1、第十三讲 曲面积分1第十三讲 曲面积分一、主要知识点1曲面积分的概念（1）对面积的曲面积分1）定义：设函数 在光滑曲面 上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到),(zyxf和的极限就是对面积的曲面积分，即iniiiSfdSzf 10),(lm),( 2）性质： 与曲面 侧的选择无关，即 dSzyxfdzyxf ),(),( 对曲面具有可加性，即若 ，则211 2),(),(),( zyxfSzyxfdSzyxf（2）对坐标的曲面积分1）定义：设函数 在光滑的有向曲面 上有界，通过分割、(,)(,)(,)PzQRz近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲面积分，即 ni xyiixziiy
2、zii SRQSPdxyzdy10 )()()(lm2）性质： 与曲面 的侧有关， 即 对曲面具有可加性，即若 ，则21122曲面积分的计算方法（1）对面积的曲面积分化为投影域上的二重积分计算方法与步骤： 1）画出曲面 草图，写出曲面方程 ；),(yxz：2）做三代换： ； ； 曲面 在 面上),(yxz21dSdxoy的投影域 将对面积的曲面积分化为二重积分xyD；2(,)(,)xy xyDfzdSfzyz 第十三讲 曲面积分23）在投影域 上计算二重积分xyD（2）对坐标的曲面积分计算方法与步骤1）利用高斯公式 若 为封闭曲面，则dxyzRQxPRdxyQzPdy)(条件一： 在空间区域
3、内偏导连续； 条件二：曲面 为闭曲面的外侧, 若 为非封闭曲面，且 比较复杂, 在由 ( 为闭合) 所围PRP,成的空间闭区域 中有一阶连续偏导数，则 2）通过投影到坐标面上化为二重积分 DxydyzPRdQxzPdyI ,)(xyxzDz,),(,其中 号的确定：若曲面 的法向量 与 轴夹角 为锐角时，第一个积分前取正号，否则取负号；n),(n若曲面 的法向量 与 轴夹角 为锐角时，第二个积分前取正号，否则取负号；y),(y若曲面 的法向量 与 轴夹角 为锐角时，第三个积分前取正号，否则取负nz),(zn号3）利用两类曲面积分之间的联系改变投影面dSxyRdSzQyPRdxQzPdy )(c
4、oscos其中 ， ， ， 为曲cosdyzSsdxzSxy,面 上点 处法向量的方向余弦),(xP第十三讲 曲面积分3（3）两类曲面积分的联系dSxyRdSzQyPRdxQzPdy )(coscos其中 为曲面 上点 处法向量的方向余弦cos,cs ),(zyx3曲面积分应用1）几何应用： 空间曲面的面积 dS2）物理应用： 面密度为 的物质曲面，(,)xyz质量： ；,M重心坐标： ，1(,)xxyzdS， ；(,)y1(,)xyzdSM转动惯量： ， ，2(,)xIyzxy2(,)yIxyzdS， 2(),z dS 2()oxz流体流量：设流体的密度 ，速度 ，单位时间内流过曲面指定1k
5、RjQiPv侧的流量 xyzPy4高斯公式设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面所围成，函数(,)xyz(,)在 上具有一阶连续偏导数，则有(,)RxyzRdxyQzPdyvQP) (coscos)PQRdSA这里 是 的整个边界曲面的外侧， 是 上点 处的法向量的方,cos),(zyx向余弦高斯公式的物理意义：若 是高斯公式中闭区域 的边界曲面的外侧，那么RdxyQzPdy()PQRdxyzx第十三讲 曲面积分4解释为单位时间内离开闭区域 的流体的总质量等于分布在 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量所以高斯公式另一写法 nAdSivV其中 是空间闭区域 的边界曲面，而 是 coscosRQ
6、PnA在 外侧法向量上的投影APiQjRk向量场 的散度： 称 为向量场 的散度zRyQxPAdiv5斯托克斯公式设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符合右手规则，函数 在包含曲面 在内的一个 ),(),(),(zyxRzyxP空间区域内具有一阶连续偏导数，则有dyPxQdzxRdyzQR)()()( QdyRzA另一种写法 yDRzxzPQR环流量：沿有向闭曲线 的曲线积分 叫向量场 沿PdxQyzAAPiQjRk有向闭曲线 的环流量 向量场 的旋度：Arot()RiyzjxR)()kyRQPzyxji斯托克斯公式物理意义：向量场 沿有向闭曲线
