初高中数学衔接1.doc

1、 初高中数学衔接编写说明一、现有初高中数学知识存在以下脱节的现象：1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2.因式分解在初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系

2、（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容。6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如三角形角平分线定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 （二）纵观现有初高中衔接教学教材绝大多数往往是初中知识的一次重复，内容过于

3、繁杂，挤占了太多的高中教学时间。本选修课只选择了 8 个专题，通过这 8 个专题的教学，对初高中知识起到了较好的衔接作用。 二、内容及教学课时安排：第一节 数与式的运算（1 课时） ；第二节 十字相乘法（1 课时） ；第三节 韦达定理（1 课时） ；第四节 二次函数的三种表示方式（1 课时） ；第五节 二次函数的图象和性质（1 课时） ；第六节 方程与不等式（1 课时） ；第七节 三角形角平分线的性质（1 课时） ；第八节 三角形的心（1 课时） ；第九节 小结与测试（1 课时） 。第一节 数与式的运算；1、绝对值：,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离

4、 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 对应的baab点之间的距离2. 乘法公式： （1）平方差公式 ；2()（2）完全平方公式 2abab（3）立方和公式 ；23)（4）立方差公式 ；2()（5）三数和平方公式 ；2()ccca（6）两数和立方公式 ；33abab（7）两数差立方公式 22()3、二次根式：一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含0有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，23ab等是无理式，而 ， ， 等是有理式 2ab21x22xy把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式

5、的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与2， 与 等等 一般地， 与 ， 与236axaxby， 与 互为有理化因式分母有理化的方法是分母和axbyaxb分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程二次根式 的意义：2a2a,0,.a4. 分式：形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为分式分ABA式具有下列性质：当 M0 时， ； ABAMB1212nnaaakbbb例 1、计算： .2()()(1)xxx解：原式= 22 4261x例 2、试比较下列各组数的大

6、小：（1） 和 ； （2） 和 .106解：（1） =()(1)12= 10(0)()1102,2（2） =6()(6)6 +24,4例 3 、化简：（1） ； （2） 9521(01)xx解; （1） =9454 () =52（2） 2211 ()01)xxx例 4、设 ，且 e1， 2c25ac2a 20，求 e 的值ca解：因为 2c25ac 2a 20， 两边同除以 得2a， .2()50(1)ceea1,e练 习：1、选择题：（1）下列叙述正确的是 （ ）（A）若 ，则 （B）若 ，则 abab（C）若 ，则 （D）若 ，则abab（2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ）248ab（

7、A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是（3）等式 成立的条件是 （ ）2x（A） （B） （C） （D）0x2x02x（4）若 ，则 （ ）3yx（A） （ B） （C） （D）5445652、化简：|x5|2 x 13|（x5） 3、若 ，求 的值221abab4比较大小：2 （填“ ”，或“”） 3 5 45、计算 1.1290习 题 11解不等式： (1) ； (2) ；3x327x(3) 16已知 ，求 的值y3xy3填空：（1） _；1819(2)()（2）若 ，则 的取值范围是_；22aa（3） _13456（4） 11.245980（5） 2()(

8、)n4 （北京大学等 7 校自主招生题）求关于 x 的方程的实根的个数.1610xx第二节 十字相乘法1、对于二次三项式 的因式分解：如果能找到两个数 a、b，20xpq使 则就有 ，这种方法,.abpq22()()xabx的关键是适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的乘积，且其和等于一次项的系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。例 1 分解因式：x 23x 2.解：如图 1.2-1，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2 中的一次项，所以，有x23x2(x1)( x2)

9、2、关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解（1）如果能找到四个数 12121,.cb使12()bcax2则 a（2）若关于 x 的方程 的两个实数根是 、 ，则二次0()bca1x2三项式 就可分解为 .012x例 2 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） ； （2）675x456yxy解：（1） （2） 22x= ()()yy= =2675x(1)35x2423x=()()y例 3、把下列各式因式分解12xx图 1.211211图 1.221523图 1.23（1） （2）2(3)()xx424136xy解：（1） 3()()(2)1xx（2） =（4246xy(

10、)(9)()2()3yxyxy练 习：1、多项式 的一个因式为 （ ）2215xy（A） （B） （C） （D）3xy3xy5xy2、把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） ； （2） 21224（3） ； （4） ()aby1xy习 题 21分解因式：（1） ； （2） ； 31a42139x（3） ； （4） 22bcacb54yxy2在实数范围内因式分解：（1） ； （2） ； 253x 1x（3） ； （4） 24y22()7()x3 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状ABCabc22abcabcABC4.解方程： 22221135xxxx第三节 韦达定理对于一元二次方程 ax

11、2bxc0（a0） ，判别式 = ：24bac（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2 ；4b（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x 2 ；a（3）当 0 时，方程没有实数根由（1） （2）得一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：x1x 2 ，x 1x2 bc这一关系也被称为韦达定理例 1、已知关于 x 的方程 x22(m 2)xm 240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值解：因为方程有实根，=224()4()16,.bacm设两个根为 2112,()4xxx， 则由已知得 ，2 2 211,3,()3(4)21m26707,0,.

