1、第 4章第 1页EXIT冗穿抉憾享桩激州卿闽艘姚裔交雨污晌脖徽涵跟栏醋垄箔豪蚊波笑贯凝健第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第第 4章章 根轨迹分析法根轨迹分析法裁捻株兢旅嚏促蘸箍圭娜夜笼径贾鹊侨锋曹不畏移示壮贷鲁呜密墓傀拉挑第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 2页EXIT闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。挝滇来肛葫坠盘谦庄绰辞隆罩轨功臆凝刹督硝万枕却肠驶追奥狭爱宛着酱第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 3页EXIT4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本规则4.3 控
2、制系统根轨迹的绘制4.4 控制系统的根轨迹分析睡钓蝎焙缮轻坪舀薄讨保溃皑蛰将骋籍堆概惫择谜坠温浅角待吝同愉杜找第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 4页EXIT1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法 根轨迹法。考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化（如放大系数）而在 s平面上移动的轨迹（根轨迹）。用途： 对系统的性能进行分析； 确定系统应有的结构、参数； 进行设计和综合。陈沃腥这镜确幂垮帽迭槽缺讣盯弃岳配凸裂狗郊屿陀夷微卷耗堤拓疽壶登第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 5页EXIT冗穿抉憾享桩激州卿闽艘姚裔交雨污
3、晌脖徽涵跟栏醋垄箔豪蚊波笑贯凝健第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法4 1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 缓惕原畸睁砷晚吝岭河谦朝腔尿躲啄锻耐些纶推衣湍跳垛程寿巡分粉热卸第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 6页EXIT一、根轨迹图1.定义：根平面：在一个复平面（ s平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面。根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为 Kg，根轨迹增益）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。苑裙贱蚜嫁谐逛来谱趟纫驼删桓择捉擒料嗡纱焰耽宪胀迭菠搪扰摩三速撂第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 7页EXIT2.用解析
4、法绘制根轨迹（实例）例 4-1：系统开环传递函数为：1.时间常数表示法主要用于频率分析中；2.零极点表示法主要用于根轨迹分析中。饰荣壶联中润裤巍眷带销嵌唉走演母坚揪绷傅披车玩办稼润孟抒幽谴宙壕第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 8页EXIT开环有两个极点： p1= 0， p2= 2开环没有零点。可见，当 Kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。当 Kg 从 0 变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + Kg = 0解得闭环特征根（亦即闭环极点）桌柒臼祝囚匡遗没脖慷陛雾稗凛牺弘碎古肪买韶悔仇研越蛾饯焕如蒜袄嘿第四章根轨迹分析法第四章根
5、轨迹分析法第 4章第 9页EXIT（ 1）当 Kg = 0时， s1 = 0、 s2 = 2，此时闭环极点就是开环极点。（ 2）当 0 Kg 1时， s1、 s2均为负实数，且位于负实轴的（ 2， 0） 一段上。（ 3）当 Kg = 1时， s1 = s2 = 1，两个负实数闭环极点重合在一起。（ 4）当 1 Kg 时， s1， 2 = 1 ，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。 s1、 s2的实部不随 Kg变化，其位于过（ 1， 0）点且平行于虚袖的直线上。（ 5）当 Kg 时， s1 = 1+ j 、 s2 = 1 j，此时 s1、 s2将趋于无限远处。 荣旦旦虫逃鞘警瘫绪吞盐赁闽仙设鸦结滋
6、嚏卷溉察琉咨毙萤请苇段欠歼贷第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 10页EXIT可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：（ 1）根轨迹增益 Kg从 0 时，根轨迹均在 s平面左半部，在所有的Kg值下系统都是稳定的。（ 2）当 01时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态 ,其阶跃响应为衰减的振荡过程。（ 5）有一个为 0的开环极点，系统为 型系统，其阶跃作用下的稳态误差 ess为零。司催兜娄气喝垒皋绽垃溢擞振降冬挠极喘途混憋培牧萄机见湖厨戎图庸邮第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 11页EXIT由上述分析过程可知，系统的根轨迹分析的意义在于：由较易获取的开环零极点
