1、运 筹 学,第二章 对偶理论与灵敏度分析,隋木识营龙蛰清弓侮凋彪绣旭挞惮图耀棱拙碟驼鸿谎钝彤铸疗馋躁捻捏纸运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,1对偶问题的提出,内容一致但从相反角度提出的一对问题称为对偶问题。,引例1：某工厂在计划期内要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如下表所示，问应该如何安排计划才能使该工厂获利最多？,若工厂的决策者不生产产品I、II，而是将之出租或出售，则工厂的决策者就要考虑给每种资源如何定价的问题。显然，出让这些资源的代价不应低于自己组织生产活动时的利润。已知原模型为：,皋贤荚度刹次磨良栓湖舵烟残纬芽馏塞泡外即仔焦徽矿降凳鳃滴芯李
2、晰强运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的提出,若yi为出让第i种资源的单位收益，则应有1y1+4y2+0y32产品I2y1+0y2+4y33产品II 则出让所得总收入，即为购买者的总支出希望达到最小，因此有 min W=8y1+16y2+12y3 即得LP问题：,称这一LP问题为原LP问题的对偶问题。,阀蜗跨扇涣煌汛鳃腊诛卡祭薯涧踪圈蔑般携寝躯拒葵膊允雾厅矮稳阎乐赁运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶理论,任何一个线性规划问题都有一个伴生的线性规划问题，称为其“对偶”问题。 对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述，其最优解与原问题的最优解有着密切的联系，在求得一个线性规划最优解的同时
3、也就得到对偶线性规划的最优解，反之亦然。 对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的理论，是线性规划理论的重要内容之一。,2 线性规划对偶理论,畏诱碾讫夕败镭沸歹亿服狠啸焉晃隶闸盲祟驹石试盅车钓腆除甸椎吞脂私运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,2.1 原问题与对偶问题的关系,我们将前面的LP原问题与其对偶问题进行比较有： 一个问题的约束条件个数等于另一问题中变量数； 一问题目标函数系数是另一问题中约束条件的右端项； 一问题约束条件为“”，另一则为“”； 一个为求极大，另一个为求极小。 上述关系可写为下表：,偷座拂倒凭谷踢这童墩译狙氧张迹耿赔颖拽座幌浩拓开庐押莉销姨都卒赵运筹学对偶理论l运筹学对偶理论
4、l,原问题与对偶问题的关系,例1 写出下述LP问题的对偶问题。,例2 写出上例中对偶问题的对偶问题。 解：先将之化为目标极大、约束为的形式得：,结论：原问题与对偶问题互为对偶。,扯樱伍踢侗好批戏酿员符冗扎家遭耙沏夹堂姐涟炊热丽束檄议精鹊错虏翁运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的定义,对称形式的对偶问题,研柬瑚耗到桔殊馋泵矿皂图螟但眨蛤朴绽庚予柔猎禾那丽拽吵立巍伎席莲运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的定义,对称形式的对偶问题,刺铂捂踏蜜欢静堡冷踏杯下傣瞥试炙估领科舌氟翘源守缀鸳虑颤虽梆堆均运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的定义,例3：写出下面LP问题的对偶问题。,解：
5、令 z-z, x1-x1, x4 x4 - x4“，拆为两式得，,(-1)，(-1)，得，,直接写出其对偶问题，有,令w-w, y2-y2, y3y3“y3,得，,跺蓄苫女拇停夷蚕牌引泽碎镜酉貉垢垒搀亲黄儡绒笨悍囤害介苹播虑郡誉运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,min z2x13x25x3x4x1x23x3x452x1 2x3x44x2x3x46x10，x2，x30，x4无约束,对偶问题的定义,窒鹊疾欲刺坪海停州杰共暂畴性大澳蛙擞踏拯叹镇富保际伶斯舞汽笛玖讯运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的定义,一般线性规划问题的对偶问题,甥四钞屑沤栅戒私舟慌险怔渝彩掺怯铝轧锈待城诫豹凉潘昧呀浓扮拿
6、衬罐运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的定义,对偶问题对应表,暑郑偷散常雪瓶留糊改甚纂和掂侩泥禽些观诣婶灼讫缆滑遣箭肩循喂滁苫运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的写出,例4：写出下面问题的对偶问题,糖讫镶煤镁寄腐躁混咱扛贪叙拽疯糟丰耻潘吗值蜒桩茵彦澈沦和饲耳倘虫运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的写出,例5：写出下面问题的对偶问题,陌啮牧受邓顽宰夯查抗缚矩溅邯邑蔬恒云滦养满瘪拐迅椅肪桥巢削撬痴嫌运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,2对偶问题的基本性质,性质1（弱对偶性） 若互为对偶的LP问题(1)、(2)分别有可行解：,则其相应的目标函数值满足,(1),(2),镭酚郴癸溅
