1、目录前言 .1第一章 概率与随机变量 .21、随机事件及其概率 .22、随机变量及分布函数 .33、数字特征 .44、特征函数 .5第二章 随机过程概述 .61、随机过程的概念 .62、平稳随机过程 .73、平稳随机过程的各态历经性 .84、平稳过程的功率谱密度 .9第三章 随机过程的线性变换 .101、随机过程变换的基本概念 .102、均方微积分 .103、随机过程线性变换的微分方程法 .134、随机过程的冲激响应法和频谱法 .14第四章 窄带随机过程 .151、窄带随机过程的基本概念 .152、窄带平稳随机过程的数字特征 .16第五章 高斯随机过程 .181、高斯随机过程 .182、窄带平
2、稳实高斯随机过程 .18第六章 泊松随机过程 .201、泊松计数过程 .202、泊松过程的基本概念 .21第七章 总结 .241前言随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点 t 指定一个随机变量 x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以 表示随机变量 x(t)的定义域中的一点，并以 x(t，) 表示随机变量在 的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，) 的函数以及概率的分配完全确定。如果固定 t，这个二元函数就定义一个 的函数，即以 x(t)表示的随机变量。如果固
3、定 ，这个二元函数就定义一个 t 的函数，这是过程的样本函数。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907 年前后，马尔可夫研究了
4、一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923 年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于 20 世纪 30 年代。1931 年，柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法 ，1934 年 A辛饮发表了平稳过程的相关理论 ，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953 年，杜布出版了名著随机过程论 ，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。本论文着重讨论随机过程的基本理论和基本方法，并简单介绍了几种在应用中常见的随机过程。第一章介绍了概率论的相关知识，因为后文用到了太多的概率论知识，所以单独拿出一章来对概率论的知识进行
5、简单回顾。第二章详细讨论了随机过程的基本概念，重点介绍随机过程的两类基本分析方法。第三章研究具有随机输入的线性系统输出过程的统计特征。第四、五、六章分别介绍了窄带随机过程、高斯随机过程和泊松随机过程。最后一章是对该门课程的学习总结与心得。2第一章 概率与随机变量1、随机事件及其概率1、事件的概率2、几个公式32、随机变量及分布函数1、一维分布3、二维分布4、边沿分布5、多维分布43、数字特征1、数学期望2、方差3、协方差54、相关系数4、特征函数1、一维特征函数定义2、一维特征函数性质3、二维特征函数6第二章 随机过程概述1、随机过程的概念1、随机过程的定义设 E=e是一个样本空间，若对每一时
6、刻 t ，都有定义在 E 上的随机变量 X(t,e)与之对应，则称依赖 t 的一族随机变量 X(t,e),tT,eE 是一个随机过程，通常将它简化为X(t),t T。2、随机过程的概率分布3、随机过程的数字特征74、随机过程的基本分类按统计特性分类：平稳随机过程和非平稳随机过程按记忆特性分类：纯粹随机过程、马尔可夫过程、独立增量过程按概率分布分类：高斯随机过程和非高斯随机过程按功率谱特性分类：白噪声过程和有色噪声过程2、平稳随机过程1、狭义平稳过程设X(t),tT为一随机过程，若对任意正整数 n,任意的实数 t1,t2,tn与 ,随机变量 X(t1),X(t2),X(tn)的 n 维分布函数与
7、 X(t1+),X(t 2+),X(tn+)的 n 维分布函数相同，即则称 X(t)为严格平稳随机过程。2、广义平稳过程定义设X(t),tT是一个随机过程，EX 2(t)0满足下列假设，称为泊松过程，1. 在 t=0 时，N(t)=0；2. 该过程是独立增量计数过程；3. 该过程是平稳增量计数过程；4. 在（t, t+t）内出现一个事件的概率为 t + 0(t)，为一常22数，在（t, t+t）内出现两个或两个以上事件的概率为0(t)即P N(t+t) - N(t)1=0(t)2、泊松过程的分布特征泊松过程的概率分布律为： 00()()(!ntnPNttPte泊松分布的母函数为： (1)00(
8、)()!nnttzkzez对于给定的时刻s、t，且st， ，以及相应的N(s)、N(t)，转移概率ts分布为。 ()/()/()()!ntnPNtksNkte3、泊松分布的统计特征均值： 0()()nENtPtn1()()zdt10011(1)()nznnzztzENtPtPNtddet ()ENt方差： 220()()ktPNtk2221001()112()(1)()1()()()()kzk kkztzzt tztztdzPtdedzeDNtEtNett 23自相关函数： 1212(,)()RtENt假设 ，有12112111212()()()()ttNttEttt若 ，则有：2t1212(
9、)ENttt总结起来有 21212(,)tttRt或： 1212,min,ttt自协方差函数 12112212212(,)()()in,()()CtENttttUtt第七章 总结经过这学期对随机过程的学习，我基本了解了随机过程的含义与如何应用随机过程建模。对于随机过程的含义，我认为可以从两方面来理解：一个理解，随机过程是一组样本函数的集合；根据这个理解，可用试验的方法研究随机过程，通过随机试验观测其各个样本函数，观测次数越多，所得样本函数的数目越多，就越能掌握该随机过程的统计规律。另一个理解，随机过程可看作是一簇随时间变化的随机变量的集合；随机过程可视为多维随机变量的推广，时间分割越细，多维随
10、机变量的维数越大，对随机过程的统计描述也就越全面，因此，概率论中多维随机变量的理论也可作为随机过程分析的理论基础。如何分析一个随机过程呢？随机过程通过线性系统一般有三种分析方法，它们是微分24方程法、冲激响应法和频谱法；冲激响应法是随机过程通过线性系统分析的基本方法，对于平稳和非平稳过程都是适用的，而频谱法只适用于平稳随机过程的情况。在课程的下半段，我又接触了几种在应用中常见的随机过程，包括窄带随机过程、高斯随机过程和泊松随机过程，这些随机过程广泛的应用在通信、雷达、导航、自动控制、生物物理、系统工程、空间技术等多种工程科学技术中，学习这几种随机过程，相信以后在遇到类似的数学建模问题上就不那么手足无措了。把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。在课程学习中，由于问题太抽象，我有很多问题很难理解，杜贞斌老师总是能理论结合实际，形象具体地把问题展现在我面前，听杜老师的讲解总是有种醍醐灌顶、豁然开朗的感觉，感谢杜老师的耐心指导，也感谢周围同学在生活以及学习上对我的帮助。