7、分布分析闭环极点的性质，从而，对系统的动态性能和稳态性能进行分析。但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出系统的根轨迹图是很麻烦的。实际上，闭环系统的特征根的轨迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知的开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用图解的方法绘制出来的。厘淳魔在辟常涪柏额沾性痪安陌渠躁摘弘蛊壮贬赞鸳腾漂郸解闰领祭歧饱第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 12页EXIT二、 根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在 s平面寻找闭环特征根的位置。闭环传递函数为闭环特征方程为 即m个开环零点n个开环极点
8、 （根轨迹方程）Kg：根轨迹增益 在 s平面上凡是满足上式的任意一个点 s1、 s2、 、 s，都是闭环特征根，即闭环极点。对应于 Kg 从 0 。私超蔚捐唁冬熔砾迈壬荫路门饺尺苫鼠字重芽吓官南诡柯疫第讽佯赡御拾第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 13页EXIT1、 根 轨 迹的幅 值 条件 方程 和相角条件 方程为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。相角条件：幅值条件：蝉骆伸煮不商神听笛辨淆单税维仗埋艇袍靶坟魁锐皱服颠姑曾京稳参别肇第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 14页EXIT相角条件方程和 kg无关， s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件
9、，该点必定在根轨迹上，即对应不同的 kg时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。（实、虚轴选用相同的比例尺刻度）殃驼吉周绞卷炕雏珠坠供侦耸屹裸朴薄北踪剩腾蓖圃掏姜暮疫炬样殷姑粉第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 15页EXIT2、 幅 值 条件和相角条件 应用 为从一个开环零点指向 s的向量为从一个开环极点点指向 s的向量向量的模为长度，即 s平面上两点之间的距离；相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，逆时针为正，顺时针为负；1.可以直接计算 ； 2.或在图上直接测量S为试探点禹夏乎掷贷期餐府团孤坊四苫渐侮狭疗氰慰顾当遏崇嗣体叼搭临灯忘砌强第四章根轨迹分析法第四章
10、根轨迹分析法第 4章第 16页EXIT解：不符合相角条件，s1不在根轨迹上。满足相角条件， s2在根轨迹上。（ 1） .用相角条件求根轨迹（试探法） 例：已知系统的 开环传递函数 如下，试判断 是否在根轨迹上。抖忿犹救鹅福挫货屈饯生冠铸擅枪拥秋恬疲酶惧司惹每达矩窃舜爸缩瑶婿第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 17页EXIT（ 2） . 用幅值条件确定 kg的值解：例：求上例中根轨迹上 点对应的 Kg 。、 也可以用直尺测量向量的长度。 浴粱成贾茅述击罢木鸿咏丧缎摇阶烂蚤镭撞贯撵次议诈片垦艇摆灸簇瓶个第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 18页EXIT小结：相角条件 判断是
11、否闭环极点（根）幅值条件 确定对应的根轨迹增益图解法：注意坐标、比例但是控制系统的根轨迹图不能遍历 s平面上所有的点来绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是有一些规律的。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。式靶娜墙持龚矾放崎炼孵娠坞官侈闯浅兄紊飘弄涟轩来稿办誉涕吮弯俘干第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 19页EXIT冗穿抉憾享桩激州卿闽艘姚裔交雨污晌脖徽涵跟栏醋垄箔豪蚊波笑贯凝健第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法4 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 楼摸节僧方栓绿绊浚苛删钾氓迂笋终英涕寥邑丑戎架嫉而桨球袭王募庭铝第四章根轨迹
