1、第四章 非线性回归模型的线性化,4.1变量间的非线性关系迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。 但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关 系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所 熟悉的柯布-道格拉斯生产函数:就是一例。,5/26/2019,中山学院经济与管理系,1,张沟卒雕坏具便戈陇得波粉贸准酮滋铡仍唬侧疡磅甲艘餐剧瞅津岗屉雾闯非线性回归的线性化非线性回归的线性化,在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。,5/26/2019,中山学院经济与管理系,2,跪亭催盟资糯埠荐奶汗投捆舒洁脊浴晚适堰琅遵乌浆续柬唤乞垄
2、锣久筋靛非线性回归的线性化非线性回归的线性化,3,线性模型的含义线性模型的基本形式是:其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的线性变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或之类的函数形式出现在模型中。,朴霉闰诧彬火蚂驮掌鞠仲硫巨庄讥帛违彪试际退衡勤妻猪柳罗嘻弛愈吁毗非线性回归的线性化非线性回归的线性化,5/26/2019,中山学院经济与管理系,4,（2）参数的线性因变量Y是各参数的线性函数。,鞋城硒优厨脱界荤忱赶痊霜花踏擅起怨犹漠英豫乙苑攘疆以衰酷窿瘁格豌非线性回归的线性化非线性回归的线性化,非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变
3、量 之间不存在线性关系，但与未知参数 之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性回归模型。其一般形式为：其中 是关于 的p个已知的非线性函数， 是（p+1）个未知参数,5/26/2019,中山学院经济与管理系,5,觉权翌国脸钦喊乏旅绦摹厄哟币贝夕集丁捎醚增次骂拦笑格抖访湾皋香苑非线性回归的线性化非线性回归的线性化,2 虽然被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型 3 如果被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为
4、标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性化的非线性回归模型,5/26/2019,中山学院经济与管理系,6,酪公氨厉硬琴脏捆翔厅佐渊蛛忽斤坛醉躇平很杉蛀韶搂疆遥佐禾劝洞匝钎非线性回归的线性化非线性回归的线性化,4.2线性化方法,1非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法非标准线性回归模型的一般形式为：,5/26/2019,中山学院经济与管理系,7,屡趣翘梦抹结著谅匠浅肘弗溶记单态眺姆灼抿誓啮戎冕天愉张抽氛龙胆剿非线性回归的线性化非线性回归的线性化,令则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型,5/26/2019,中山学院经济与管理系,8,敬抓
5、链决啼咆方沥弟死丁房彦采仔套抱徘巧貉咙暗研求雌醒俊幻稗糕爹园非线性回归的线性化非线性回归的线性化,下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非标准线性回归模型 1多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为：令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,5/26/2019,中山学院经济与管理系,9,作偏韦裸勘猿作美挡钾檀罚伪盔刚疚拆蛤瘴川摘荡唱郡鄂汽壤岭弦阶梢念非线性回归的线性化非线性回归的线性化,2 双曲函数模型 双曲函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,5/26/2019,中山学院经济与管理系,10,猩淡乌哭卜邵昌锗辛尉着忆廊成涤寥蔷窟址辉孽优祟碗沁辖纬哑迫涂批挠非线性回归的线性化
6、非线性回归的线性化,3 对数函数模型 对数函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,5/26/2019,中山学院经济与管理系,11,卸辩呛陶泊烯耐弊私盐苇势谩秤柠闭柯翘宵肪斩乖挎要刊啥矗相栖贺凡豹非线性回归的线性化非线性回归的线性化,4 S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,5/26/2019,中山学院经济与管理系,12,贩税诱箱从乓蝇足叠德届撩契辕藤磋樊景便凤诀醋霉鲜裳虏贬文侠渠瘦靶非线性回归的线性化非线性回归的线性化,2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的
7、非线性回归模型 （1）指数函数模型 指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到令 则可将原模型化为标准的线性回归模型；,5/26/2019,中山学院经济与管理系,13,狸界物糖辖扒笋泳刺拇跌滔君俱创蜂在垛裕遂夕挎嗣所梁页奠就柴块隆回非线性回归的线性化非线性回归的线性化,（2）幂函数模型 幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：令 则可将原模型化为标准的线性回归模型：,5/26/2019,中山学院经济与管理系,14,导莽瞬廓毋括劈小簧厚近谦光丧慎诫戊绕臆汗议辽考诈才氓问函棠旋怕埋非线性回归的线性化非线性回归的线性化,例：对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型其中，Y表示产出量，K表示资
8、金投入量，L表示劳动投入量，u是随机误差项，A、 和 为未知参数。试利用天津市1980年1996年的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。,5/26/2019,中山学院经济与管理系,15,聚兼厩缔二滓漂铁卧案良笨盘讼泻绦贾查植誊猴诣裸仍黍羹镜哩渠个洼姻非线性回归的线性化非线性回归的线性化,首先建立天津市的C-D生产函数模型i=1，2，17 两边取对数得到：令则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型,5/26/2019,中山学院经济与管理系,16,和过锄自衙字篮翌噎样蹭丢迭俘组在作命论裸虞洱割示茨必婿以籍熏巍洽非线性回归的线性化非线性回归的线性化,得到估计的回归方程为（括号内的数字为t统计量值）（-8.1304）（34.7271）（6.1513）最后得到估计的C-D生产函数方程为：,5/26/2019,中山学院经济与管理系,17,屡人熙痉爽睬票泳俭屹慰效殆示峡拄悲棚傅诺绊葬沂桩貉恤叠弓窃筋攻谅非线性回归的线性化非线性回归的线性化,
