1、摘要本文针对的模型是建立设备更新过程中的最小总支出的模型。在求解的过程中运用初等函数的解题方法建立模型和解除模型。并用了求最短路径的方法，求出指定两点之间的最短路即最小总支出。我们将第 i 年年初购进一台新设备设为变量 vi( (i=2，3，4，5，6)，其中，v6 为虚设点，表示第五年年底购进设备，从而将该问题转化为求从 v1到 v6的最短路径。而后通过计算机的多次模拟运算，分析以及检验，验证出我们建立该模型的科学性、合理性以及正确性。关键字：最短路径 最小总支出 模拟运算问题重述随着生产的需要，每个公司都有一些旧的机器设备，每一年公司都要考虑是购买新设备还是继续使用旧设备。若购买新设备，就
2、要支出一笔购置费；若继续使用旧设备，则需要支付维修费，而且随着使用年限的延长而增长。某公司有一台已使用一年的生产设备，公司考虑下一年度是购买新设备还是继续使用这台旧设备。已知这种设备每年年初的购置价格（见表 1） ，而第一年开始时使用的有一年役龄的老设备其净值为 8，不同使用年限的维修费用（见表 2） ，制定一个 5年内设备的使用或更新计划，事 5 年内设备的使用维修费和设备购置费的总支出最小。表 1年 份 2 3 4 5年初价格（万元）11 12 12 13表 2 使用年限 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6年维修费用（万元）2 3 5 8 12 18模型假设1、机器在购买 N
3、年之后维修费用是固定不变的，不存在人为的破坏因素使 之不能正常运行；2、公司有足够的资金支付设备；3、公司该设备只使用一台，不存在公司同时用多台机器的现象问题分析为了使问题简化，我们将求最小总支出转化为求最小路径问题，这样，设备更新问题可简化为求从 v1到 v6的最短路问题，可由上表得下图（v 1, v2） 2=2（v 1，v 3） 2+3=5（v 1，v 4） 2 +3+5=10（v 1，v 5） 2+3+5+8=18（v 1，v 6） 2+3+5+8+12=30（v 2，v 3） 11+2=13（v 2，v 4） 11+2+3=16（v 2，v 5） 11+ 2 +3+5=21（v 2，v
4、 6） 11+ 2+3+5+8=29（v 3，v 4） 12+2=14（v 3，v 5） 12+2+3=17（v 3，v 6） 12+2+3+5=22（v 4，v 5） 12+2=14（v 4，v 6） 12+2+3=17（v 5，v 6） 13+2=15由上图，我们就可以算出设备更新的问题算出最小总支出301822102 13 14 14 1517212917165V1 V2 V3 V6V5V4符号说明1、v i表示第 i 年年初购进一台新设备，虚设一个点 v6，表示第五年年底；2、边（v i，v j）表示第 i 年初购进的设备一直使用到第 j 年初（即第 j-1年底） ；3、边（v i，v
5、 j）上的数字表示第 i 年初购进设备，一直使用到第 j 年初所需支付的购买、维修的全部费用模型建立由上述分析可知所对应的结点跟路径，下面给出其基本步骤：采用标号法，用两种标号：T 标号和 P 标号，T 标号为试探性标号，P 标号为永久性标号，给 vi一个 P 标号时表示从 vi到 vj的最短路权，v i的标号不再改变。给 vi一个 T 标号是表示从 vi到 vj的最短路权的上界，是一种临时标号，凡没有得到 P 标号的点都有 T 标号。首先给 v1以 P（v 1）=0，给其余所有点 T 标号(1)由于（v 1，v 2） ， （v 1，v 3）,（v 1，v 4）,（v 1，v 5）,（v 1，
6、v 6）边属于 E，且v1，v 2为 T 标号，所以修改这两个点的标号：T(v2)=2T(v3)=5T(v4)=10T(v5)=18T(v6)=30比较所有 T 标号，T(v 2)最小，所以令 P(v2)=12.并记录路径（v 1，v 2） 。（2）v 2为刚得到 P 标号的点，考察边（v 2，v 3） ， （v 2，v 3） ， （v 2，v 4）,（v 2，v 5） ， （v 2，v 6）的端点 v1，v 2。T(v3)=13T(v4)=16T(v5)=21T(v6)=29比较所有 T 标号，T(v 3)最小，所以令 P(v3)=13.并记录路径（v 1，v 3） 。（3）考虑点 v3，有
