1、文登学校 12006 年数学二试题分析、详解和评注一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（1）曲线 的水平渐近线方程为 sin52coxy1.5y【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 . sin14silimli2coc5xxx故曲线的水平渐近线方程为 .y【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？（2）设函数 在 处连续，则 .2301sind,(),xtfa 0xa13【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即
2、可.【详解】 由题设知，函数 在 处连续，则()fx，0limxa又因为 .223000sindsin1li()ll3xx xtf 所以 .13a【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.（3）广义积分 .20d(1)x【分析】利用凑微分法和牛顿莱布尼兹公式求解.【详解】 .202 2200dd(1+)11limlimli(1) +b bbxxx【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿莱布尼兹公式求解，注意取极限.（4） 微分方程 的通解是()yxe(0).x
3、yC文登学校 2【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为，d1yx两边积分得 ，整理得1lnC.（ ）exy【评注】 本题属基本题型.（5）设函数 由方程 确定，则 ()1ey0dxye.【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对 求导（注意 是 的函数） ，一阶微yx分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对 求导，得x.eyy又由原方程知， .代入上式得 .0,1x时 00dexxy方法二：方程两边微分，得，代入 ，得 .dedyy,10x方法三：令 ，则(,)1Fxx，0,10,10,10,1eey yxxxyxF故 .0,10
4、,dxyxyF【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式（6）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则21AEB2AE2 .B【分析】 将矩阵方程改写为 的形式，再用方阵相乘的AXXC或 或行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2E文登学校 3于是有 ，而 ，所以 .4BAE122B【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题 2005 年考过.二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数 具有二阶导数，且
5、 ， 为自变量 在点 处()yfx()0,()fxfx0x的增量， 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则d与 f0 0(A) . (B) .0ydy(C) . (D) . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由 知，函数 单()0,()fxf()fx调增加，曲线 凹向，作函数 的图形yy如右图所示，显然当 时，故应选(). 00d()()fxfx【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解： 0000()(),yfxfxfxx因为 ，所以 单调增加，即 ，又 ，()ff0则 ，即 .0()(
6、)dyfxfy dy（8）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则 是0x0()dxft（A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数（C）在 间断的奇函数 （D ）在 间断的偶函数 . B 0x【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 去计算 ，然后选择正确选项.()f0()()dxFft【详解】取 .,()1fx则当 时， ，0x 220001()()dlimlixFfttxx而 ，所以 为连续的偶函数，则选项（）正确，故选（）.()limx文登学校 4【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，
7、用赋值法求解往往能收到奇效.（9）设函数 可微， ，则 等于()gx1()(e,(1)2gxhh()g（A） . （B）ln31ln3.（C） （D ） C 2【分析】题设条件 两边对 求导,再令 即可.1()(egxx【详解】 两边对 求导,得 1()gxh.1()(egxh上式中令 ，又 ，可得1x(),)2g，故选（C）.()1()eeln1gh【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型.（10）函数 满足的一个微分方程是21xxyC（A） （B）3e.23e.xy（C） （D ） D 2xy【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关
8、系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为.12,则对应的齐次微分方程的特征方程为.2()0,0即故对应的齐次微分方程为.y又 为原微分方程的一个特解，而 为特征单根，故原非齐次线性微分方程右*ex1端的非齐次项应具有形式 （ 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）.()exfC【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式（11）设 为连续函数，则 等于(,)fxy140d(cos,in