12、m或 而 m例 2、 （北京市高一竞赛题）已知 a，b 是方程 的两个实根，4290x且 a+b=4，求 m 的值.解：令 ，则二次方程 的两个实根是 .2ux290u221,uab27494,16,()abababmb例 3、若 且 ，则 .220,31a解：由已知 a，b 是方程 的两个根，0x31,2ab 13ab练 习1选择题：（1）方程 的根的情况是 （ ）2230xk（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2 (2m1)xm 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ）（A）m （B）m 1

13、414（C）m ，且 m0 （D ）m ，且 m0 2填空:（1）若方程 x23x 10 的两根分别是 x1 和 x2，则 12（2）方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知 ，当 k 取何值时，方程 kx2ax b0 有两个不相等的86|ab实数根？4已知方程 x23x 10 的两根为 x1 和 x2，求(x 13)( x23) 的值习题 31选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：方程 x22x 70 的两根之和为2，两根之积为7；方程

14、 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 ；3方程 3 x22x 0 的两根之和为2，两根之积为 0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25x a 2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x 40 的两根为 ，则 2 2 （3）已知关于 x 的方程 x2ax 3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程 2x22x 10 的两

15、根为 x1 和 x2，则| x 1x 2| 3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数5、 （复旦大学自主招生题）已知 方程 （a 为实12,x2()(35)0ax数）的两个实根，求 的最大值.21x第四节 二次函数的三种表示方式二次函数可以表示成以下三种形式：1一般式：y ax 2bxc(a0)；2顶点式：y a(x h) 2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)3交点式：y a(x x1) (xx 2) (a0)，其中 x1，x

16、2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图象的顶点在直线 yx 1 上，并且图象经过点（3，1） ，求二次函数的解析式解： 时，x=1，故可设二次函数的解析式为 ，且 ，2y2()a0a又图象经过点（3，1） ，代人得 .所以二次函数的解析式为34a2()4x例 2 已知二次函数的图象过点( 3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的解析式解：设二次函数的解析式为 ，由（-3+1）2=-1 知二次函()1yax数的图象的顶点的横坐标 x=-1，而当 x=-1 时，y=-4a ，所以 ，142,a所求二次函数解析式为 .1(3)2例

17、 3 已知二次函数的图象过点(1，22) ，(0 ，8)，(2 ，8)，求此二次函数的解析式解：设二次函数解析式为 yax 2bxc(a0)，则所求函数解析式为842abc18abc218.yx练 习1选择题:（1）函数 yx 2x 1 图象与 x 轴的交点个数是 （ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无法确定（2）函数 y (x1) 22 的顶点坐标是 （ ）12（A）(1，2) （B）(1，2) （C ）( 1，2) （D ）(1，2)2填空：（1）已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(1，0) 和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为 ya (a0) （2）二次函数 y

18、x 2+2 x1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 33根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1，2)，(0，3) ，(1，6)； （2）当 x3 时，函数有最小值 5，且经过点(1，11) ；（3）函数图象与 x 轴交于两点(1 ，0)和(1 ，0)，并与 y 轴交于(0，2)2 2习题 41填空题：（1）已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(2，0) ，B(1，0)，且过点C（2， 4） ，则该二次函数的表达式为 （2）已知某二次函数的图象过点（1，0） ， （0，3） ， （1，4） ，则该函数的表达式为 2把已知二次函数 y2 x24x7 的图象向下平移 3 个单位

19、，在向右平移 4 个单位，求所得图象对应的函数表达式3已知某二次函数图象的顶点为 A（2，18） ，它与 x 轴两个交点之间的距离为 6，求该二次函数的解析式4.已知二次函数 其中 m 是任意实2 2(1)()(),ymxaxmab数，a 和 b 是实常数，其图象过点 0,0,.BCy（1）求截距 的最小值；o（2）求弦 AB 的长度 的最大值；A（3）当 取最大值时，求B.ABCS:第五节 二次函数图象和性质二次函数 y ax2 bx c(a0)具有下列性质：（1）当 a0 时，函数 y ax2 bx c 图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线 x ；当 x 时， y 随着 x 的增大而4(

