1、1复习提纲（函数、极限与连续）一、函数有界函数，周期函数，奇偶函数，复合函数，反函数，显函数，隐函数，初等函数，分段函数，导函数，积分上限函数。1 定义域：使函数解析式有意义的 的取值范围x1） 分式： (),0gxyf2） 根式开偶次方根： 为偶数） ，()nfx()0fx3） 对数： ，logayf04） 反三角函数： ，rcsin(),arcos()fxyfx1f2 函数值记法： 000(),xxyxff已知 ，求 fg例： ，求 及定义域2()sin,()1xx()x例： ，求 及定义域221lff3 奇偶性： 关于原点对称，若 ， 偶函数；fD()fxf()fx， 奇函数常见的奇函数
2、： ， ；21sin,ta,arcsin,tanxx 2ln(1)yx常见的偶函数： ；2co(e为 正 整 数 ）注：对任意函数 ， 偶函数， 为奇函数()fx)2fx1()fx例：已知 ，试补充 在 上的表达式使其在区间,0()f2,0上构成偶函数（偶延拓）2,4 常见的有界函数： （常数）,()fxDM2sin1,cos,(,)arcsin,arcos,1,2art,art,()2x xxx5 周期函数： ， 为周期()fTf1） 的周期为 ；2） 的周期也是 （ 的周期 ）faxba()fxgT(),fxgT3） 分别是以 为周期的函数，则 是以 的最小(),fg12,Tf12,公倍数
3、为周期的函数。4）常见函数的周期： ；sin,coxT。tan,cotsi,cxx二、极限1数列的极限： （确定常数）limna注：若数列 存在极限，称其收敛；否则称之为发散。x2. 函数的极限： 0li(),li()xxfAfA1） 同时成立；lim()li()xxff注： 等函数当 时的极限要分别考虑,arctne ,x2） 0000li()()li()xx fAfxffA注：用于求分段函数在分段点处的极限3极限性质：惟一性，有界性，保号性极限存在准则：单调有界，夹逼定理4无穷小与无穷大1）无穷小：以零为极限的量称为无穷小量，即 lim()0fx无穷大： （此时极限不存在） ；lim()f
4、x2）无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，3若 是无穷小且 ，则 是无穷大；()fx()0fx1()fx若 是无穷大，则 是无穷小。()f()f3）无穷小的运算性质：有限个无穷小之和、积仍为无穷小；有界函数与无穷小之积为无穷小。 4）无穷小的比较：设 （即： 为无穷小）limli0,若 ，称 是 的高阶无穷小，记作 ；li0()若 ， （ ） ，称 与 是同阶无穷小；lic,1若 ，称 与 是等价无穷小，记为lim:5）常用的等价无穷小当 时， ，0xsin,ta,rcsin,arct,xxxx21cosx.l(1),1xe1()推广：当 时，有 0fxfsin(),tan(),f
5、xfx()arcsin(),arctn(),l11()fxef6) 等价无穷小应用：利用等价无穷小代换求极限设 且 存在，则 。,limlilim注：1）只在乘除因子中用，加减运算时不适用，例： 不能直接代换。30tansilixx2）洛必达法则只是极限存在的充分条件而非必要的。5两个重要极限1） 0sinlm1x0()推广：当 时，)ffx()0sin()0sin()lm1,fxffx4这里将 换成 结论仍成立sin()fxtan(),rcsi(),arctn()fxfxfx当 时， ， 及0fsi,arctn()fx中任意两个商的极限为 1 。()x2） 或 1limxxe0li()xxe
6、()推广：当 时， （ 为常数）()f ()()lim1bfxcabfx e,c当 时， （ 为常数）()0()fxf()()0libcabfxfx,6洛必达法则：若 ， 在 邻域内可导，且0li()xfg,()fg00()gx则： 00()limli()xxffA使用法则时注意：只有 才能使用，只要是 可多次使用；()0()0每用完一次，要将式子整理化简后再用法则；为简便运算，往往先对等式恒等变形或用等价无穷小代换后再用法则。7与极限有关的典型例题1） 是初等函数， 是其定义域内的一点，用代入法：()fx0x 00lim()xfx例 21limarcsnl(1)x2）有理分式函数 的极限()