7、 的环流量等于向量场 的旋度场通过曲AA线 所张的曲面 的通量二、例题分析1对面积的曲面积分例 1计算 ，其中 为球面 dSzyxI)(22azyx22解：方法 1：曲面 分成两个半球面, 2222,azaz ：则面积元素分别为第十三讲 曲面积分5，zadxyxaydSzaxyxadyS 22221 ,又它们在 面上的投影均为 ，o2Dxy：因此积分 xyxyDDdxyazazdazSdzyxI 22221)( 442222 61SxyzadaxyxyDD 同理 ,44)(2 aads于是 I 4222 826)(1 adSzyxSz方法 2：之间投影到 平面计算xoy练习题：1计算曲面积分
8、，其中 是立体 的边界曲面(dSyx)(212zyx)2(2计算积分 ，其中 是曲面 ( )zdS )10(),(212zyxz263152对坐标的曲面积分上述三种计算方法适用情况：（1）若曲面 在 面上投影为一个区域，则用方法 3）简便；xoy（2）若曲面 在 面上投影为一条线，且 具有连续的偏导数，则通常用加面,PQR，使 封闭，利用高斯公式；*（3）若曲面 在 面上投影为一条线， 偏导数不连续的情况下，使用方法xoy,2）处理例 2计算曲面积分 ，其中 为下半球面212()adzadxyIx的上侧， 为大于零的常数22zaxy第十三讲 曲面积分6解：因为被积函数在点 没有定义，不能用加、
9、减一块面 构成闭曲面计算积(0,)O0z分，应先将半球面方程带入被积函数中，得 2()axdyzadxyI以下利用三种方法计算本题：方法 1： 利用高斯公式补一张面 ，投影域为 ，且是下侧，这里0z： 22Dxya： 1(), ,(32)PQRzPxQRazyz则 I 211(32)()azdvaxydzaxdy23 22001 cosinaDrraxdyA44 221cosinad3332a方法 2：投影法：曲面 投影到 平面上应分成前后两块，即yz22xa前后 ：曲面 在 平面的投影域为 ，yoz 22(,)|,0yzDyza曲面 在 平面的投影域为 ，x|1xx因为 2 2()()ady
10、zadydzadxy而 xxz后前 (向 后 )2222yz yzDDadazdy第十三讲 曲面积分7，222230yz aDazdyrda21()dxa221()xyxy，222230 1)6arda于是 33316Ia方法 3：转换投影法：投影到 平面上， xoy曲面 曲面法向量为22,z：，,1xynf222,1yaxax投影域为 ，,yz xyDIPQRfd :xyD22222221,0( ),1yz yxa dxyaxa222()yzDaxydxy22 22201cos( )ardr32 320014s6adar 3233300cosin2t练习题：利用三种方法计算下列题，其中 为有
11、向曲面 ，其中法向量()Ixzdyx2zxy(01)z与 轴的正向夹角为锐角 z 1()2例 3计算 ，其中 是椭球面 外侧32()xdyzzdxyI 221xyzabc解：当 时， ，但是曲面方程不满足(,)0,)z 0PQRxyz第十三讲 曲面积分8常数，将曲面 改换为 ： 外侧， （ ） ，于是22xyz22xyz,abc，() )0PQRdvxyz空 心 球即 322()dxyz31xyzd（ ）3()vz（ 球 ） 22xyz：33314dv例 4计算曲面积分 ，其中曲面 是球面Ixyzdzxy 被平面 所截得位于上侧的上半部分22xyza0解：该题无论投影、转化投影，高斯公式都有一
12、定的困难，将其转化为第一类曲面积分计算曲面方程 ，22xyza：令 ，则 ，F,2,yzFxF，222cos4xyz，222yxz222cos4zxyy所以 222222( )zI dSzxzxy 31(4)xydSaa例 5 计算 ，其中 为由曲面 与平面 所围成22zxzyA2zxy1z第十三讲 曲面积分9的闭曲面外侧解：对第一个积分可以用高斯公式，即 221 ()Ixyzdxyzdv（其中 ：为 在 部分）18v 10,xy，22 342010, 184sinco()xyxydzdrrd对于第二个积分不能用高斯公式，因为 在 处偏导数不存在，只能投影，2xyzP0x将曲面 分成两块， 上
13、侧， 下侧，21,1z22,1yz：因为 垂直于 平面，所以 ， 1zyo12xyzd对于积分 ，将 投影到 平面还需要分 麻烦，采用转换投影法，投影2xzdo2到 平，因为曲面 法向量 ，所以oy2xy,1nxy22,02xzzd（因为被积函数关于 的奇函数2 ()0Dxyd x且积分区域 关于 轴对称） ，于是xy104I注意：有时对第二类曲面积分的几项，各采用不同的方法去做会带来方便例 6设 为奇函数，且具有一阶连续的偏导数， 是由锥面 ，两球面()fu2xyz， 所围成立体 的全表面外侧，求221xyz22xyz(0)x333()Idfdzfyd 解：利用高斯公式计算： 22()()(