20、,)2bcb2ba减小；当 x 时， y 随着 x 的增大而增大；当 x 时，函数取最小值2bay 4c（2）当 a0 时，函数 y ax2 bx c 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线 x ；当 x 时， y 随着 x 的增大而2(,)bba2ba增大；当 x 时， y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，函数取最大值bay 24c例 1、把二次函数 y x2 bx c 的图象向上平移 2 个单位，再向左平移4 个单位，得到函数 y x2的图象，求 b， c 的值.解：将函数 y x2的图象向右平移 4 个单位得到函数 y（x-4 ） 2的图象，然后再向下平移 2 个单位得到函数 y（

21、x-4） 2-2 即 yx 2-8x+14 的图象，所以 b=-8，c=14.例 2、已知函数 y x2，2 x a，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值解：结合 的图象可知：当 时，x=-2 时，y 最大 =4；x=a 时，y 最小 =a2.0a当 时，x=-2 时，y 最大 =4；x=0 时，y 最小 =0.2当 时，x=a 时，y 最大 = a2；x=0 时，y 最小 =0.例 3 已知二次函数 当 时的最大值是 ，求实数 a 的,x1x178值.解：显然 .二次函数 在 时的最大值只能在图象0a2,yax1x的顶点或在 或 这两个端

22、点时取到，即1x或 或 或 .217()8a27()1827()8a1a2当 时，二次函数 ，在 的最2214yxxx大值当 时取到为 1，故不合舍去.x当 时，二次函数 在 的最大值2a227()48yxx1x当 时取到为 ，符合题意. 所求的实数 a=-2.14x78练 习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A） y2 x2 （B） y2 x24 x2（C） y2 x21 （D） y2 x24 x （2）函数 y2( x1) 22 是将函数 y2 x2 （ ） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个

23、单位得到的 （C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的2填空题（1）二次函数 y2 x2 mx n 图象的顶点坐标为(1，2)，则 m ， n （2）已知二次函数 y x2+(m2) x2 m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点（3）函数 y3( x2) 25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x 时，函数取最 值 y ；当 x 时， y 随着 x 的增大而减小3已知函数 y x22 x3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的

24、最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：（1） x2；（2） x2；（3）2 x1；（4）0 x3习题 51选择题：（1）把函数 y( x 1)24 的图象的顶点坐标是 （ ）（A） （1，4） （B） （1，4） （C） （1，4） （D） （1，4）（2）函数 y x24 x6 的最值情况是 （ ）（A）有最大值 6 （B）有最小值 6 （C）有最大值 10 （D）有最大值 2（3）函数 y2 x24 x5 中，当3 x2 时，则 y 值的取值范围是 （ ）（A）3 y1 （B）7 y1 （C）7 y11 （D）7 y11 2、 填空题：（1）将二次函数 的图象

25、向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，21x得到的函数解析式为 .（2）若二次函数 ，当 时的最大值等于 6，最2(0)yaxc3x小值等于-3，则 a+c= .3、已知二次函数 且方程 的两个根 和 满足2,2(1)0xa1x2求证：120,x（1） 3;a（2）若二次函数 的图象与直线 y=x 相交于 A、B 两点，求证：2,yxa0.AB第六节 不等式与方程1、一元二次不等式解法（1）当 0 时，抛物线 yax 2bxc （a0）与 x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x2， 0)，方程 ax2bxc0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1x 2)，结合图象可知不等式 ax

26、2 bxc0 的解为 xx 1，或 xx 2；不等式 ax2bx c0 的解为 x1xx 2（2）当 0 时，抛物线 yax 2bxc （a0）与 x 轴有且仅有一个公共点，方程 ax2bxc0 有两个相等的实数根 x1x 2 ，结合图象可知b2a不等式 ax2 bxc0 的解为 x ；不等式 ax2bxc 0 无解b2a（3）如果0，抛物线 y ax2 bx c（ a0）与 x 轴没有公共点，方程ax2 bx c0 没有实数根 ， 结合图象可知不等式 ax2 bxc0 的解为一切实数；不等式 ax2bx c0 无解例 1 解不等式：（1）x 22x 30； （2）x x260；（3）4x 2

27、4x 10； （4）x 26x90 ；（5）4xx 20解：(1) ;(2) 或 ；（3） ；（ 4）3 ；（5）1R.xR练 习1解下列不等式：（1）3x 2x40； （2）x 2x120；（3） x23 x40； （4）168 x x202.解关于 x 的不等式 x22 x1 a20（ a 为常数）2. 二元二次方程组解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的2260xyxy项的最高次数是 2 次的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中至少有一个方程是由一个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组二元二次方程组一般可以用代入消元法来解例 1、解方程组240,.xy解：由 得 ，代