7、nmPxfQ000000(),()()lim()li ,()()nmn nxxmnmxf PQ未 定 式 ， 5例 ，21limsnx例 203lisx3）无穷小与有界函数之积仍为无穷小例 310(5)arctnlim97xx例 2oslin例 03()inxx4）未定型“ ”因式分解：约去零因子例 2356limx含有根式：有理化 例 01cosli2xx例 213lim6x洛必达法则： （存在）()()lilimfxfxg例 1lncosii2xx例 （先代换，令 ，再用法则）10limxe1ux例 （先代换，令 ，再用法则）20lixxe重要极限： 0sinl1x6例 21sin()lm
8、x例 （极限存在部分先计算，能用等价无穷小代换的先代换再用法2013sicosl()ln(xx则）例 （两个重要极限都用到）1()limsinne5）未定型“ ”有理函数用公式： （抓大头）0101,lim,nnmx manbaxaxbb例 302105(7)()li64x洛必达法则例 2201limxtxxed例 （不能使用洛必达）3sinlicox分子分母同除因子：例1(4)5linn6) 未定型分式：通分例 01lim()2xxe含根式：有理化例 1li()xx作代换： 1t7例 21limln()xx7）未定型 ：化为 或0例 （化为 ）2356lisinxx例 （化为 ）12lim(
9、)tax0例 (化为 )13lisnl()sinl()2txxx08）指数型： 0,1利用对数恒等式化为 ： ；对 还可利用重要极限lnbae1例 sin0lmxx例 ta1i()x例 210rcsinli6xx9）分段函数在分段点的极限：用左右极限及极限存在的充要条件考虑例 ，求23,0()1,xf01lim(),li()xxff例 ，求12,0()xf0li()xf注：若 的极限式中含有 ，特别是 的，一定分x(,1)xa,arctn,otxe别求出 时的极限，两者相等，则 极限存在，否则不存在。,10）数列无限项和的极限：利用极限存在准则（夹逼定理）例 22211lim()(n n811
10、）数列敛散性的判定和证明例 设 ，试证数列 极限存在，并求此极限 。110,6,12,3nnxx nxlimnx12）积分上限函数的极限：用洛必达法则例 2201limxtxxed13）某些特定的极限：用导数的定义求例 设 ，求(1)fA1(43)(1lixff14）已知极限，求常数例 ，求2lim()01xab,a例 ，求li7xx例 设 ，求常数 。32li()01xkb,kb15）已知一个极限，求另一个极限例 设 ，求 0()lnsiim0,1)1xxfAaa20()limxfln)Aa例 ，求36()lf206(lixf16）无穷小阶的比较例 时， ，求0x22tan4x:例 时， ，
11、求1()flim()li2()xxff三、连续1. 定义： 在点 连续()yfx0 000lili()(xxyfxf0()f2 在 处连续的充要条件：()fx0 00 00lim()lim()xx fxf9适用于判断分段函数在分段点的连续性3基本初等函数在定义域内连续；一切初等函数在其定义域内连续函数。4函数的间断点（在 点不连续）：0x函数在 没有定义，或 ，或 不存在；000lim()xfx0lim()xf6 间断点的分类：1）第一类间断点：左右极限存在但不相等（跳跃间断点）左右极限存在相等，但函数在该点没定义（可去间断点）左右极限存在相等，但不等于函数值（可去间断点）2）第二类间断点：左
12、右极限中至少有一个不存在。7 闭区间上连续函数的性质（用于证明题中）1）有界性：闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值与最小值。2）零点定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在 内至()fx,ab()0fab(,)ab少存在一点 ，使 。03）介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点()fx,，(),()faAfbB那么对于 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得C(,)ab()fC。()8.典型例题1）讨论函数的连续性例 讨论 的连续性。21()limnnxf解： ， 的连续区间,()0,1fx()fx(,1)(,)2）设 ，求 的间断点并判别其类型。