14、)Ixyzvzfyvfv对于第一项 （将对称轴 轴作为 ，利用球坐标计算）3d x0224 34 40101sin6cos5drr 第十三讲 曲面积分10，2136()(4)(9210)55对于第二项 ，因为 为奇函数， 为偶函数，区域 关于 对zfydvfu(fu0z称， 是关于 的奇函数，所以 0，()zfy ()zydv同理第三项 =0，于是()fzv39210)5I练习题：1计算 ,其中 dxyzyxfdzyxfdyzxfI ),(),(),(为连续函数, 为平面 在第四卦限的上侧 （ ）)(zyxf 1122设 具有连续一阶导数，计算曲面积分uzdxyyfxdzyfI )()(1其中
15、 是由 与 所围立方体表面的外侧 （ ）2x28163利用斯托克斯公式计算曲线积分例 7计算 ，其中 为球面 ，222()()()IyzdxydxA221xyz的边界线，从球心看 为逆时针方向0,xyz解：方法 1： 曲线用参数方程表示，将 分成 3 段，平面上一段： （ 从 到 0） ，则o1cos,in,xtytz： t2，10224(ini)cos)3Ittdt由 的轮换对称及表达式的轮换对称知道 I方法 2： 用斯托克斯公式计算斯托克斯公式： PdxQyRzA()()()RPzdxdxyy第十三讲 曲面积分11coscosdyzxdydSzxyzPQRPQR其中（1） 为分段光滑的空间
16、闭曲线； 是以 为边界的分片光滑有向曲面（符合右手规则） ；（2）函数 在含 的空间区域内偏导数连续,这里 ， ， ，则2Pyx2zx2Ry222()()()ddI zdxdzydxxyzyzx （ ）6()6(1)DdyxA21,0y：32012cos4Dxyrd注意：方向：从球心看去是逆时针方向，从外看去是顺时针方向，曲面 法向量指向球心练习题：计算曲线积分 ，其中 是平面 和圆柱面22IydxzA 2yz的交线（当在平面上侧看 时， 的方向是逆时针方向） （ ）21xy 4曲面积分的应用例 8设空间曲线构件的线密度为 ，且曲线方程是曲面2yz与平面 的交线，求曲线构件的质量 22azyx
17、0x M解：相交的曲线方程 ，消去 得到一个过曲线 的柱面方程22azy： x 22azy又该曲线的质量 ，dszyM2将曲线方程代入被积函数即可计算出该积分 2a2a注意：也可以利用参数方程计算该积分第十三讲 曲面积分12例 9设向量 ，曲面 为上半球面 ，被锥面2,Axyz22(1)1xyz(0)所截部分（即 ）的上侧，求 通过曲面 的流量（流体质量）2zx2xyA解：流量 022coscosndSzdS 2xyzxzdy因为曲面 在 面上投影域的边界曲线比较容易求，所以用转换投影法，o由 与 ，消去 ，得到 ，所以曲面 在 面22(1)1xz22z2xyxoy上投影区域为： ，并且 在
18、面上的投影点不重合，(,) xyDxyo22z：因为 ，所以221,xzyxyx22,1ny于是 22,xxyz dxyA232()dyx2322( )yDxxy2 22)()xy xyDddycos220()rr4421s3d4205co1A5362A例 10一带电量 为的正电荷置于半径为 的球的中心，求所产生的电场强度对于该球面qR第十三讲 曲面积分13的通量解：设球心在坐标原点，建立空间直角坐标系，在球面坐标系中，该球面的方程为（ 为常数， ， ）sincoxRyzR02球面的面积元素 2sindSd球面上任意一点 处外法线向量为(,)xyz0(0)rijzk其单位向量为 ，122cos
19、.,cs()rxiy放置点在 处并带电量为 的正电荷在原点以外空间中任意一点 处产生的电(0,)q(,)xyz场强度为 003222(,)()kxiyjzkExyzr于是电场对球面外侧的通量为 0()dsEndS0 122cos.,c()xiyjzkxiyjzkn R于是 322()xiyjzkxiyjzkkqdS3dSR24sinkq20i4dkq练习题：1如果半径为 的球面上每一点的面密度等于该点到球面的某一定直径的距离的平方，试a求球面的质量 （ ）483第十三讲 曲面积分142已知流体的速度场 ，试求此流体场在单位时间内通过曲面 ：ixyzv),( 位于平面 以下部分外侧的流体的质量（流体密度为 1） （0）2yxz1