28、入 得 或20,yy1所以原方程的解为 ，或 .0y1x练 习：1下列各组中的值是不是方程组 的解? 23,5yx（1） （2） （3） （4） ,3;xy,;y1,;2,3;xy2解下列方程组:（1） （2） 25,6;x ,10;x（3） （4）1,43;y 2,8.y习 题 61解下列不等式：（1）3x 22x 10； （2）2x x21； 2解下列方程组：（1） （2）,4;yx (3)9,0;y（3）2,.y3、已知二次函数 yax 2bx c， 且过（-1,0 ） ，问是否存在常数 a、b、c，使得对任意实数都成立？21xxabc第七节 三角形角平分线性质从一个角的顶点引出一条射线

29、，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等( 即内心 )。显然角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。在一个角的内部（包括顶点） ，且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。其次三角形角平分线还有很重要的一个性质： 定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。已知，如图，AM 为ABC 的角平分线，求证 ABM=.C证明 1：过 M 作 MEAB 于

30、 E，MF AC 于 F, BAM= CAM, ME=MF, （等高时，三角ABMCS:形面积之比等于底之比）, （同高时，三角ABM:形面积之比等于底之比） =.证明 2.：过 B 作 BEAM 交 AM 于 E，过 C 作CFAM 与 F,则 ,ABAF:又 ,MEC=.证明 3： 过 C 作 CNAB 交 AM 的延长线于 N ，则 ABMNCM ， ABCNM又 AC=CN CNA B=.证明 4（相似形） 过 M 作 MNAB 交 AC 于 N ， 则 又:,ABCNCCAM =AMN AN=MN BA.C证明 5：过 C 作 CEDA 与 BA 的延长线交于 E。 则 , BAM=

31、AEC, ABMECAM=ACE, BAM=CAM, AEC= ACE AE=AC, ABM=.C证明 6： 作三角形的外接圆，AM 交圆于 D， 由正弦定理得， ,sinsi又sinsiACMABAM=CAM，BMA+AMC=180 sinBAM=sinCAM,sinBMA=sinAMC, BM=.AC练习：1.在ABC 中， AB=AC,A=36 0,BD,CE 分别是ABC ，BCD 角平分线，则ABC 中的等腰三角形有 （ ）A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个21.在ABC 中，AB=7，AC=11，点 M 是 BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，FMAD ，则 FC

32、的长为 。习 题 71、已知在ABC 中， C=900，AD 平分BAC ，CD= 求平分线3,2,BDAD 的长，AB,AC 的长。2. 在ABC 中，D 是 BC 边的中点，DE 平分ADB,DF 平分ADC，连结 EF交 AD 与 O 点，M、N 分别是 AB,AC 的中点，分别连结 MO,NO 交 AC,AB 的延长线上与 P、Q 两点，连结 PQ,求证：PQ=AD 。第八节 三角形的心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心” ，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍 三角形的“五心 ”指的是三角形的外心,内心，重心，垂心和旁心。旁心在初高中学习过程中很少涉及，所以在这里

33、不作介绍。 1、三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心) 外心定理：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等,都等于三角形的外接圆半径证明：如图 8-1，设 AB、BC 的中垂线交于点 O，则有OA=OB=OC，故 O 也在 AC 的中垂线上，因为 O 到三顶点的距离相等，故点 O 是 ABC 外接圆的圆心因而称为外心另外，锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外 2、三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心( 内切圆圆心) 内心定理：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切

34、圆半径证明：如图 8-2，设A、C 的平分线相交于 I、过 I 作ID BC，IE AC，IFAB，则有 IE=IF=ID因此 I 也在C 的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点。内切圆半径 r 的计算： 设三角形面积为 S，并记 p= ，则 2abcSrp特别的，在直角三角形中,有 2abcr3、三角形的重心：三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心重心定理：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 12 证法 1：如图 8-3，D、E、F 为三边中点，设 BE、CF 交于 G，连接 EF，显然 ，由三角形相似可得 GB2GE，GC=2GF又设 AD、BE 交于EFBCG，同理

35、可证 GB=2GE，GA=2GD，即 G、G都是 BE 上从 B 到 E 的三分之二处的点，故 G、G 重合，即三条中线AD、BE、CF 相交于一点 G 证法 2 设 BE、CF 交于 G，BG 、CG 中点为H、I连 EF、FH、HI、IE， 因为 ，12EFBC，所以 EFHI 为平行四边形所以 1BCHG=GE、IG=GF，GB=2GE ，GC=2GF同证法1 可知 AG=2GD，AD、BE 、CF 共点证毕4、三角形的垂心：三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心 垂心定理：斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂心

