全等三角形的相关模型总结.doc

1、 全等的相关模型总结1、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点 G 作 GE射线 AC（1）.例题应用：如图 1，在 中ABC， ,cm4,6,90BDCAD平 分， 那么点 D 到直线 AB的距离是 cm.如图 2，已知， 2， 43. P平 分求 证 ： .图 1 图 22 （提示：作 DEAB 交 AB 于点 E） 2， PNM， 43， PQN， BACPM平 分,.(2).模型巩固 ：练习一：如图 3，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=CD，BD 平分 .求证： 180CA图 3练习二：已知如图 4，四边形 ABCD 中， ,180BADCDB平 分求 证 ：图 4

2、练习三：如图 5， ,90CABFDABCABCRt 平 分，垂 足 为，中 ， 交 CD 于点E，交 CB 于点 F.(1)求证：CE=CF.(2)将图 5 中的ADE 沿 AB 向右平移到 ED的位置，使点 落在 BC 边上，其他条件不变，如图 6 所示，是猜想： BE于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 5 图 6练习四：如图 7， ，P 是 AB 的中点，PD 平分ADC90ADBC， 求证：CP 平分DCBA DECBP2 143图 7练习五：如图 8，ABAC，A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F求证：BE=CF

3、图 8练习六：如图 9 所示，在ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F为垂足，DEAB 于 E，并且 ABAC。求证：BEAC=AE。FEDCBA图 9练习七： 如图 10，D、E、F 分别是ABC 的三边上的点，CE=BF，且DCE 的面积与DBF 的面积相等，求证：AD 平分BAC。B CADEF2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长 ED 交射线 OB 于 F 辅助线：过点 E 作 EF射线 OB（1）.例题应用：如图 1 所示，在ABC 中，ABC=3 C ，AD 是BAC 的平分线，BEAD 于 F。求证： ()2BEAC证明：延

4、长 BE 交 AC 于点 F。 已知：如图 2，在 中ABC， ,ADBCAD且于交的 角 平 分 线 )(21.BMDCM求 证 ：的 延 长 线 于交作分析：此题很多同学可能想到延长线段 CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于 AB=AD，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点 C 作 CEAB 交 AM 的延长线于点 E.例题变形:如图， 21， 的 中 点为 AB， .,NFBAM于于 求证： ;2BMEF ).(FN(3).模型巩固 ：练习一、 如图 3，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点D，CE 垂直

5、于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。图 3练习一变形：如图 4，在ODC 中， ，09DCEOCOE的 角 平 分 线 ， 且是 ，过点 E 作 之 间 的 关 系 ， 并 证 明与猜 想 ： 线 段于 点交 FOCF图 4练习二、如图 5，已知ABC 中，CE 平分ACB，且 AECE，AEDCAE180 度，求证：DEBC图 5 练习三、如图 6，ADDC，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB ，BE 平分ABC，求证：点 E 是 DC 中点。图 6ACD EBAB CDE练习四、如图 7（a） ， AABCEBD的 外 角 平 分 线 ， 过 点分 别

6、是、 、作 BDDECEA:.求 证， 连 接、， 垂 足 分 别 是 ，)(21C.图 7（a） 图 7（b） 图 7（c） 、如图 7（b） ， 件 不 变 ；的 内 角 平 分 线 ， 其 他 条分 别 是、 ABCEBD、如图 7（c） ， 的 外 角 平 分 线 ，为的 内 角 平 分 线 ，为 ABCE其他条件不变. 则在图7（b） 、图 6（c）两种情况下，DE 与 BC 还平行吗？它与 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行) 练习五、如图 8，在直角三角形 中， ， 的平分线交 于 自 作 交ABC90ABCDCGAB