9、)dfrr文登学校 5（） . （B） .2210d(,)dxfy 2210d(,)dxfy(C) . (D) . 2210(,)yf 2210(,)yf【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域 如右图所示，显然是D型域，则Y原式 .2210d(,)dyfx故选（）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.（12）设 均为可微函数，且 ，已知 是 在约(,)(,)fxy与 (,)0yx0(,)xy(,)fx束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是0(A) 若
10、，则 . (,)xfy 0(,)yfx(B) 若 ，则 . 0 (C) 若 ，则 . (,)xfy0(,)yfx(D) 若 ，则 . 0【分析】 利用拉格朗日函数 在 （ 是对(,)(,)(,)Fxyfxy0,)xy0应 的参数 的值）取到极值的必要条件即可.0,xy【详解】 作拉格朗日函数 ，并记对应 的参数(,)(,)(,)xyfxy0,xy的值为 ，则0， 即 .0(,)xyF000(,)(,)xxyyf消去 ，得 0,0000(,)(,)(,)(,)xyyxfxfy文登学校 6整理得 .（因为 ） ，0 0001(,)(,)(,)(,)x yxyf fyx (,)0yx若 ，则 .故选
11、（）.0(,)xfyf【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.（13）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是12,s nAmn(A) 若 线性相关，则 线性相关. s 12,s(B) 若 线性相关，则 线性无关. 12,s s(C) 若 线性无关，则 线性相关 . s 12,sA(D) 若 线性无关，则 线性无关. 12,s s A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记 ，则 .12(,)sB 12(,)sAAB所以，若向量组 线性相关，则 ，从而 ，向量组s )rB()rs也线性相关，故应选().12,sA【评注】 对于
12、向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.（14）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的 倍加到第AB2 列得 ，记 ，则C10P（） . （） .1A 1CPA（） . （） . TP T【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，1010110,BACBA 而 ，则有10P.故应选（）.1CP文登学校 7【评注】 （）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵 施行一个初等行A（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.
13、三 、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）试确定 的值，使得,ABC，23e(1)1()xAxo其中 是当 时比 高阶的无穷小.3()o03【分析】题设方程右边为关于 的多项式，要联想到 的泰勒级数展开式，比较 的xex x同次项系数，可得 的值.,ABC【详解】将 的泰勒级数展开式 代入题设等式得ex 23e1()6xxo23231()1()6oBCAx整理得2331() ()()6BxCxoxox比较两边同次幂系数得，解得 .1026ABC3216BC【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式
14、或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.（16） （本题满分 10 分）求 .arcsinedx【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.文登学校 8【详解】 2arcsine edarcsinedarcsined1x xxxx.21ridexxx令 ，则 ，21ext221ln(),dtt所以 22 1ddxttt.21elnln1xtC【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.（17） （本题满分 10 分）设区域 ， 计算二重积分2(,)1,0Dxyx21d.Dxy【分析】 由于积分区域
15、 关于 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域 如右图所示.因为区域 关于 轴对称，x函数 是变量 的偶函数，21(,)fxyy函数 是变量 的奇函数.2(,)g则1 1222 201 lndddDDrxyxy，20故 . 22211ln2ddd1DDDxy xyxy【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.（18） （本题满分 12 分）设数列 满足nx110,sin(,2)xx文登学校 9（）证明 存在，并求该极限；l
16、imnx（）计算 .21linxn【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （）的计算需利用（）的结果.【详解】 （）因为 ，则 .10x210sinx可推得 ，则数列 有界.1sin,x x于是 ， （因当 ） ， 则有 ，可见数列nn0sinx时 ， 1nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限 存在.nx limnx设 ，在 两边令 ，得 ，解得 ，即limnl1sinnx s0l.0nx（） 因 ，由（）知该极限为 型，2211sinlilmnnxxn1令 ，则 ，而tx,0t，22 2 sin1111si000sinsininl
17、mlili ttt tt t tt又 .323000()1sinsin1!lillim6t t tott （利用了 的麦克劳林展开式）x故 .22116sinlimlennxn 【评注】 对于有递推关系的数列极限的证明问题，一般利用单调有界数列必有极限准则来证明.（19） （本题满分 10 分）证明：当 时，0ab. sin2cossin2cosaa【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.文登学校 10【详解】 令 ，()sin2cossin2cos,0fxxaaxb则 ，且 .if x()f又 ， （ ） ，()cosicsi0xxx,sinx时故当 时， 单调减少