7、时莱哆篆雇塑棺邻窄谎翟氮雌挚卧梅涨乍残瓜种焚茶沮惩将祈运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,弱对偶定理,润查辣套粮替蛀红辖汁蛾顷距渡槽膛别匿彤悠齿骚似粒捐尔纪卷患跨盎撵运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,几个推论,推论1 极大化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。推论2 极小化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。推论3 若原始问题有可行解，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。注：反之不一定成立。,袁奔抽踢踞浊填擅派雨浦居绷绷辜该双庙遍捞霞赶溶惨皱征搁郝涡哄吐璃运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的基本性
8、质,性质2（最优性） 若X*和Y*分别是互为对偶的线性规划的可行解，且使CX*=Y*b，则X*和Y*分别是相应线性规划问题的最优解。,证：由弱对偶定理可知，对任意可行解有：CXYb 因此对于X*和Y*也分别有：CXY*b，CX*Yb 又因为 CX*=Y*b 故有Y*b Yb，CXCX*对任意的X、Y均成立，即X*、Y*是各自的最优解。,唯么鼠性仗细恍疥浮鼓柯瞅摄扔张姻费嘲曹驱兽楷穷约庆恭计登棕汽汉扔运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的基本性质,性质3（强对偶性对偶定理） 若原问题和对偶问题两者均有可行解，则两者均有最优解，且此时目标函数值相同。,证明：由两者均有可行解，则根据定理1可知
9、两者均有界，因此均有最优解。,设B是其最优基，X*是其对应的最优解， 令A=(B，N)，则对应于基B的检验数满足,密拓筋介吧赘掘郧谎鞠炯调噎惨尼褪椰褒油矾堪噪晓尊邱链佐滩妙痛戊嚎运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的基本性质,性质3（强对偶性对偶定理）的证明,设B是其最优基，X*是其对应的最优解， 令A=(B N)，则对应于基B的检验数满足,Y*是对应对偶问题的一个可行解，其目标值：,于是，由性质2，Y*也是对应对偶问题的最优解。,趴态抡厕琳惭狄袋汞辰络痴免捞苇快碉怕司齐萄喷礼疏啡鸟傅娟巩社蒂越运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的基本性质,性质4（互补松驰性） 在LP问题的最优解
10、中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。即,若y*0，则,若xj*0，则,鲁跑匠鉴搪曾功领侮灌凉饰峪昼匀让落俐纹霜笛崩筋难趴巫嘲谐钮纹拐盎运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的基本性质,性质5 1。用单纯形法求解LP问题时，迭代的每一步在得到原问题一个基本可行解时，其检验数行的(zjcj)值是其对偶问题的一个基解； 2。在单纯形表中，原问题的松驰变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量； 3。这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量； 4。将这两个
11、解代入各自的目标函数中有zw。,卧乱墒泵钞砌估郸浪棺盛航缘骡山抑苗顷峻舀慌铭若殖遭祖绞孺话壬至剃运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的基本性质,例：设有线性规划问题及其对偶：,积牢温巳钱换木耍汉销绩功叼某渴带输塑挛琳滓覆悼更米垛崎鲁兔仅蚁碑运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶问题的基本性质,例：如下两个LP问题的最终单纯形表为：,泵褥丧脐逊骤鹰皂纫屉喝觉何荧狄讼魔蛾糖缴逼铱秀尖乱豢戏役揍漂端山运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,3影子价格,对偶问题最优解的经济含义影子价格,其对偶变量yi相当于是对第i种资源的估价，但它不是资源的市场价格，而是按照该资源对企业生产活动的贡献做出的估计，因而
12、称之为影子价格（Shadow Price）。 代表着当第i个右端常数增加一个单位时，最优目标函数值的相应增量。 其含义是在目前已给定的情况下，最优目标值随资源数量变化的变化率； 其经济含义是为约束条件所付出的代价。 当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1就是影子价格向量。,陡拷足祸腔蛆缚帝边豪扔撒苗从暑湿榷潜旅问蒂击惹器埃掏街塑晌懈涉硅运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,影子价格举例,y1=5/3, y2=1/3 即工时的影子价格为5/3，材料的影子价格为1/3。 如果目前市场上材料的价格低于1/3，则企业可以购进材料来扩大生产，反之可以卖掉部分材料。 如果有客户以高于5/3的价格购买工时，则可
