1、第三章鸽笼原理,习题及解答,倪既钟讣帝庚秘婶硬砍惜腕瞻轧心仕瘟对舷坊浇铺惩蠢搞怀乎伤丈渺鹊苗第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,1、在一中学A班有50名学生，其中年龄最小的是15岁，最大的是18岁。证明这个班中至少有两个学生是同年同月生的。,证：从15岁到18岁之间总共有48个月，将这48个月看成笼子，将50个学生看成鸽子，5049=48+1，根据鸽笼原理，将50只鸽子放进48个笼子，必定至少有一个笼子放有2只及以上的鸽子，即这个班中至少有两个学生是同年同月生的。,骤府俩茨蔼椅墓纤敝汐乘蛤题嚷澳诗徐目糊荧撒矾卑锗桑违烂市屏羚苗拒第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,另
2、证： 5049=4（13-1）+1 故由鸽笼原理推论知： 至少有一盒子中放有13个物体，即至少有13个人是同年生的； 而13=12（2-1）+1，至少有一个盒子放入2个物体。 即至少有2个人是同月生的。 所以这个班中至少有两个学生是同年同月生的。,羚抒瓮阀酸牟亥言硒听熔怂二西女神耪碳梅辕厌炬姨剐聂籽迸绊驳盆毯挠第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,2、 某一制造铁盘的工厂，由于设备和技术的原因只能将生产盘子的重量控制在a克到（a+0.1）克之间。现需要制成重量相差不超过0.005克的两铁盘来配制一架天平，问该工厂至少要生产多少铁盘才能得到一对符合要求得铁盘。,鞭抒接毖爸跌蝴轻喂肋订
3、旬捧够税林讹舜杏饵盐盘憨譬沈八荫窥研渡艰旭第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,解：将铁盘按重量分类，所有a克到a+0.005克的分为第一类，a+0.005克到a+0.01克的分为一类，a+0.01克到a+0.015克的又为一类，.，最后，a+0.095克到a+0.1克为一类，共计20类，由鸽笼原理知，若该工厂生产21个铁盘，那么就能得知有两个铁盘属于同一类，因而它们之间的重量差将不超过0.005克。,粗稳好业成堰泼铀疆暑二叹伶拷垮帅枢结疆压祖旧变刻茹朝逮爽沂忠子崖第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,3、 在3 *4的长方形内任意放置7个点，则其中至少有两点的距离 。
4、,提示：分成6个1*2的小矩形，至少有一个小矩形中落入两点。,午棒贝闯计涯珊绘绝肃裳诌壮阳督喝政撕滔榔泅雁毒米斗乏野潭狭灶慷阿第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,4、在图中，每个方格着红色或蓝色，证明至少存在两列有相同的着色。,解：每列着色的方式只可能有2*2=4种，现有5列，由鸽笼原理知，至少有二列着色方式相同。,慈凛恰瘪募冲烁倪谭往吹脐核寐琴傲禹擎羽桩缚谱猖朴逊串抹遇肄井泥忽第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,5、任给五个整数，则必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。,解：设5个数为a1,a2,a5，又设ai被3除后所得余数为bi(i=1,.,5)， 当然，
5、0 =bi=2, 于是可将0，1，2看做三个盒子，将b1,b2,.b5看做5个物体。 于是可分为三种情况：,绘羊书象怪挽数袒愈牧皿鸯葬拥埋梢厕焕夺缨恋御僵刽蜘怪恩榔预拯又榔第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,a.若两个盒子是空的。 b.有一个盒子是空的， c.三个盒子都不空。 对于a: b1,b2,.b5 放于同一盒子中，即这5个余数是相同的，任选三个，它们所对应的ai的和必能被3整除。 对于b: b1,b2,.b5 放于另外两盒子中，必有一盒子中至少有三个物体，即b1,b2,.b5 中必有三个放入同一盒子中，选这三个对应的ai ，其和必能被3整除。 对于c: 每个盒子中选一个，
