1、第 1 页 共 4 页最短路法解决设备更新问题某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。试制定一个五年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与维修费，如下表所示。项目 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年购买费 11 12 13 14 14机器役龄 01 12 23 34 45维修费 5 6 8 11 18残值 4 3 2 1 0二、模型假设：1、机器在购买 N 年之后维修费用是固定不变的，不存在人为的破坏因素使之不能正常运行；2、公司有足够的资金支付设备；3、公司该设备只使用一台，不存在公司同
2、时用多台机器的现象4、从第一年开始一定要购置一台设备三、符号说明：1、v i表示第 i 年年初购进一台新设备，虚设一个点 v6，表示第五年年底；2、边（v i，v j）表示第 i 年初购进的设备一直使用到第 j 年初（即第 j-1 年底）；3、边（v i，v j）上的数字表示第 i 年初购进设备，一直使用到第 j 年初所需支付的购买、维修的全部费用四、问题的分析：为了使问题简化，我们将求最小总支出转化为求最小路径问题，这样，设备更新问题可简化为求从 v1到 v6的最短路问题，可由上表得下图第 2 页 共 4 页对于边（v 1，v 2）有第一年购买的费用 11 加上一年的维修费用 5 减去一年役
3、龄机器的残值 4 得到 12；同理：（v 1，v 3） 11+5+6-3=19（v 1，v 4） 11+5+6+8-2=28（v 1，v 5） 11+5+6+8+11-1=40（v 1，v 6） 11+5+6+8+11+18-0=59（v 2，v 3） 12+5-4=13（v 2，v 4） 12+5+6-3=20（v 2，v 5） 12+5+6+8-2=29（v 2，v 6） 12+5+6+8+11-1=41（v 3，v 4） 13+5-4=14（v 3，v 5） 13+5+6-3=21（v 3，v 6） 13+5+6+8-2=30（v 4，v 5） 14+5-4=15（v 4，v 6） 14
4、+5+6-3=22（v 5，v 6） 14+5-4=15由上图，我们就可以算出设备更新的问题算出最小总支出五、模型的建立与求解：下面给出其基本步骤：采用标号法，用两种标号：T 标号和 P 标号，T 标号为试探性标号，P 标号为永久性标号，给 vi一个 P 标号时表示从 vi到 vj的最短路权，v i的标号不再改变。给 vi一个 T 标号是表示从 vi到 vj的最短路权的上界，是一种临时标号，凡没有得到 P 标号的点都有 T 标号。（1）首先给 v1以 P（v 1）=0，给其余所有点 T 标号，T(v1)=+（i=2，8）5940302812 13 14 15 15202941222119V1
5、V2 V3 V6V5V4第 3 页 共 4 页（2）由于（v 1，v 2） ， （v 1，v 3）,（v 1，v 4）,（v 1，v 5）,（v 1，v 6）边属于E，且 v1，v 2为 T 标号，所以修改这两个点的标号：T(v2)=minT(v2),P(v1)+l12=min+,0+12=12T(v3)=minT(v1),P(v3)+l13=min+,0+19=19T(v4)=minT(v1),P(v4)+l14=min+,0+28=28T(v5)=minT(v1),P(v3)+l15=min+,0+50=50T(v6)=minT(v1),P(v3)+l16=min+,0+59=59（3）比
6、较所有 T 标号，T(v 2)最小，所以令 P(v2)=12.并记录路径（v 1，v 2） 。（4）v 2为刚得到 P 标号的点，考察边（v 2，v 3） ， （v 2，v 3） ， （v 2，v 4）,（v 2，v 5） ， （v 2，v 6）的端点 v1，v 2。T(v3)=minT(v3),P(v2)+l23=min19，12+13=19T(v4)=minT(v4),P(v2)+l24=min28，12+20=28T(v5)=minT(v5),P(v2)+l25=min40，12+29=40T(v6)=minT(v6),P(v2)+l26=min59，12+41=53（5）比较所有 T
7、标号，T(v 3)最小，所以令 P(v3)=19.并记录路径（v 1，v 3） 。（6）考虑点 v3，有T(v4)=minT(v3),P(v3)+l34=min28，19+14=28T(v5)=minT(v3),P(v3)+l35=min40，19+21=40T(v6)=minT(v3),P(v3)+l36=min53，19+30=53（7）比较所有 T 标号，T(v 4)最小，所以令 P(v4)=28.并记录路径（v 1，v 4） 。（8）考虑点 v4，有T(v5)=minT(v4),P(v4)+l45=min40,28+15=40T(v1)=minT(v6),P(v4)+l46=min49
8、,28+22=49（9）比较所有 T 标号，T(v 5)最小，所以令 P(v5)=40.并记录路径（v 1，v 5） 。（10）考虑点 v6，有T(v6)=minT(v6),P(v5)+l56=min49,40+15=49（11）因只有一个 T 标号 T(v6),令 P(v6)=49，记录路径（v 3，v 6） ，计算结束。由计算结果可知：v 1 v3 v6为最短路，路长为 49，即在第一年，第三年初各购买一台新设备为最优决策，这时 5 年的总费用为 49.全部计算结果如下图所示，同时可得到 v1到其他点的最短路径，如下图中的粗线所示：5940302812 13 14 15 15202119V1（0）V2（12）V3（19）V6（49）V5（40）V4（28）第 4 页 共 4 页294122