13、()lim)()0,xttxf txt()fx10解： ，所以 为间断点；11()lim)li()xt xttxf e1x且 ，所以 是第二类间断点。11li,li0xxff9.有关闭区间上连续函数的证明题命题证明有两种方法：1）直接法：其程序是先用最值定理，再用介值定理例 设 在 上连续，且 ，证明：在 内至少存在一个 ，使得()fx,abacdb(,)ab，其中 为任意常数。)(pcqdpf,pq证一：因为 在 上连续，所以 在 上有最大值 和最小值 ,则(fx,()fx,Mm，由于 ，于是有)mM,0cab，(,()pfpqmfdq，)qcpM，所以由介值定理，在 上至少存在一个 ，使(
14、ffmp,ab，即 。()()fcqfdf()()pfcqfdfpq2）间接法：先构造辅助函数 ，验证 满足零值定理条件，然后由零值定理得出Fxx命题。辅助函数 的作法：()Fx 把结论中的 （或 ）改写成 ；0x 移项，使等式右边为零，令左边的式子为 ，此即为所求的辅助函数。()Fx证二：令 ，由题设可知 在 上连续，()()Fxpqfxfcqfd（ (),ab因为 ， ，所以当 时，cfd()Fpfc()0fcd又 ，有 ，所以由零点定理可知，至少存在一,0pq2()0fc个 ，使 ，即 。(,cdab(0()()qfdfpq11例 设 在 上连续，且 。证明：在 上至少存在一个 ，使得(
15、)fx0,2a(0)2fa0,a。复习提纲（导数与微分）一、导数1导数的定义1）设函数 在点 的某邻域内有定义，yfx0000()limlixxfxff或 （几种等价定义）00lixfff 000limhfxfxf注：求某点处的导数，尤其是分段函数在分段点的导数用第二种等价定义较方便。2）导函数： ；导函数值（导数）： ， ，(),dyfx 0xy0f0xdy3）若极限 不存在，则 在点 处不可导。0limxfx2单侧导数1） 或 ；000lixfff x00limxffxf或 ；000limxfff 00lixfff2） 函数 在点 处可导的充要条件是yf0 ff注：常用来判别分段函数在一点
16、的可导性3导数的几何意义、物理意义与经济意义1）几何意义： 在点 处切线的斜率：yfx0,fx0kfx过点 的切线方程为： ；0,xf 00yfx若 ，法线方程为：0f0001f若 ，则切线： ；法线：0fx0yx12若 ，则切线： ；法线： 。0fx0x0y2） 物理意义：物体在 的瞬时速度： ，即 。0tst0tvst3） 经济意义： 在经济学中称为边际函数。()fx4可导与连续的关系可导 连续；连续未必可导，如函数 在点 连续但不可导。yx05函数的求导法则显函数直接求，隐函数两边求，抽象函数复合求，复合函数逐层求，参数方程分别求，一点处导数定义，幂指函数乘除因子对数求，高阶导数逐阶求。
17、二、微分1微分的概念1）定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，且 也属于该邻域。如果函yfx0 0x数的增量 ，其中 是与 无关的常数， 是无穷小量， 为AAxx较 高阶的无穷小量，则称函数 在点 处可微分，并称 为函数xyf0A在点 处的微分。记为 或 。yf00xd0x2） 在点 处可微分 函数 在点 可导，此时 。xf 00xdyfdx3） 微分的几何意义：函数 在点 处的微分 ，在几何上表示当自变量 有改变yfx00xdyfx量 时，曲线 在点 沿切线的纵坐标的改变量。x0,f2微分的运算1）微分的基本运算公式： dyfx2）一阶微分形式的不变性：无论 是自变量还是中间变量，都有 总
18、成立。udyfu3） 在点 处连续、有极限以及可微、可导之间的关系：yfx0可微 可导 连续 有极限3微分在近似计算中的应用1）设 在点 处可导，则当 很小时，有 yfx0x000fxfxfx132）常用的近似公式：当 很小时，有x， ， ， sinxln(1)1xe1nx三、导数与微分典型运算1与导数定义有关的命题步骤：1）写出导数定义式；2）再凑成要求的定义式例 设 ，求()fA1(43)(1lim3xffA例 设 存在，求0()f 000(2)()li 5()xfxfxf例 设 在 连续，且 ，求()fx11()limxf(1)f例 设对任间 有 ，且 ，证明当 时，有,y()()ffy
19、()f0x1()fx例 设 在 内有定义，对任意 ，恒有 ，当 时，()fx,)x(1)2(ff，试判断在 处 是否存在？21f0x()f2求各类一元函数的导数1）复合函数步骤：分解函数若 ，则,yfuvx()ffuvx若 ，则()g()()dygx再将中间变量回代例 ，求32ln(1)yxy例 ，求coslilnx14例 ，求2(1)yfxy例，设 ，求23,(arcsinfx0xy2）隐函数：步骤：写明等式两边同时对 求导，x对含有 的函数要先对 求导再乘上 （要记住 是 的复合函数）yyyx解出 的表达式。例 确定 ，求224yxe()fxy例 ，求tanydy例 ，求202ta()se
