1、竞赛专题讲座 06平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R，则P、Q、R 共线的充要条件是 。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、CR 共点的充要条件是 。托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。例题：1 设 AD是ABC 的边 BC上的中线，直线 CF交 AD于
2、F。求证：。【分析】CEF 截ABD （梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过 A、B、D 之一作 CF的平行线。2 过ABC 的重心 G的直线分别交 AB、AC 于 E、F，交 CB于 D。求证： 。【分析】连结并延长 AG交 BC于 M，则 M为 BC的中点。DEG截ABM （梅氏定理）DGF截ACM （梅氏定理） = = =1【评注】梅氏定理3 D、E、F 分别在ABC 的 BC、CA、AB 边上，AD、BE、CF 交成LMN。求 SLMN 。【分析】【评注】梅氏定理4 以ABC 各边为底边向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG 相交于一点。【分析】【评注】塞
3、瓦定理5 已知ABC 中，B=2C。求证：AC 2=AB2+ABBC。【分析】过 A作 BC的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。【评注】托勒密定理6 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证： 。（第 21届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7 ABC 的 BC边上的高 AD的延长线交外接圆于 P，作 PEAB 于 E，延长 ED交AC延长线于 F。求证：BCEF=BFCE+BECF。【分析】【评注】西姆松定理（西姆松线）8 正六边形 ABCDEF的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N 分成
4、的比为 AM：AC=CN：CE=k，且 B、M、N共线。求 k。（23-IMO-5）【分析】【评注】面积法9 O 为ABC 内一点，分别以 da、d b、d c表示 O到 BC、CA、AB的距离，以Ra、R b、R c表示 O到 A、B、C 的距离。求证：（1）aR abd b+cdc; (2) aRacd b+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(d a+db+dc)。【分析】【评注】面积法10ABC 中，H、G、O 分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O 三点共线，且 HG=2GO。（欧拉线）【分析】【评注】同一法11ABC 中，AB=AC，ADBC于 D，BM、BN 三等分ABC，与AD
5、相交于 M、N，延长 CM交 AB于 E。求证：MB/NE。【分析】【评注】对称变换12G 是ABC 的重心，以 AG为弦作圆切 BG于 G，延长 CG交圆于 D。求证：AG 2=GCGD。【分析】【评注】平移变换13C 是直径 AB=2的O 上一点，P 在ABC 内，若PA+PB+PC的最小值是 ，求此时ABC 的面积 S。【分析】【评注】旋转变换费马点：已知 O是ABC 内一点，AOB=BOC=COA=120；P 是ABC 内任一点，求证：PA+PB+PCOA+OB+OC。（O 为费马点）【分析】将 C C，O O， P P，连结 OO、PP。则B OO、B PP都是正三角形。OO=OB，
6、PP=PB。显然BOCBOC，BPCBPC。由于BOC=BOC=120=180-BOO，A、O、O、C四点共线。AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即 PA+PB+PCOA+OB+OC。14(95 全国竞赛) 菱形 ABCD的内切圆 O与各边分别交于 E、F、G、H，在弧 EF和弧 GH上分别作O 的切线交 AB、BC、CD、DA 分别于M、N、P、Q。 求证：MQ/NP。【分析】由 ABCD知：要证 MQNP，只需证AMQ=CPN，结合A=C 知，只需证AMQCPN ，AMCN=AQCP。连结 AC、BD，其交点为内切圆心 O。设 MN与O 切于 K，连结 OE、OM、OK、ON、OF。
7、记ABO=，MOK=，KON=，则EOM=，FON=，EOF=2+2=180-2。BON=90-NOF-COF=90-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又OCN=MAO，OCNMAO，于是 ，AMCN=AOCO同理，AQCP=AOCO。【评注】15(96 全国竞赛)O 1和O 2与 ABC 的三边所在直线都相切，E、F、G、H 为切点，EG、FH 的延长线交于P。求证：PABC。【分析】【评注】16(99 全国竞赛)如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC平分BAD。在 CD上取一点 E，BE 与 AC相交于 F，延长 DF交 BC于 G。求证：GAC=EAC。证明：连结 B
8、D交 AC于 H。对BCD用塞瓦定理，可得因为 AH是BAD 的角平分线，由角平分线定理，可得 ，故。过 C作 AB的平行线交 AG的延长线于 I，过 C作 AD的平行线交 AE的延长线于 J。则 ，所以 ，从而 CI=CJ。又因为 CI/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，ACIACJ，从而IAC=JAC，即GAC=EAC。已知 AB=AD，BC=DC，AC 与 BD交于 O，过 O的任意两条直线 EF和 GH与四边形 ABCD的四边交于E、F、G、H。连结 GF、EH，分别交 BD于 M、N。求证：OM=ON。（5 届 CMO）证明：作EOH EOH，则只需证 E
9、、M、H共线，即 EH、BO、GF 三线共点。记BOG=，GOE=。连结 EF交 BO于 K。只需证 =1（Ceva逆定理）。= = =1注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。对应于 99联赛 2：EOB=FOB，且 EH、GF、BO 三线共点。求证：GOB=HOB。事实上，上述条件是充要条件，且 M在 OB延长线上时结论仍然成立。证明方法为：同一法。蝴蝶定理：P 是O 的弦 AB的中点，过 P点引O 的两弦CD、EF，连结 DE交AB于 M，连结 CF交AB于 N。求证：MP=NP。【分析】设 GH为过 P的直径，F FF，显然O。又 PGH，PF=PF。PF PF，PAPB，FPN=FPM，PF=PF。又 FFGH，ANGH，FFAB。FPM+MDF=FPN+EDF=EFF+EDF=180，P、M、D、F四点共圆。PFM=PDE=PFN。PFNPFM，PN=PM。【评注】一般结论为：已知半径为 R的O 内一弦 AB上的一点 P，过 P作两条相交弦 CD、EF，连 CF、ED 交 AB于 M、N，已知 OP=r，P 到 AB中点的距离为 a，则。（解析法证明：利用二次曲线系知识）
