1、高等数学（上）知识点第 1 页 共 12 页高等数学上册知识点一、 函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） ；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 在 连续 )(xf0 )()(lim00xffx第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二） 极限1、 定义1） 数列极限 axNnax
2、 nn , , ,0lim2） 函数极限 AxfxxAxfx )( 0 , ,0)(li 00 使使高等数学（上）知识点第 2 页 共 12 页左极限： 右极限：)(lim)(00xfxfx )(lim)(00xfxfx)()( )(lim000 xffAfx使2、 极限存在准则1） 夹逼准则：1） )(0nzxynn2） annlimli axnlim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小（大）量1） 定义：若 则称为无穷小量；若 则称为无穷大量.0limlim2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 阶无穷小kTh1 ;)(oTh2 （无穷小代换） limli
3、 lim,使4、 求极限的方法1） 单调有界准则；2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性；4） 两个重要极限：a) b) 1sinlm0xx exxxx )1(lim)1(li05） 无穷小代换：（ ）0xa) xxx arctnarcsintnsi高等数学（上）知识点第 3 页 共 12 页b) 21cos1xc) （ ）ex axaxln1d) （ ）)1ln(xal)(loge) xx二、 导数与微分（一） 导数1、 定义： 00)()(lim)(0xffxfx左导数： 00)()(li)(0fffx右导数： 00)()(li)(0xfffx函数 在 点可导xf0 )()(0ff
4、2、 几何意义： 为曲线 在点 处的切线的斜率.)(f xy)(,0xf3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则） ；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；高等数学（上）知识点第 4 页 共 12 页7） 对数求导法.5、 高阶导数1） 定义： dxydxy22） Leibniz 公式： nkknkvuCuv0)()(（二） 微分1） 定义： ，其中 与 无关.)()()(00 xoAxfxfy Ax2） 可微与可导的关系：可微 可导，且dffdy)(00三、 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle
5、 罗尔定理：若函数 满足：)(xf1） ； 2） ； 3） ；,)(baCxf),(baD)()(bfaf则 .0)()f使2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数 满足：)(xf1） ； 2） ；,)(baCxf,)(baDxf则 .)()()ff 使3、 Cauchy 柯西 中值定理：若函数 满足：,xF1） ； 2） ；3）,)(,baCxFf ),()(,baDxf0)(则 )()(, FfabFffa使高等数学（上）知识点第 5 页 共 12 页（二） 洛必达法则（三） Taylor 公式（四） 单调性及极值1、 单调性判别法： ， ，则若 ，则,)(baCxf),()(ba
6、Dxf0)(xf单调增加；则若 ，则 单调减少.)(xf 0)(f2、 极值及其判定定理：a) 必要条件： 在 可导，若 为 的极值点，则 .)(xf00x)(f 0)(xfb) 第一充分条件： 在 的邻域内可导，且 ，则若当0)(xf时， ，当 时， ，则 为极大值点；若0x)(xf 0x)(f当 时， ，当 时， ，则 为极小值点；x0x若在 的两侧 不变号，则 不是极值点.0x)(xf 0xc) 第二充分条件： 在 处二阶可导，且 ， ，0 )(0xf 0)(xf则若 ，则 为极大值点；若 ，则 为极小值点.0)(xf0x)(0xf0x3、 凹凸性及其判断，拐点1） 在区间 I 上连续，
7、若 ，则称)(xf 2)()()2( , 1121 xffxfIx在区间 I 上的图形是凹的；若 ，则)(f )()()( , 21121 fffI称 在区间 I 上的图形是凸的 .xf2）判定定理： 在 上连续，在 上有一阶、二阶导数，则)(xf,ba),(baa) 若 ,则 在 上的图形是凹的；0),fxf高等数学（上）知识点第 6 页 共 12 页b) 若 ,则 在 上的图形是凸的.0)(,(xfbax)(xf,ba3）拐点：设 在区间 I 上连续， 是 的内点，如果曲线y0)(xf经过点 时，曲线的凹凸性改变了，则称点 为)(xfy)(,00xf )(,00xf曲线的拐点.（五） 不等