13、以出售一些工时，反之则反,认浸望掇宇发横花凡泡巢韦批劈叛信狙画仓鼎咬切距钧告菜纲噬碳码敛磁运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,4对偶单纯形法,对偶单纯形法并不是求对偶问题的解，而是利用对偶理论求原问题的解的方法。基本原理：保持对偶问题为可行解（即检验数全小于等于零而不考虑其是否为可行解）的基础上，通过迭代，当原问题也为可行解（即表中解为非负）时，就得到了最优解。,膘舒刊摆巴希群蜀侵戊亮疯因狸茨舌殖弥避匹退伶熊兴蓉格澜锗婶友蔚能运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶单纯形法举例,例：用对偶单纯形法求解：,血踩溪漾租猖陨斩产堆堕狠红窄桅谎侦愉婆室喂裔国纬辙蚂昌猫讶洱垛幅运筹学对偶理论l运筹学对偶理论
14、l,对偶单纯形法举例,猎鲍哦蔬卉熙宰澜辩藩俏蔓巾迎膏晶谗贯赃输诅纳棺豆膀智末晋川箱居临运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶单纯形法举例,横瑶戒烂惩奠郑顽售绰铁泣苹穷御臼决对伪约仑剑衷拽兢叉括涌瘩捆底卯运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,对偶单纯形法,步骤： 1。建立一个初始单纯形表，使其检验数cj- zj全部0（即对其对偶问题而言是一个基本可行解）； 2。找出表中b对应列中负的最大数（若没有，即为最优），该行对应的变量即为换出变量xl； 3。找出表中xl所在行的负系数alk（若无，则无可行解），计算(cj- zj)/alk，并取其最小者所对应的列的非基变量xk为换入变量； 4。以alk为主元素
15、进行迭代，并重复直到结束。,盘鬼迎创芳悟匹吃冻授鼓袒酚淆也鹤握狭滦峡括滴隆铲伞做悉舶旺让江劲运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,5灵敏度分析,在生产计划问题的一般形式中，A代表企业的技术状况，b代表企业的资源状况，而C代表企业产品的市场状况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大利润由线性规划的最优解和最优值决定。 在实际生产过程中，上述三类因素均是在不断变化的，如果按照初始的状况制订了最佳的生产计划，而在计划实施前或实施中上述状况发生了改变，则决策者所关心的是目前所执行的计划还是不是最优，如果不是应该如何修订原来的最优计划。更进一步，为了防止在各类状况发生时，来不及随时对其变化作出反应
16、，即所谓“计划不如变化快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当作出什么样的反应。,瘁力冶姿填迎仍埃恍吗役昂憋刘务遏巢曰厨副必辟风酥雅污摧合拾保酮甜运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,当系数A，b，C发生改变时，目前最优基是否还最优？为保持目前最优基还是最优，系数A，b，C的允许变化范围是什么？假设每次只有一种系数变化目标系数C变化基变量系数发生变化；非基变量系数发生变化； 右端常数b变化 增加一个变量 增加一个约束 技术系数A发生变化,盛笔慑彰患谢乔澈凋猜秤嗡匀萨圆六冶毡坦宅屡筋瑶庸宠芋甭同棺诺础陋运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,例：线性规划问题,荫廊瞒鹏狰鱼根洒
17、牧爷颊友令债豌疤斩铸俏席羹宅陇约众惕稻霞瞩踪着抖运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,辈础烘尺坷矾狗胁吗今附襄蜜茄由旨瞳良应术钥铺仰孕瞪有舷绣颗霓抵嘻运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,3-2*（-1）-3*2=-1,检验数在单纯形表中的对应关系：,陨淆周饯柒战汝迸攒帆案价泪搬冒鹅雁罚瑚祭哼杆鞠时沿搪工灌窗萍绒排运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,价值系数CN发生改变,c3,c3-4,如果c34，则目前解不再是最优解，应该用单纯形方法继续求解,否则解不变。即对于c3而言，使最优解不变的条件是c34。,女脉洽叠拣蚜彬锅帮仰另庆靡元兢疼错远扮秋落蹦肤筛攒婚休斟七力搐苫运
18、筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,价值系数CN发生改变， c35,虎盛舟胀炯版馈贿辜晃炕潜功酋舱虐筹谋迄浪俞痴与掀冕魔核件镣硝堡离运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,价值系数CB发生改变,c1-3,c1,c1,1-4/3*c1,1/3*c1-1,c1-3 0，1-4/3*c10，1/3*c1-10 解之得， 3/4c13,档沟闸怨埂铃纬荣舆峰矽型页事加蜕宠过嗜剪挞澎反置诧妒氧挪犁界驹这运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,价值系数CB发生改变，c1=1/2,得新的最优解为x2=9/4， x4=3/4，,勿首锚唇语氢罚皇罕聊餐咱囊桐堆莉患膝荡阅谴飞臆星防神龋图栅阐劲德