36、组” 证明 如图，AD、BE、CF 为 ABC 三条高，过点 A、B、C 分别作对边的平行线相交成 ABC，显然 AD 为 BC的中垂线；同理 BE、CF 也分别为AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证如果ABC 是正三角形，那么着四心重合，并称为中心，它具有外心、内心、重心及垂心的所有性质。练习：1设 G 为ABC 的重心，M、N 分别为 AB、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和GBC 的面积相等2三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍习题 81、在ABC 中，A 是钝角，H 是垂心，且 AH=BC，则 cosBHC=( ) A122 B122 C33

37、D122如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的 ( ) A内心 B外心 C重心 D垂心(1996 年全国初中联赛) 3、过等腰ABC 底边 BC 上一点 P 引 PMCA 交 AB 于 M；引 PNBA交 AC 于 N. 作点 P 关于 MN 的对称点 P.试证：P点在ABC 外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题.答案与提示第一节练习：1.DDAC;2.当 时，原式= ，当 时，原式1352x318x32=8-x；3.1；4. ；5. ；习题 1. 或 （2） 或90()4;x()2.1；3.（1） ；（2） （3） ；（4）3;x31a6（5） ；4.0.提示：

38、原方程化为 46980()n3251xx，利用数轴知无解.第二节练习：1、B;2.（1） ,；（ 2）(12)()x；（3） ；（4） ；习题：(2)(2)xyy(xayb(1)xy（1） ；（2） （x+1） （x-1 ） （2x+3） （2x-3） ；（3） （b+c） （2a+b+c） ；2()1)a（4） （3x-y+4） （x+2y+1） ；2.（1） ；（2）51()()2xx；（3） ；（4） （x-3）(25)(2)xx77yy（x+1） ；3.正三角形；4. （提示：各项分母因式分153.x解，在裂项相消。 ）第三节练习：1.CD;2.（1）-3；（2）有两个不相等的实数根；

39、（3） ；3.230x且 ；4.-1.习题：1.CBC；2.（1）2；（2） （3）6；（4） ；3.4k017； ； ；4. .5.18.m4m20x第四节练习：1.AC;2.（1） ；（2）4；3.（1）() 25yx（2） ；（3） ；习题：1.（1）2()5yx)(2)yx（2） ；2. ；3. ；4.（1） ；2yx210yx280yx54（2）2；（3）1.第五节练习：1.DD;2.(1)4,0;(2)2，-2,0;(3)下，直线 x=-2， （-2,5） ，-2，大，5， ；（1） ；（2）x=-23y最 大当 时 ， ， 无 最 小 值；（3） ；x=-4y最 大当 时 ， ，

40、 无 最 小 值 x=-14x=1yy最 大 最 小当 时 ， ， 当 时 ，（4） 。习题：1.DCD;2.（1）0最 大当 时 ， ， 当 时 ， -最 小；（2） ；3.（1） ；1()yx7-5或 032a第六节练习：1.（1） （2） ；2.（1） ；（2） ；215xy或 52xy或（3） ；（4） 。习题：1.（1）无解；（2） ；53xy 12.（1） 或 ；（2） 或 ；（3） ；3.0xy1340xy245131xy。1,42abc第七节练习：1.A；2.9。习题：1.AD= 2、提示：先证23,3;ABCMNBC，进而证明 PQ NM，得到 MNEFBCPQ，再通过 PQ

41、NM得到一个 PQ：MN=AD：BD，由于 NM=BD，进而得到结果 PQ=AD。第八节练习： 1证明 如图，连 GA，因为 M、N 分别为 AB、CA 的中点，所以AMG 的面积=GBM 的面积，GAN 的面积=GNC 的面积 ,即四边形 GMAN 和GBC 的面积相等 2证明 如图 8-7，O 为ABC 的外心，H 为垂心，连 CO 交ABC 外接圆于 D，连DA、DB，则 DAAC，BDBC ，又AHBC，BHAC所以 DABH ，BDAH，从而四边形 DAHB 为平行四边形。又显然DB=2OM，所以 AH=2OM同理可证 BH=2ON，CH=2OK证毕习题：1、B;2. 、A;3、证明 由已知可得 MP=MP=MB，NP=NP=NC， 故点 M 是PBP 的外心，点 N 是PPC 的外心.于是有BPP=12BMP=12BAC， PPC=12PNC=12BAC.BPC=BPP+ PPC=BAC ， 从而，P点与A、B、C 共圆，即 P在 ABC 外接圆上.