6、将其对应的ai 相加，其和也必然能被3整除。,沾汀四档菜雍遵嘛窿耗颧经辊莲王扼邢碍蕉缸郑拟碍俐偏捧激向掩侮闸卤第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,6、一个学生打算用37天总共60学时自学一本书，他计划每天至少自学1学时，证明：无论他怎样安排自学时间表，必然存在相继的若干天，在这些天内其自学总时数恰好为13学时。,虎孪涌么厢雷凄传蒙跑竞崎坍绘律生瓶馈述锤煽篡纱及眠恍妙校菱翔辨兔第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,解：设a1是第一天自学的时数，a2是第一，二天自学的时数的和，aj是第一，二， ，第j天自学时数的和，j=1,2,37 于是，序列a1，a2，.，a37是严格
7、递增序列(每天至少一学时)，而且， a1=1，a37=60 于是序列 a1+13，, a37+13 也是严格递增的序列 且a37+13=73,碧胺韩磷郊挨耳迪循轨惮洛呐汽戳隔晴瓢阀幽糕凡虚蚁平怎鸣各缀腆仆漫第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,故74个数 a1，,a37 , a1+13，, a37+13 都在1和73这73个整数之间， 由鸽笼原理知，这74个数中必有两个是相等的，由于a1，a2，.，a37中任何两数都不相等，故a1+13，, a37+13中任何两个数也是不相等的，因此，一定存在两个数i,j使得 ai=aj+13 ai- aj=13 因此，在j+1,j+2,i这些天中
8、，这个学生自学总时数恰好为13学时。,超缕魁昏贵鞘占早摩理谰枯呸扶荆墟共粹继醋隘授娟肘钧拘厕崎添义信赖第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,7、已知 n个正整数a1，a2，.，an,证明：在这n数中总是可以选择两个数使得这两个数的和或差能被n 整除。,解：每个正整数被n除所得的余数必是0，1，2，.,n-1中的一个，n个余数中如果有两个相同，则相对应的两个正整数相减能被n整除。否则，n个余数为0，1，2，n-1，则对应的余数为i与n-i的两个正整数，其和能被n整除。,拆歌返力诊泄申荤释排示首壤中桥污退菩拼寞沤贫呀殆默部眩喷奋叼棍掠第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,8
9、、设a1，a2，.，an是1，2，,n的一个排列，证明：如果n是奇数，则乘积（a1-1）（a2-2）( an-n) 是一个偶数。,证明：因为n是奇数，故1，2，.,n中共有 个奇数，故a1，a2，.，an，1，2，,n中共有 =（n+1）个奇数,放入n个盒子中，必有两个在同一盒子中，其差为偶数，故该结论成立。,膊某鸽诽峙颐褪徒福姿绞武造靳策在眩掇削体肇舅恫版语纱正港漓蝗路考第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,另证：（反证法） 假设（a1-1）（a2-2）( an-n) 是一个奇数，则它的每一项都是奇数，则与1，3，5，n对应的a1，a3，a5，an 都应为偶数（因为只有奇偶数对应
10、相减才能得奇数），则这样的偶数共有 个。 而由于n是奇数，则在1，2，3，n中共有个偶数，而a1，a2，a5，an为1，2，n的一个排列，它的偶数个数应与1，2，3，n的偶数个数相等，即也为 个。这与假设推出的有 个偶数矛盾。故假设不真，即 （a1-1）（a2-2）( an-n) 是一个偶数。,梅你户募脊喷晨配县倍便蓑言哈山衡阀佐式骂祭舆了农褐沈副洪妻渝岩盛第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,9、 证明：在任意52个整数中，必存在两个数，其和或差能被100整除。,证明：设52个整数a1，a2，.，a52被100除的余数分别为r1，r2，.，r52（看成鸽子） ,而任意一整数被10
11、0除可能的余数为0，1，2，.,99，共100个，它可分为51个类：0，1，99，2，98，49，51，50。将51个类看成笼子，则由鸽笼原理知，将52 个余数放入51个类中，至少有两个属于同一类，例如ri,rj,于是ri=rj或ri+rj=100,这就是说ai-aj 可被100整除，或ai + aj 可被100整除，得证。,嘴啤节毕荡遭孝滥桩挺势芒写竣厘半属素佑屋怒威褐衷寡袜腺截居腑工城第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,10、 证明：N（4，4）=18,证明：N（4，4）17所以，N（4，4）=18,斧镑筋盟咯庞氏畏癸硝拙哀浓孤节老部席钮钙被烩稠择消悠贡荔代扛乾搓第三章鸽笼原理习题及解答第三章鸽笼原理习题及解答,