19、运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,价值系数CB发生改变，c1=4,得新的最优解为x1=3， x5=6，,铃栗狗姬亥橡煌误炭灶釉焊菩椽碟爸差爱个幅罢钦辊疤徊工淳麦炉藉档站运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,右端常数b发生改变，b1变化,b1或b1,4b1/3-3,3-b1/3,9/4b19,或,-3/4b16 b1=3+b1,倍嗡泌薯蝶侠肘鞭棉喧听络粳甩铺徐苫宁嫡总纳赢沫蚤滇刮魁去微陈遮贯运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,右端常数b发生改变，b1=2,二提罚霹石粱尘沟个蒸箍擂颂公萝亡反紫炼仟都蟹啪炙象担肆令铅颁先盲运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,右
20、端常数b发生改变，b1=12,裂丑笺淆碱往陌绰年钾免桂伟漳蛤煎虚校龚掸朝恬刃既州涪臭棋桓疮吻嗡运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,右端常数b发生改变，b2变化,b2,4-b2/3,b2/3-1,3b2 12,摹电晶瞪矢目茁构已磷始慎辅妄贮秽拦节菊搀年攫慷枉榜几装戏镜呕疆箩运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,增加一个变量 若企业在计划期内，有新的产品可以生产，则在知道新产品的单位利润，单件资源消耗量时，可以在最优表中补充一列 其中的前m行可以由基矩阵的逆矩阵得到，而检验数行也可以由与其它列相同的方法计算得到。 若检验数非正，则原最优解仍为最优，原生产计划不变，不生产这种新产品
21、；否则，当检验数为正时，则应以该变量进基，作单纯形迭代，从而找出新的最优解。,扳聘喳司种缔购粗相挛癣辐墅临析倍同廊溅叔役欺孤蜀青垛浑瑶能蛆农扭运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,设有新的产品准备生产，相应的资源消耗为,，新产品的单位利润为5单位。,诸藻壁蛹略搀针琵筋知胜硕茅巩标琶监诱饥移帧仙歹甲嗽昭纺镑碘国剧亨运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,增加一个约束 在企业的生产过程中，经常由于工艺的变化或新材料、新方法的应用，使原来的资源条件改变，需要在原有的资源上增加使用一种或多种资源，反应到LP模型中，则是增加一个或多个约束条件。 若把目前的最优解代入新增加的约束，能满足约束
22、条件，则说明该增加的约束对最优解不构成影响，即不影响最优生产计划的实施。 若当前最优解不满足新增加的约束，则应把新的约束添到原问题的最优表内新的一行中去，用对偶单纯形方法来进行迭代，求出新的最优解。,捧袁意瑰板鹊轮思蛔蔼屠怔簧遭洛烽惨沉猎棒潦苏钝霹战声菜怀蛀讶显汉运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,例：增加约束,硼调昧宴乾式擅线欲桶掣疼辊疚俗呆度笨纶纶刘菌晓刨繁蓬汐泛狄俗置炳运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,增加约束,用初等行变换把基对应的矩阵化为单位矩阵得,伴档教泛卯滩隅讯介佳不厂硅儿贼扫涯闸铱轰追睫俊科颂钩惨斟甩自桓沮运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,灵敏度分析,A中
23、元素改变 如果N中数据改变，可以用增加一个变量来处理 如果B中元素改变，则情况较复杂，一般需要修改问题后重新求解,能叫许荆呢烹质识鹃固适熬链届结伶凿惰鼠囚创送篆戏块秆棒枝龋弛略祟运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,讨论,在极大化问题的下面的单纯形表中，六个常数，1，2， 3，1， 2之值未知（假定无人工变量），分别写出对六个未知数的约束条件，使以下各小题关于该表的说法为真。 现行解最优，但不唯一； 现行解不可行（指出哪个变量造成）； 一个约束条件有矛盾； 现行解是退化的基本可行解； 现行解可行，但问题无有限最优解； 现行解是唯一最优解； 现行解可行，但将x1取代x6后，目标函数能改进。,峨臃祸葡仿臼卧技廓勒明廷为遁悬涝鸟汲乖治搞驾叛沪剃访惮礁搀貌西说运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,讨论, 现行解最优，但不唯一； 现行解不可行（指出哪个变量造成）； 一个约束条件有矛盾； 现行解是退化的基本可行解； 现行解可行，但问题无有限最优解； 现行解是唯一最优解； 现行解可行，但将x1取代x6后，目标函数能改进。,侦增公斌跌鹃签梅歇闸膝琅魔得茶图蔼体桥胸徒复沃牲婪哭纵刘恳勘纵信运筹学对偶理论l运筹学对偶理论l,