18、，即 ，则 单调增加，0ab()f()0fxf()f于是 ，即()f.sin2cossin2cosbaa【评注】 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0” ，另一端即为所作辅助函数 ，然后求()fx导验证 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值） ，作比较即得所证. 本题也可用拉()fx格朗日中值定理结合函数的单调性证明.（20） （本题满分 12 分）设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式()fu0,)2zfxy.20zxy（I）验证 ；()fuf（II）若 ，求函数 的表达式. (1)0,1f()fu
19、【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出 代入 即可得2,zxy20zxy（I）.按常规方法解（II ）即可 .【详解】 （I） 设 ，则2uxy.22(),()zzyffux 22222()()xyzxfufuxy ，232()yffxx文登学校 11.2223()()zyxfufuyxy将 代入 得2,zx20z.()fuf（II） 令 ，则 ，两边积分得()fup d0pu，即 ，亦即 .1lnlnuC11()Cfu由 可得 .所以有 ，两边积分得(1)f1C()f，2()lf由 可得 ，故 .()0f20()lnfu【评注】 本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方
20、程的求解.（21） （本题满分 12 分）已知曲线 L 的方程21,(0)4xtty（I）讨论 L 的凹凸性；（II）过点 引 L 的切线，求切点 ，并写出切线的方程；(1,0)0(,)xy（III）求此切线与 L（对应于 的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积.【分析】 （I）利用曲线凹凸的定义来判定；（ II）先写出切线方程，然后利用 在切线上 ； （III）利用定积分计算平面图形的面积 . (1,0)【详解】 （I）因为dd422,41yxyttttx2 2310,()dd txxttt故曲线 L 当 时是凸的 .0t（II）由（I）知，切线方程为 ，设 ，201()yxt201t文登
21、学校 12，2004yt则 ，即22001()tt232004()tt整理得 .2000()1,(ttt舍 去 ）将 代入参数方程，得切点为（2，3） ，故切线方程为1，即 .1(2)yx1yx（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为，(1,0)2,(,3),0)ABCD设 的方程 ，Lxgy则 30()1dS由参数方程可得，即 .24ty241xy由于（2，3）在 L 上，则 .于是2()924gyy309)dSy30(12)d4y.287y【评注】 本题为基本题型，第 3 问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.（22） （本题满分 9 分）已知非齐
22、次线性方程组 1234145xxab有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵 的秩 ；A2r（）求 的值及方程组的通解.,ab【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵文登学校 13的秩确定参数 ，然后解方程组.A,ab【详解】 （I） 设 是方程组 的 3 个线性无关的解，其中123,Ax.145,13Aab则有 .12()0,()0则 是对应齐次线性方程组 的解，且线性无关.（否则，易推出3, Ax线性相关，矛盾）.123,所以 ，即 .()2nrA4()2()rr又矩阵 中有一个 2 阶子式 ，所以 .103()2A因此 .()r（II）
23、因为.11114350505342Aababaab又 ，则 ()2r.40253bab对原方程组的增广矩阵 施行初等行变换，A，11042431532 0故原方程组与下面的方程组同解.134225xx选 为自由变量，则34,x文登学校 14.1342425xx故所求通解为， 为任意常数.12530xk12,k【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.（23） （本题满分 9 分）设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3,向量 是ATT12
24、,0,1线性方程组 的两个解.0x() 求 的特征值与特征向量；() 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .QTQA【分析】 由矩阵 的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵 的一个特征值和对AA应的特征向量；由齐次线性方程组 有非零解可知 必有零特征值，其非零解是 0 特0x征值所对应的特征向量.将 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵 .Q【详解】 () 因为矩阵 的各行元素之和均为 3，所以，13A则由特征值和特征向量的定义知， 是矩阵 的特征值， 是对应3AT(1,)的特征向量.对应 的全部特征向量为 ，其中 为不为零的常数.3k又由题设知 ，即 ，而且 线性120,A120,12,无关，所以 是矩阵 的二重特征值， 是其对应的特征向量，对应 的2 0全部特征向量为 ，其中 为不全为零的常数.12k1,k() 因为 是实对称矩阵，所以 与 正交，所以只需将 正交.A2, 12,取 ，1文登学校 15.212102,306再将 单位化，得12,，12123136,036令 ，则 ，由 是实对称矩阵必可相似对角化，得 12,Q1TQA.T0【评注】 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，则要想方设法将题设条件转化为 的形式.Ax
