1、1平移变换在几何中的应用平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的研究和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。一、平移变换在几何证明中的应用例 1如图，ABC 中，BD=CE，求证： AEDCAB【解析】本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有 BD=CE，运用平移变换，将AEC 平移到 ABD 的位置，问题迎刃而解。【答案】证明：如图 2, 分别过点 D、B 作 CA、EA 的平行线，两线相交于 F 点， DF 于 AB 交于 G 点。所以 ACE， AEC在AEC 和FBD 中，
2、又 CE=BD，可证 AECFBD，所以 AC=FD，AE=FB，在AGD 中，AG+DGAD，在BFG 中，BG+FGFB，所以 AG+DG-AD0, BG+FG-FB0,所以 AG+DG+BG+FG-AD-FB0,即 AB+FDAD+FB，所以 AB+ACAD+AE .【思考】本题还有没有平移其他图形的方法？例 2如图，梯形 ABCD 中，B+C=90，点 E、F 分别为上下底边的中点，求证： )(1ADCEF【解析】题目需要证明的几条线段是分散的，通过平移变换可以将 AB、EF、DC 集中到一起。此时，其他条件也很能好好地得到应用。【答案】证明：分别过点 E、F 作 EG/AB,EH/C
3、D 交 BC 于点 G、H所以四边形 ABGE,DEHC 是平行四边形.AE=BG,DE=CH,EDCBAGFD EABCFEDCBA HGFEDCBA2因为 FB=FC,所以 FG=FH= )(21ADBC所以EGC=B， EHB=C,又 B+C=90，所以EGC+ EHB=90，GEH=90所以GEH 是直角三角形.所以，EF= )(二、平移变换在几何作图中的应用例 3. 如图，河流的河岸 AB 与 CD 平行，点 A、B 表示两个村庄，现要在河上架桥，满足两个条件：（1）桥与河岸垂直；（2）A、B 两个村庄之间的线路最短，请问桥应架在何处？【解析】不管桥设计在何处，A、B 两个村庄之间的
4、路程中总有一段是河岸间的距离，所以运用平移变换，将河“平移”,使村庄 A 或 B 恰好在河岸上。【答案】过点 A 作 AA垂直河岸，且使 AA长度等于河的宽度，连结 交河岸于点 C，过点BAC 作 CD 垂直于河岸交河岸于点 D，连结 AD，则 CD 为桥的位置。【思考】如果 A、B 两个村庄之间有两条互相平行的小河，其他条件不变，桥的位置又该如何确定？例 4. 如图 3，ABC 的三条中线分别为 AD、BE 、CF在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD、 BE、CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹） ；【解析】以三条中线为边长的三角形，显然要对这三条线段进行“重新组合” ，手段
5、就是平移变换。【答案】BADCAB图 33三、平移变换在几何计算中的应用例 5. 如图，六边形 ABCDEF 中，对角线/,/,/,ABEDFCBE.FDB已知 FD = 24 cm， BD = 18 cm.问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？【解析】题目中给出了很多平行且相等的线段，这就很容易联想到平移变换。通过平移变换，将图形“整形” ，从而求出六边形的面积。【答案】如图，将DEF 平移到BAG 的位置，将BCD 平移到GAF 的位置，则原六边形分解组合成长方形 BDFG.此长方形的边恰是已知长度的 BD 与FD.易知长方形 BDFG 的面积为 2428 = 432 cm 2.所以
6、，六边形 ABCDEF 的面积是 432 cm2. 例 6. 已知抛物线 与 x 轴的两个交点记为 A，B，点 M 在直线 上，点y6512 xy2P 在抛物线上，求当以 O、A、P、M 为顶点的四边形为平行四边形时的 P 点坐标。【解析】本题运用平移变换在平面直角坐标系中的应用，这样求平行四边形的顶点坐标将会简便。因为平行四边形可以理解为一条线段沿平面内某一方向平移所扫过的图形。【答案】 若 OA 为边，则 PMOA.设 M(m,2m), OA=5， P(m+5,2m) 或 P(m-5,2m).当 P(m+5,2m)时， P 点在抛物线上， , 解得 .21526mm120,7m舍P(12,
7、14).当 P(m-5,2m)时， P 点在抛物线上， , 解得 .2534,5P(-3,4) 或 P(20,50).若 OA 为对角线，则 PM 为另一条对角线 .来源:Z&xx&kOA 中点为( ,0)，2设 M(m,2m), P(5-m,-2m). P 点在抛物线上， , 解得 .1526mm560,7m舍P(12,14). 综上,符合条件的 P 点共有 3 个，它们分别是 P1(12,14) 、P 2(-3,4)、P 3(20,50).4【练习】1 已知，如图，ABC 中，AB=AC ，D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，若BD=CE，求证：DEBC.2 在HBC 中，B =C，在边 HC 上取点 D，在边 BH 上取点 A，使 HD=BA，连结 AD.求证：AD C13在ABC 中，点 P 为 BC 的中点（1）如图 1，求证：AP （AB+BC） ；21（2）延长 AB 到 D，使得 BD=AC，延长 AC 到 E，使得 CE=AB，连结 DE如图 2，连结 BE，若BAC=60，请你探究线段 BE 与线段 AP 之间的数量关系写出你的结论，并加以证明；请在图 3 中证明：BC DE21FEDCBA
