1、知识内容1二项式定理二项式定理 012.nnnnabCabCbN这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项叫做 的二项展开式，其中的系数012.nnnababna叫做二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，,.,rnC rrnCb 1rT即通项为展开式的第 项： 1r1rnrrTa二项式展开式的各项幂指数二项式 的展开式项数为 项，各项的幂指数状况是nab各项的次数都等于二项式的幂指数 n字母 的按降幂排列，从第一项开始，次数由 逐项减 1直到零，字母 按升幂排列，b从第一项起，次数由零逐项增 1直到 几点注意通项 是 的展开式的第 项，这里 1rnrrTCabn1r
2、0,12.,rn二项式 的 项和 的展开式的第 项 是有区别的，应用二项1arnrCba式定理时，其中的 和 是不能随便交换的ab注意二项式系数（ ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而rnC项的系数有时可为负证明整除或求余数通项公式是 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项公式是nabnab（只须把 看成 代入二项式定理）这与 是不同的，在1rnrrTCb1rnrrTCab这里对应项的二项式系数是相等的都是 ，但项的系数一个是 ，一个是 ，可看rnCrnrn出，二项式系数与项的系数是不同的概念设 ，则得公式： 1,abx121.n rnnnxxCx通项是 中含有 五
3、个元素，1rTrnrCa0,2.,1,rTab只要知道其中四个即可求第五个元素当 不是很大， 比较小时可以用展开式的前几项求 的近似值nx ()nx2二项式系数的性质杨辉三角形：对于 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也n可以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1其余各数都等于它肩上两个数字的和”二项式系数的性质：展开式的二项式系数是： ，从函数的角度看 可以看成是 为nab012,.nnnCrnCr自变量的函数 ，其定义域是： fr,3,.当 时， 的图象为下图：6nf这样我们利用“杨辉三角”和 时 的图象的直观来帮助我们研究二
4、项式系数的性6nfr质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等事实上，这一性质可直接由公式 得到mnC增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是，0121,nnnC，3， ，12.31knnk 12. 13knnkCnC其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如 1，2，3，）因为，一个自然数乘,12,.以一个大于 1的数则变大，而乘以一个小于 1的数则变小，从而当 依次取 1，2，3，k等值时， 的值转化为不
5、递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相rnC等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当 是偶数时， 是奇数，展开式共有 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的11n二项式系数最大，最大为 2n当 是奇数时， 是偶数，展开式共有 项，所以有中间两项n这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 12nC二项式系数的和为 ，即 2n01.2rnnnn奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351.2nnnnnCC常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题典例分析二项式定理的应用 1 证明整除或者求余数【例 1】 利用二项式定理证明： 2389n是 64 的倍数【例 2】 若 *nN，证明： 2347n能被 64整除【例 3】 证明： 22(13)()(*)nnN能被 12n整除【例 4】 证明： 2121(3)(3)(*)nnN能被 12n整除【例 5】 302除以 7的余数_； 51除以 8的余数是_； 9除以 30的余数是 【例 6】 10的末尾连续零的个数是（ ）A7 B5 C3 D2
