1、知识内容1二项式定理二项式定理 012.nnnnabCabCbN这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项叫做 的二项展开式，其中的系数012.nnnababna叫做二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，,.,rnC rrnCb 1rT即通项为展开式的第 项： 1r1rnrrTa二项式展开式的各项幂指数二项式 的展开式项数为 项，各项的幂指数状况是nab各项的次数都等于二项式的幂指数 n字母 的按降幂排列，从第一项开始，次数由 逐项减 1直到零，字母 按升幂排列，b从第一项起，次数由零逐项增 1直到 几点注意通项 是 的展开式的第 项，这里 1rnrrTCabn1r
2、0,12.,rn二项式 的 项和 的展开式的第 项 是有区别的，应用二项1arnrCba式定理时，其中的 和 是不能随便交换的ab注意二项式系数（ ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而rnC项的系数有时可为负通项公式是 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项公式是nabnab（只须把 看成 代入二项式定理）这与 是不同的，在1rnrrTCb1rnrrTCab求展开式中的特定项这里对应项的二项式系数是相等的都是 ，但项的系数一个是 ，一个是 ，可看rnC1rnCrn出，二项式系数与项的系数是不同的概念设 ，则得公式： 1,abx121n rnnnxxx通项是 中含有
3、五个元素，1rTrnrCa0,2.,1,rTab只要知道其中四个即可求第五个元素当 不是很大， 比较小时可以用展开式的前几项求 的近似值nx ()nx2二项式系数的性质杨辉三角形：对于 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也n可以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1其余各数都等于它肩上两个数字的和”二项式系数的性质：展开式的二项式系数是： ，从函数的角度看 可以看成是 为nab012,.nnnCrnCr自变量的函数 ，其定义域是： fr,3,.当 时， 的图象为下图：6nf这样我们利用“杨辉三角”和 时 的图象的直观来帮助我们研究
4、二项式系数的性6nfr质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等事实上，这一性质可直接由公式 得到mnC增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是，0121,nnnC，3， ，12.31knnk 12. 13knnkCnC其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如 1，2，3，）因为，一个自然数乘,12,.以一个大于 1的数则变大，而乘以一个小于 1的数则变小，从而当 依次取 1，2，3，k等值时， 的值转化为
5、不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相rnC等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当 是偶数时， 是奇数，展开式共有 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的11n二项式系数最大，最大为 2n当 是奇数时， 是偶数，展开式共有 项，所以有中间两项n这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 12nC二项式系数的和为 ，即 2n012rnnnn奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即02413512nnnnnCC常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题典例分析二项展开式 2 求展开式中的特
6、定项（常数项，有理项，系数最大项等 ）常数项【例 1】 在 展开式中，系数为有理数的项共有 项2043xy【例 2】 103()的展开式中共有_项是有理项【例 3】 61034(1)()x展开式中的常数项为_（用数字作答） 【例 4】 的展开式中的常数项为_6211xx【例 5】 二项式 的展开式中的常数项为_，展开式中各项系数和为 42x+ （用数字作答）【例 6】 若 的展开式中的常数项为 ，则实数 _ 123ax20a【例 7】 在二项式 的展开式中， 的系数是 ，则实数 的值为 52axx10a【例 8】 在 的展开式中，常数项是_ （结果用数值表示）621x【例 9】 如果 展开式中
7、，第四项与第六项的系数相等，则 ，展开式1nx n中的常数项的值等于 【例 10】 281()x的展开式中常数项为 （用数字作答）【例 11】 若 1()nx展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为_（用数字作答） 【例 12】 若 31(2)nx的展开式中含有常数项，则最小的正整数 n等于 【例 13】 在 2()nx的二项展开式中，若常数项为 60，则 n等于 （用数字作答）【例 14】 21()nx的展开式中，常数项为 15，则 n 【例 15】 已知 231(1)(nx的展开式中没有常数项， n*N，且28n ，则 _【例 16】 123()x展开式中的常数项为_（用数字作答