7、T(v4)=14T(v5)=17T(v6)=22比较所有 T 标号，T(v 4)最小，所以令 P(v4)=14.并记录路径（v 1，v 4） 。（4）考虑点 v4，有T(v5)=14T(v1)=17比较所有 T 标号，T(v 5)最小，所以令 P(v5)=14.并记录路径（v 1，v 5） 。（5）考虑点 v5，有T(v6)=15因只有一个 T 标号 T(v6),令 P(v6)=15，记录路径（v 3，v 6） ，计算结束。由计算结果可知：v 1 v3 v6为最短路，路长为 27，即在第一年，第三年初各购买一台新设备为最优决策，这时 5 年的总费用为 27-8.模型求解与检验利用常规数学方法求
8、解此题如下：由题意可知，设总共所用的支出为 y，（1） 不购买设备只维修时：y=2+3+5+8+12=30（2） 购买一台设备时：a. 第二年购买，其他年维修y=11+（2+2+3+5+8）-8=23b. 第三年购买，其他年维修y=12+（2+3+2+3+5）-8=19c. 第四年购买，其他年维修y=12+（2+3+5+2+3）-8=19D. 第五年购买，其他年维修y=13+（2+3+5+8+2）-8=25（3） 购买两台设备时：a.第二、三年购买，四、五年维修 y=(11+12)+(2+2+2+3+5)-(8+8)=21b. 第二、四年购买，三、五年维修 y=(11+12)+(2+2+3+2
9、+3)-(8+8)=19c. 第二、五年购买，三、五年维修 y=(11+13)+(2+2+3+5+2)-(8+8)=22d.第三、四年购买，二、五年维修 y=(12+12)+(2+3+2+2+3)-(8+8)=20e.第三、五年购买，二、四年维修 y=(12+13)+(2+3+2+3+2)-(8+8）=21f. 第四、五年购买，二、三年维修y=(12+13)+(2+3+5+2+2)-(8+8)=23（4） 购三台设备时a. 第三、四、五年购买, 第二年维修 y=(12+12+13)+(2+3+2+2+2)-(8+8+8)=24b. 第二、四、五年购买，第三年维修y=(11+12+13)+(2+
10、2+3+2+2)-(8+8+8)=23c. 第二、三、五年每年购买，第四年维修y=(11+12+13)+(2+2+2+3+2)-(8+8+8)=23d. 第二、三、四年购买，第五年维修y=(11+12+12)+(2+2+2+2+3)-(8+8+8)= 22（5）用四台设备时：此时只有一种情况：y=(11+12+12+13)+(2+2+2+2+2)-(8+8+8+8)= 24由以上结果可看出，当 y=19 时取得最小值，即最小的总支出为一二年维修，在第三年初购买新的设备能使总支出最小，且最小总支出费用为 19 万元，这与计算结果完全吻合，充分说明了我们所建立的模型的合理性，可行性以及正确性！模型
11、评价与分析本模型上可以用于解决任意有关设备更新的任何问题，其中算法简洁明了，适用于无需遍布网络中所有点只要求得两定点的最短路径，对解决最小总支出是很方便而且优越，我们用计算机可以成功地求出最小总支出，容易操作，具有实用性。我们还可以采用其它数学软件通过程序的编写运行来求得最优解，如 Qsb，C+等，此外，这种算法还可以求从一个城市到另一个城市的最短路径问题，资金周转问题，聘请员工实现最优化等问题，值得进行社会推广。模型改进根据以上的解题方法，在问题的建立过程中，我们舍弃了某些影响因素的结果，尽管这些因素的影响很小，但会使所求结果与实际生活中实际结果产生偏差，尽管经过了检验，但结果依然比较粗糙，有待进行进一步的改进。此外，由于利用的算法是比较简单的，不太精确，难免和现实生活中有些出入，此时，我们可以用 floyd 算法得到实现，就可以解决更多关于设备更新的问题。文献参考1寿纪麟.数学建模方法与范例.陕西.西安交通大学出版社.19962雷功炎.数学建模讲义.北京.北京大学出版社.2005