20、cxyxt2dyx3）参数方程导数 ()xty步骤：先分别求出 (),t写出公式 ()dyFtx若要求二阶的话，先进行整理2()dytx例 设 ，求sinco2xty2,dyx例 设 ，求21ln(1)utxteyd29xdy15例 设 求2ln(1),arctxy2,dyx4）对数求导法步骤：等式两边同时取对数等式两边同时对 求导（即利用隐函数求导方法） ，左边是x 1y整理，将 代入。y例 ，求 sin(0)xy例 设 确定 是 的函数，求yx dyx注：若一函数不能直接用法则或上述方式求得，则将其分成几个函数分别求，然后再用法则例 求： （ ）sin1(0)xyxy1212,yy5）求高
21、阶导数步骤：先求出一阶，并整理；再求二阶，三阶等。 （每做一次，先整理后再求更高阶）例 设 ，求(2)nyx()ny例 ，求2l(1)3x例 设 ，求lnyx()ny例 设 ，求sixe()n16注：常用高阶导数公式 () ()ln(0,xxxnxaae ，()sisi2kk()coscos()2nkkxn ，()1()mn mxx ()!6）求导数值 步骤：求出导函数 ()f再将 代入0x00()xf例 ，求()1)(2f n ()f例 ，求 )(1xxxee (9!)例 ，求 及 （注：本题 点导数要用定义求）3()sinff0)f 0x7）求切法线方程步骤：写出切点 0(,)xy求出 ，
22、得 或 （此为参数方程）0xyk0tk写出切、法线方程公式，再代入例 求 在点 处的切法线方程。 23xy1x例 曲线 的切线与 轴和 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 ，试求切线方程yxy 和平面图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？例 已知 是周期为 的连续函数，它在 的某邻域内满足关系式()fx50x，其中 是当 时比 高阶的无穷小，且1sin31sin)8()f x()0x在 处可导，求曲线 在点 处的切线方程。 （ ）()xyfx6,f 2(6)yx17例 设曲线 在点 处的切线与 轴交点坐标为 ，求nfx1,x(,0)nlimnnf8）求微分步骤：先求出 ；y
23、dyx例 ，求2cos()xy例 ，求()lnfxfedy例 设函数 由方程 确定，求()yfx2xy0xdy9）微分的近似计算步骤：将 化成 （ 为一较小的数） ，再设x0x()fx求出 ，进而求出()f0()f写出近似公式 00()fxxffx将 代入进行计算0,x例 计算 lg981(l0.43)ne10）分段函数在分段点的连续与可导性步骤：改写函数，写出其在分段点处函数值连续性：验证 ，成立则连续；00lim()li()xxff可导性：验证 ，成立则可导。0 000lilimx xffx 例 ，讨论 在 处连续与可导性ln(1)1)fx()f18例 设 ，试确定 的值，使函数在 点连续
24、可导。22arctn,0()si(1)xefxb,ab0x例 设 ，其中 在 点处连续，证明当 时 在yxaxafxa处可导.（利用函数在点 处可导的充要条件）011）积分上限函数的导数例 设 为连续函数，且 ，求()fxln1()()xFftd()Fx例 设 为连续函数，求()fx21()dfxt例 设 为连续函数，求()f 20()xtftdd例 设 为连续函数，求 ，求()fx10()()Fxft()Fx四、导数的应用1函数的单调性1）如果函数 在区间 内可导且 ，则 在 内是严格单调增加；()fx(,)ab()0fx()fx,ab2）如果函数 在区间 内可导且 ，则 在 内是严格单调减
25、少。3）利用导数求函数单调区间步骤：写出函数的定义域求出 (),fx求出 或 不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间0()fx列表讨论 在小区间上的符号正负，得到函数的单调区间。f2函数的极值19函数 在点 的邻域内有定义()fx01） ，有 ，则 为一个极大值， 是一00,(,)x0()fx0()fx0x个极大值点；2） ，有 ，则 为一个极小值， 是一00(,)(,)x 0()f0()f0个极小值点；注：极值是考虑函数在局部范围内取值情况；使函数取得极值的点 称为函数的极值点。0x3）极值存在的必要条件：设函数 在 处可导且在 处取得极值，则 。()f0x0x0()fx4）极值存在的第一
