的某些特定null、null数、系数，nullnull式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题 二项式定理的应用2证明不等式 null例1null 已知null1x y x y+ = R， ，求证null112n n nx y + null，(
11、*)nN 典例分析 null例2null 0 *a b a b n + R N、 ， ， null，求证null( )2 2n nna b a b+ +null null例3null nN且3nnull，求证null( )3 23 2 3 8 .n n n n + + null例4null 求证null( ) ( ) ( )2 1 sin 1 sin *n nn n + + Nnull null例5null 求证null( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 *n n nn n n n+ + Nnull null例6null 0 *a b a b n + R N， ， ，null，求
12、证null1 1( )1 2n n n nna a b ab b a bn + + + + null null例7null 求证null( )2 2 2 3n n n n+ N，null null null例8null 对于*nN，11 1(1 ) (1 )1n nn n + nullB证明(1 ) (1 )n mm n+ + null例11null 已知函数( )f x满足( ) ( )ax f x b f x = +null0ab null，(1) 2f =，并且使( ) 2f x x=成立的实数x有且只有一个 A求( )f x的解析式null B若数列 na的前n项和为nS，na满足1 32a =，当2nnull时，2( )nnS nf a =， 求数列 na的通项公式 C在B的条件下，令1 12log ( 1)n nd a += nulld Nnull， 求证null当 3nnull 时，有1 2 101 2 1C C C C 3C 41n nn n n nnn nd d d d n+ + + + + +L