8、式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）.（六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性.（七） 渐近线1、 铅直渐近线： ，则 为一条铅直渐近线；)(limxfax ax2、 水平渐近线： ，则 为一条水平渐近线；bby3、 斜渐近线： 存在，则 为一条斜 kxfx)(li kxfx)(li bkxy渐近线.（八） 图形描绘四、 不定积分高等数学（上）知识点第 7 页 共 12 页（一） 概念和性质1、 原函数：在区间 I 上，若函数 可导，且 ，则 称为)(xF)()(xfF )(x
9、F的一个原函数.)(xf2、 不定积分：在区间 I 上，函数 的带有任意常数的原函数称为 在)(xf )(xf区间 I 上的不定积分.3、 基本积分表（P188，13 个公式） ；4、 性质（线性性）.（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）： )()(d)( xudfxxf 2、 第二类换元法（变量代换）： )(1d)()( xttfdxf （三） 分部积分法： vuudv（四） 有理函数积分1、 “拆” ；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积分（一） 概念与性质：1、 定义： ni iiba xfdxf10)(lm)(2、 性质：（7 条）高等数学（上）知识点第
10、8 页 共 12 页性质 7 （积分中值定理） 函数 在区间 上连续，则 ，使)(xf,ba,ba（平均值： ）)()(abfdxfba abdxff)()(（二） 微积分基本公式（NL 公式）1、 变上限积分：设 ，则xadtf)()( )()(xf推广： )()()()( fxftfdx 2、 NL 公式：若 为 的一个原函数，则F)xf()()(abdxfba（三） 换元法和分部积分1、 换元法： ttfdxfba d)()(2、 分部积分法： babba vuuv（四） 反常积分1、 无穷积分： tata dxfdxf )(lim)(bttb ff )(li)( 00 )()()( d
11、xfdxfdxf2、 瑕积分：高等数学（上）知识点第 9 页 共 12 页（a 为瑕点）btatba dxfdxf )(lim)(（b 为瑕点）tabtba ff )(li)(两个重要的反常积分：1) 1 , ,d1paxap2) 1 , ,1)()(d)(d qabxbax qaqbaq六、 定积分的应用（一） 平面图形的面积1、 直角坐标： badxfxfA)()(122、 极坐标： dA)()(21212高等数学（上）知识点第 10 页 共 12 页（二） 体积1、 旋转体体积：a)曲边梯形 轴，绕 轴旋转而成的旋转体的体积：xbaxfy,),(baxdfV2b)曲边梯形 轴，绕 轴旋转
12、而成的旋转体的体积：xbaxfy,),(y（柱壳法）bay dfV22、 平行截面面积已知的立体： badxAV)(（三） 弧长1、 直角坐标： badxfs2)(12、 参数方程： ttt22)()(3、 极坐标： ds 22)()(七、 微分方程（一） 概念高等数学（上）知识点第 11 页 共 12 页1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程，两边
13、积分dxfyg)()(dxfdyg)()(（三） 齐次型方程，设 ，则 ；)(xydxyudxud或 ，设 ，则)(yyvyv（四） 一阶线性微分方程 )()(xQyxPd用常数变易法或用公式： CdxexQeyPdxP)()( )(（五） 可降阶的高阶微分方程1、 ，两边积分 次；)()(xfynn2、 （不显含有 ） ，令 ，则 ；,y yppy3、 （不显含有 ） ，令 ，则),(fy x d（六） 线性微分方程解的结构高等数学（上）知识点第 12 页 共 12 页1、 是齐次线性方程的解，则 也是；2,y 21yC2、 是齐次线性方程的线性无关的特解，则 是方程的通解；21y3、 为非
14、齐次方程的通解，其中 为对应齐次方程的*21yCy ,线性无关的解， 非齐次方程的特解 .（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程： 0qypy特征方程： ，特征根： 02qpr 21,r特征根 通 解实根 1xrxreCey21221prr1)(21i, )sincos2xxeyx （八） 常系数非齐次线性微分方程)(xfqypy1、 )(Pexfm设特解 ，其中 )(*xQexymk是 重 根是 一 个 单 根不 是 特 征 根, , k2102、 xPxPexf nlx si)(cos)()( 设特解 ，xRRy mmxk sin)(c)(21*其中 ， ,anl是 特 征 根不 是 特 征 根ik ,10