26、充分条件：设函数 在 的某个去心邻域内可导，在 处连续，则当 的符号在 两侧左正右负时， 为极大值。()fx00()fx当 的符号在 两侧左负右正时， 为极小值。4） 极值的第二充分条件：设函数 在 处二阶可导且 ，则()fx000(),()fxf 当 时， 为极小值；0()fx0()f 当 时， 为极大值。x5） 利用导数求函数极值的方法及步骤 确定函数 的定义域()f 求出 的导数xfx 求出 的驻点 或 不存在的点()f()0()fx 利用极值的充分条件判断所求出的驻点及导数不存在的点是否是极值点 求出极值点。3函数最大值、最小值某函数 在闭区间 上连续，则可先求出函数 在 内所有驻点及
27、导数()fx,ab()fx,ab不存在的点处的函数值并与 比较，其中最大者是函数 在 上的最大值，()f 最小者是函数 在 上的最小值。()fx,204曲线的凹凸性与拐点1）若函数 在 内连续且有一阶、二阶导数，则()fx,ab当 时，曲线 是凹弧；0()yfx当 时，曲线 是凸弧。()fx连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点。2）曲线拐点的判别若函数 在 内具有二阶连续导数 ，并且 。如果 在 左()fx,ab()fx0()fx()fx0右两侧符号相反，则点 就是曲线 的拐点。0()fxy二阶导数不存在的点，也可能是曲线的拐点。3）利用导数判断曲线凹、凸的步骤求出定义域求出 (),fx求出
28、及 不存在的点0()fx判断在这些点左右两侧 的符号，有变化为拐点，无变化不是拐点。4）曲线的渐近线若 ，则 为垂直渐近线；0lim()xf0x若 ，则 为水平渐近线。0y5函数图形的描绘函数图形描绘的步骤：1）确定函数的定义域、周期性、奇偶性；2）利用一阶导数求出函数的单调区间和极值；3）利用二阶导数求出曲线的凹凸区间与拐点；4）判别有无铅直渐近线、水平渐近线；5）把以上讨论结果列成表格，根据需要补充一些图形上的点，描绘出图形；6）作图的关键是二点（驻点、拐点）一线（渐近线）+辅助点（曲线与纵、横坐标轴的交点） 。216曲线的曲率、曲率半径若函数 在点 处二阶可导，()yfx1）在点 处曲线
29、 的曲率,()yfx321()yk2）曲率半径321()ky3） 为弧微分。2()dsdx7方程根的近似解方程 的根的近似解可以用切线法（牛顿法）求解。()0f假设方程 的实根的两个近似值 与 ，并且满足下列条件：xab（1） 函数 在区间 上连续，且具有二阶导数；()f,b（2） 与 异号，即 ；a()0f（3） 与 在 上不变号；()fxf,a在纵坐标与 同号的那个端点作切线，切线与 轴的交点的横坐标 就比原来的近似x1x值 或 更接近于方程的根 。如 与 同号，切线 ，ab()ff ()()yfaa令 ，得 。0y11 1)(),(nnxfaxxf8典型例题1）求单调区间例 ，求单调区间
30、2()xf例 ，求单调区间()2lnfx例 ，求单调区间3()47fx222）求极值例 ，求极值2()xfe例 设 是函数 的极值点，且 ，试求132()faxb(1)3f,ab例 设函数 满足 且 是 的驻点，()f 2()()0fxffx()fx，0()fx问函数 在 处是否取得极值？如果取得极值，是极大值还是极小值？0例 设函数 ，求 的单调区间与极值。1()2)(0)xFdtx()Fx3）求函数在指定区间上的最大值最小值例 1()ln,4fx例 设函数 在 上的最大值是 3，最小值是 且 ，求32()6faxb1, 290a的值。,ab4）求下列函数的凹凸区间及对应曲线的拐点例 432
31、()1850fxx例 设已知点 是曲线 的拐点，求 的值。(,)32()56fabx,ab例 求函数 的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间和拐点。321yx5）求渐近线23例 垂直渐近线， 水平渐近线）()1xef(10y例 ( 垂直渐近线， 水平渐近线)()ln2xf 2y6）利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式的主要方法：一般不等式均为 时，证(,)xab()fxg构造辅助函数 ()()Fxfgx应用导数：若 ，则 在 单调增，又 ，0,ab()0F则 ， 。xa()a例 证明 221ln)1()xx例 已知 在 上连续，在 内可导，且 ， 单调增加，试证()fx0,)(0,)(0)f(
