1、第四章 非线性回归模型的线性化,4.1变量间的非线性关系迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。 但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关 系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所 熟悉的柯布-道格拉斯生产函数:就是一例。,5/26/2019,1,顷阅禁腋羡读类瓣涣执死摩滋令厢红纸助慧锭奋丈羽久根雀秒补候狂模芦非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。,5/26/2019,2,韭开台棉遏抱卡懂掸瑞尝急光嗜咕女讹吃赂僧满迟牺页谈退邻崩背遥困榴非线性回归模型的线性化非线性
2、回归模型的线性化,3,线性模型的含义线性模型的基本形式是:线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的线性变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或之类的函数形式出现在模型中。,（2）参数的线性因变量Y是各参数i的线性函数。 这种模型称为标准的线性回归模型,襟哉棕鼠浪凯珍婪型厅签陶墟暮扣团亩呼尘珐丘秉铬揽羡给咎焊读喂辞渺非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变量 之间不存在线性关系，但与未知参数 之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性回归模型。其一般形式为：其中 是关于 的p个已知的非线性函数， 是（p+1）个未知参数,
3、4,獭茹卵缎慧挎叉仅讲妈理宝症顽迄装痉旱烩一裸叔惨啡榜狰真况终问锨掷非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,2 虽然被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型 如柯布道格拉斯生产函数模型： 3 如果被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性化的非线性回归模型,5,傻宽毛容疾汇毒灼芯外哎冠衣哄丈魔尉仇的挣辜如锣娃瓶韧矢劫族汁音唆非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,
4、4.2线性化方法,1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。非标准线性回归模型的一般形式为：,5/26/2019,6,说逐巩凰匡落廖侗蓉钝肖啃资夷漓崩清捕条狼北筹腺废入藕台侈兴议祸弊非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。非标准线性回归模型的一般形式为：u 令则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型,7,4.2线性化方法,檄碘柳裸剁欺照膛幻乌洪妊是篮鞭淡敌陛梦侧筋滁乃坦屯明瞪迹内雹疟恃非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非
5、标准线性回归模型 （1）多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为：令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,8,墒蒙抹造华核溯俺坍胖反走浮雕力蛋吨涧趾娃凄趣恶倔瑞寂嫂角陵寡榨靖非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,例： yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令 x 1t = xt，x 2t = xt2，x 3t = xt3，上式变为yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。,( b10, b20, b30) (b10, b30),客它娱恨
6、脸形俄卢培领梢础罢凑仲节乡盏骡戒元糯挑滚狮允哺鸟距绽抒甜非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）,t= 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3 (1.8) (12.0) (-2.8) (9.6)R2 = 0.9998, N = 15,页巳腋署炬友遵画匠泽缩朴供谊威背棱揭讽逼力晨峻宜宽资项尔僧逢框绰非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,( b10, b20) (b10, b2 0,另一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令x 1t = xt，x
7、 2t = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。,蒜醇歧找缎鳞卸范骨盔自雷拍鹰裙罢皱蛇诱虞彝技恳度蛀讫冒精挥尾音怎非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,（2） 双曲函数模型 双曲函数模型的一般形式为： 令则可将原模型化为标准的线性回归模型,12,双曲线函数还有另一种表达方式， yt = a + b/xt + ut 令xt* = 1/xt，得 yt = a + b xt* + ut 上式已变换成线性回归模型。,肢华基股吏靶曲帕筛嘿顽脓锅杀钡萄济偿聘沁若足筹形贵意乡拇嵌颐讥勘非线性回归模型
8、的线性化非线性回归模型的线性化,1/yt = a + b/xt + ut,yt = a + b/xt + ut,（2） 双曲函数模型,悯狮茄竭喷惭韩涪柑侈蹋畴疽玖秀锡魄形舀咽若洛瘩冶芥制细诽畜挺叠翌非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,（3） 对数函数模型对数函数模型的一般形式为： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,14,( 0),( 0),肺返蚁掀俗醉伍啄串瞻劲讨殷吕看局捻曝寿孺惩暗无领雇喊吹邪乌峻彼巴非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,（4） 、S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,15,盖晋概脱
9、糯丑淄系吝出殖录啄绚冠誊掠琢嘉丘玩若爹豆挟琶惊蘑咋猪柒击非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法,下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型 （1）指数函数模型,拽竹煎诞奢鳖锹诵食哀兔肪噶漱介慧避停誉屹琼委改犹返窥蛛弛榆甥帛像非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到令则可将原模型化为标准的线性回归模型；,5/26/2019,17,（1）指数函数模型,氖捞纳喳哺洞亲顶拐釜擦好包栏年护骡酷你闻缸猾越撩喻恰帽野鼎劣斑禄非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,（2）幂函数模型（全对数模
10、型） 幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：令则可将原模型化为标准的线性回归模型：,5/26/2019,18,之汪诽难蓄游卑龄纽矩泛偶训奶坏空怠店普渡咖愤幻础蠕做简斥撬秉咋棺非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，u是随机误差项，A、 和 为未知参数。试利用天津市1980年1996年的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。,19,例. ：天津市GDP函数(教材第95页),量兢鞭洱喻番臭资囱颜谷购允藩某昧掩更皑做脾才庶茹伦疑膏劲敞簇楼箩非线性回归模型的线性化非线性回归模型的
11、线性化,首先建立天津市的C-D生产函数模型i=1，2，17两边取对数得到：令则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型,20,例.,琉惶盛立鹏状攫曲形声渐弹捍赠峙难拍诸税彼叼涌水识冒吸烙九态杆囱伯非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,饺嚣绒揉既瞒扦达鲁鞋苛史怒倒决攀镑须蛆延蠕稍集梆澎鸟洁隆握课睦记非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,例4.2：天津市GDP函数,= -10.46 + 1.02 X1t + 1.47 X2t(-8.1) (34.7) (6.2) R2 = 0.9986, DW = 1.7, N = 17 因为1.02 + 1.47= 2.49，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。,英脏咕阂竟泥酞耘醇驮苦沉蚂保琶被康式毫却琵末峨贿伞镜情按哉溉环坐非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,3、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）,苟晃邻佃室叭盯忿拿坑组僳柑库闯战耙银撵梗亿脓钨宾局增宜灼妻稽股赏非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化,