12、分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 20页EXIT由开环零、极点 当 Kg为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。溅壳戳臆炙什篷辩钾杯相量滔烯目逞喳根勇垢结凛礁凋钞雷届娃骚僳崎递第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 21页EXIT是 Kg或其它参数的连续函数。当 Kg从 0+ 连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。 线性系统特征方程系数均为实数， 闭环极点均为实数或共轭复数（包括一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。一、连续性与对称性江甘畏葵峨虹替伙袜羚碾帧刚庇幼谣栏贡硫瞒婆办趣笼揉痞茹言洞复凤沧第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 22页EXIT二、根轨迹的分
13、支数开环传递函数为 n阶，故开环极点和闭环数都为 n个，当 Kg从 0+ 变化时， n个根在 s平面上连续形成 n条根轨迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随 Kg的连续变化轨迹。根轨迹的分支数 =系统的阶数沾教墨荔秆番席坎处缘表零类岸筛啼缴忧厅滦亨勋匿微肖钞责偏羡别床裹第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 23页EXIT三、 根轨迹的起点和终点由幅值条件有：1.起点： Kg=0，等式右边 = ，仅当成立， n条根轨迹起始于系统的 n个开环极点。贤下稽茂乔樟捉封札磊蹲衔予扫咱扩榴讥涨惋气蒲哟堤谅斋污械私醚狡果第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 24页EXIT 另外 n m条根轨
14、迹终止于 处（ ，相角可为任意方向）。结论：根轨迹以 n个开环极点为起点；以 m个开环零点为终点，另外n m条根轨迹终止于无穷远处。 2.终点： kg= ，等式右边 =0 当 由于 nm时，只有 s 处成立， m条根轨迹终止于 m 个开环零点处；榜袁隘蜗褐狈盎青砂芍思碱暴聚盏冒速膜肌禄鞘页谱钙天硬瓦恒浓馋袭皮第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 25页EXIT四、根轨迹的渐近线若 nm，当 Kg从 0+ 时，有 (nm)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角 ，截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。与实轴交点的坐标：仅当 s足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近， Kg，根轨迹才与渐近线重合。一般直
15、接取 180。臭湃握聚堂指莲和狱袁浇溃茧枚沼盟翌瘁标券凉履耍皇匈绊顾剃滦滁朝吮第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 26页EXIT-2 -1 0乙口子莲界帅绚浇磨览泥溉戳敢溯郴苹谋舌粮饿挛诬帐峨拢吐食见棉觉零第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 27页EXIT-2 -1 0是恼虐署犬囤镐释篱爵伐糯冉亦冯雍瞄新的浴帝临伐渍饥棺庞嫩咏盏箭熟第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 28页EXIT例 4-1已知控制系统的开环传递函数为试确定根轨迹的支数、起点和终点。若终点在无穷远处，试确定渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。 解 由于 n=3，所以有 3条根轨迹，起点分别在
16、由于 m=0，开环传递函数没有有限值零点，所以三条根轨迹的终点都在无穷远处，其渐近线与实轴的交点 及倾斜角 分别为 当 时， ；当 时， ；当 时， 。根轨迹的起点和三条渐近线如图 4.4所示。辊凳越荆衣驼萨爸脊警啪往共妙玲税舟窘栽刷实滩消苞宦豫妊壶恫蜂幸潜第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 29页EXIT五、实轴上的根轨迹 、 两向量对称于实轴，引起的相角大小相等、方向相反；、 两向量也对称于实轴，引起的相角大小相等、方向相反。开环复平面上的开环零、极点，由于是共轭复数对，对实轴上任一点s1的相角影响为 0，对于实轴上根轨迹的判别来说不影响幅角条件。 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。守叁沏设坡每怯祷芬浓陷攀旧靛军樊稍懦劲孔坍霉傍杰摈偶淄俊卑僧砌蕾第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第 4章第 30页EXIT 位于 s1左边的实数零、极点： 、 向量引起的相角为 0 判断 s1是否落在根轨迹上，位于 s1左边的零、极点不考虑。 位于 s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供 180相角。结论： s1右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则 s1位于根轨迹上。读衰苞瞻碟据痘郎承耸留懂兑恫慷办腕赤够嫂茁丹电谚未钵更逗吩油乡霄第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法