32、)fx函数 在 内也是单调增加的。g(例 设函数 在 上连续， 在 内存在且大于零。记()fx,)a()fx,)a，证明： 在 内单调增加。()fxaF(F,24复习提纲（一元函数的积分学）一、重要结论1不定积分若 ，称 为 的一个原函数；()Fxf()FxffdC 或()()xf()dfxd或F ()FxC2定积分 ，定积分是常数()0bafxd ， 为积分上限函数()aftf()xaftd更一般地有： ()()()xftfxfx 0,()2()aafdfxdf奇 函 数， 偶 函 数 （定积分的几何意义）21a ()()()bbaafxdF积分中值定理：若 在 上连续，则在 上至少存在一点
33、 ，使fx,ab；()()()bafxb又称 为 在 上的平均值。1()affxdb()fx,ab3.相关例题例 设 ，求()lnxeft()fe25例 设 ，求11()xxfedC()fx例 设 在 上连续，且 ，求0,0(1cos)tdx()2f例 设 在 内可导，又 ，且 ，求()fx,)()f 1()()xegftd(0)g例 求506sinlmxtd例 求03arcsinlixttd例 求函数 的极值点20()(1)xftdt例 设 ，求22(cos)tan(0)fxx()fx例 设 ，求423()()xf ftd(),f例 设 ，求2()1xtd()x例 求 2()xf二、积分的计
34、算1.直接法：直接利用结论与积分公式、性质求积分例 61(cos2)xxedx26例 设 且 ，求22(1)lnxfx()lnfx()xd例 设 ，求,0()12,fx()fd例 （对称区间）42(sinco)xxd例 设 在 上连续，且对任何 都有 ，计算()fx,),xy()()fyfxy( 为奇函数，积分为零) （奇函数）12fdfx例 （含绝对值）2()fx例 设 ，求11()xtd例 设 ，求2,0()xfe31(2)fxd2.第一类换元法（凑微分）1） ，其中()()()gxdgxdGxC ()()xg2） bb baaa3）常见凑微分： ； ； ； ；1()x21xlndxxxe
35、d； ； ；()lnxda2d2(arct)； ； ；21(rct)xxsincosxsindx27； 。2sec(tan)xdx2cs(cot)dx例 设 是 的一个原函数，求)Ff 1lnfaxd例 设 是 的一个原函数，求()xf 23()fx例 21tandx例 rctxe例 2sin(1)xdx例 2(1)arcsinxx例 sicodx例 2(artn)1x例 22()14dxx例 25x例 arctn(1)dx28例 (ln)fxd例 320cos例 120arsinxd例 30sinx例 设 为连续函数，求()f10()2xfd3第二类换元法1）()()()()xtfdftdf
36、tdtFC 1()1)txC2） = ，其中 ，ba tF a(b3）常用的换元法有：被积函数含有根式 ，令naxbntaxb被积函数含有根式 ，令2si()2tt或 co0x被积函数含有根式 ，令2atan()t被积函数含有根式 ，令xsec2x倒代换：设 ，若 ，用倒代换有望成功()mnPfQ1指数代换：被积函数中含有 ，令xaxt例 3 2221(1)xdC29例 2 2341(0)()3xaxadC例 771lnl(2)42x例 21xed22,ln1xxteC例 273818(ln)2dx例 21214xd例 105x例 在 上连续，且 ，求()f,110()6fxd10()3xfd
37、4分部积分法1） udvu2） ()()()b baaxvxvd 3）选择 的顺序为：反、对、幂、三、指例 若 ，求10(),()2ffxd10()2xf例 设 的一个原函数为 ，求()f 2ln()()xfd31221()xxC30例 2lnsilsintacoxdxC例 设 ，求120()()1xeff01()28fxd例 327ln()4lnxd例 11si(l)(sico1)2ee例 已知 ，试求(0),()4,()2fff101(2)4xfd例 设 ，求()lnfxdC1()edxf例 42131042xee例 42(sinco)xxd5广义积分1）无穷限的广义积分： ()lim()baafxdfxdb()li()li()cbacfxfxfxd2）暇积分（无界函数的广义积分）= ()bafd0lim()li()baxafdf = xb