8、） 【例 17】 已知 2()nix的展开式中第三项与第五项的系数之比为 314，其中 21i，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例 18】 已知 10()nN ，若 nx)1(23的展开式中含有常数项，则这样的 n有（ ）A3 个 B2 C1 D0【例 19】 61034(1)()x展开式中的常数项为_（用数字作答） 【例 20】 51(2)x的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答） 【例 21】 281()x的展开式中常数项为 （用数字作答）【例 22】 已知 312nx的展开式的常数项是第 7项，则 n的值为（ ）A 7 B 8 C 9 D 10【例 23】 在 2()nx的二项展开
9、式中，若常数项为 60，则 n等于 （用数字作答）【例 24】 21()nx的展开式中，常数项为 15，则 n 【例 25】 123()x展开式中的常数项为_（用数字作答） 【例 26】 已知 2()nix的展开式中第三项与第五项的系数之比为 314，其中 21i，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例 27】 已知 10()nN ，若 nx)1(23的展开式中含有常数项，则这样的 n有（ ）A3 个 B2 C1 D0【例 28】123x展开式中的常数项为（ ）A 1320B 0C 20D 20【例 29】 求612x展开式中的常数项【例 30】612x的展开式的常数项是 （用数字作答）【例
10、31】 在 2nx的二项展开式中，若常数项为 60，则 n等于（ ） 3 6 9 12【例 32】 1nx的展开式中的第 5项为常数项，那么正整数 n的值是 【例 33】 若nx31的展开式中存在常数项，则 n的值可以是（ ）A 10 B C 12 D 14 【例 34】 在 261()x的展开式中常数项是 ，中间项是 _【例 35】 已知 231(1)(nx的展开式中没有常数项， n*N，且28n ，则 _【例 36】 若 31(2)nx的展开式中含有常数项，则最小的正整数 n等于 【例 37】 已知 21nx的展开式中第三项与第五项的系数之比为 314，则展开式中常数项是（ ）A 1 B
11、C 45 D 45【例 38】 若 21nx展开式中的二项式系数和为 512，则 n等于_；该展开式中的常数项为 _【例 39】 若921ax的展开式中常数项为 84，则 a_，其展开式中二项式系数之和为_ 【例 40】 若 1nx展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ）A 10 B 20 C 30 D 120有理项【例 41】 求二项式1532x的展开式中：常数项；有几个有理项（只需求出个数即可） ；有几个整式项（只需求出个数即可） 【例 42】 103(2)的展开式中共有_项是有理项【例 43】 二项式 1532()x的展开式中：求常数项；有几个有理项；有几个整式项【例 4
12、4】 已知在 412nx的展开式中，前三项的系数成等差数列求 n；求展开式中的有理项【例 45】 二项展开式153x中，有理项的项数是（ ）A 3 B 4 C D 6【例 46】 在 132x的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为 p，则 10pdA1 B 67 C 76 D 13【例 47】 123()x的展开式中，含 x的正整数次幂的项共有（ ）A 4项 B 项 C 2项 D 1项【例 48】 若 512ab（ ， 为有理数） ，则 ab（ ）A 45B C 70D 80系数最大的项【例 49】 已知 1()2nx的展开式中前三项的系数成等差数列求 n的值；求展开式中系数最大的项【例
13、 50】 20(3)x展开式中系数最大的项是第几项？【例 51】 已知 (13)nx的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 12，求展开式中系数最大的项【例 52】 在132nx的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_ A 7 B 7 C 28 D 28【例 53】 已知 lg8(2)x的展开式中，二项式系数最大的项的值等于120，求 x【例 54】 求1032x的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项【例 55】 已知 3241nx展开式中的倒数第三项的系数为 45，求：含 3x的项；系数最大的项【例 56】 设 mnN， ， 1n， ， ()(1)mnfxx的
14、展开式中，x的系数为 19求 ()f展开式中 2x的系数的最大、最小值；对于使 中 的系数取最小值时的 、 的值，求 7x的系数【例 57】 已知：23()nx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 92求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项【例 58】 20(3)x展开式中系数最大的项是第几项？【例 59】 关于二项式 205(1)x有下列命题：该二项展开式中非常数项的系数和是 ：该二项展开式中第六项为 69205C；该二项展开式中系数最大的项是第 3项与第 104项；当 206x时， (1)x除以 的余数是 25其中正确命题的序号是_ （注：把你认为正确的命题序号都填上）
15、【例 60】 在 312nx+的展开式，只有第 5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 （用数字作答）【例 61】 设 21*74nN的整数部分和小数部分分别为 nM与 m，则 nnmM的值为 【例 62】 12()mnaxb中， ab， 为正实数，且 20mn， ，它的展开式中系数最大的项是常数项，求 的取值范围【例 63】 二项式 (1sin)x的展开式中，末尾两项的系数之和为 7，且二项式系数最大的一项的值为 52，则 在 (0,2)内的值为_【例 64】 如果 23()nx的展开式中含有非零常数项，则正整数 n的最小值为_ （用数字作答） 【例 65】 在二项式 1nx的展开式中，存在着系数之比为 57 的相邻两项，则指数 *nN的最小值为