7、于 ，交 于 自 作 于 ，求证： ADEBGDFFEGA BCDEF12图 8练习六、如图 9 所示，在 中， ， 为 的中点， 是 的平分线，若ABCABMCADBC且交 的延长线于 ，求 证 CFADF12MFD CBA图 9 练习六变形一：如图 10 所示， 是 中 的外角平分线， 于 ， 是 的中ADBCACAEB点，求证 且 E 1()2EDCBA图 10练习六变形二：如图 11 所示，在 中， 平分 ， ， 于 ，求证ABCDACDMAD2ABCMMD CBA图 11 练习七、如图 12，在 中， ， 的平分线 交 与 则ABC2BACBC有 那么如图 13，已知在 中， ， ，

8、 求证：ABD312EA2ACBED CBA21ECBA图 12 图 13练习八、在 中， ， 的平分线交 于 ，过 作 ， 为垂足，求A 3BACDBEAD证： ECEDBA练习九、 是 的角平分线， 交 的延长线于 ， 交 于 ADBCBEADEFAC F求证： FD E CF BA3.角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线 OA 上取点 B，使 OB=OA，从而使 OAC OBC.（1）.例题应用：、在ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）题意分析：本题考查全

9、等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。解答过程：证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=7

10、0，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考：（1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP 从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作

11、用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如图所示，在 中， 是 的外角平分线， 是 上异于点 的任意一点，试比较ABCDBACPAD与 的大小，并说明理由PBCDPCBAEDPCBA【 ，理由如下PA如图所示，在 的延长线上截取 ，连接 ABAECPE因为 是 的外角平分 线，DC故 PE在 和 中， ， ， 公用，A因此 ，从而 在 中， ，BB而 ，AC故 P变形：在 中， ， 是 的平分线 是 上任意一点CDAPAD求证： PCDBPAECDBPA【 在 上截取 ，连结 ，根据 证得 ， ，AEASAAE

12、A又 中， ， ，PBPECP（2） 、模型巩固：练习一、.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，CD ABBD，B 的平分线交 AC 于点 E，求证：点 E 恰好在 BC 的垂直平分线上。练习二、如图，已知ABC 中，ABAC，A100，B 的平分线交 AC 于 D，求证：ADBDBC练习三、如图，已知ABC 中，BCAC，C90，A 的平分线交 BC 于 D，求证：ACCDABEADB CACBDACBD练习四、已知：在 中， 的平分线和外角 的平分线相交于 交 于ABCACM,DFBCA求证：,EABF交 于 EF练习五、在 中， 平分 ， 是 中点，连结 ，求证：ABC,2ADBACE

13、DCE2BDCE变式：已知：在 中， 平分 ，ABC,2BDAC,BQD于求证： 12D练习六、 已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,BC=DC,CF 平分BCD,DFAB,BF 的延长线交 DC 于点 E.求证：（1） BF=DF； (2) AD=DE.练习七、已知如图，在四边形 ABCD 中，AB+BC=CD+DA，ABC 的外角平分线与CDA 的外角平分线AB CDFE交于点 P.求证：APB=CPD练习八、如图，在平行四边形 ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F 分别是 AD，AB 边上的点，且 BE、DF 交于 G 点，BE=DF，求证：GC 是BGD 的平分线。

14、GA DB CEF练习九、如图，在ABC 中，ACB 为直角，CM AB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于T，过 D 作 DEAB 交 BC 于 E，求证：CT=BE.DAC BMT E练习十、如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上 ，ABCDBAEFBDACD 求证： EFACEFFACDEB【补充】如图，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，ABCDBEBCEFAD CF交 于点 ，若 ，求证： 为 的角平分线ABGFAFGE D CBA4.中考巡礼：（1）.如图 1，OP 是AOB 的平分线，请你利用图形画一对以 OP 为所在直线为

15、对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。、如图 2，在ABC 中，ACB 是直角，B=60 ，AD、CE 是BAC、BCA 的角平分线，0相交于点 F，请你判断并写出 EF 与 DF 之间的数量的关系。、如图 3，在ABC 中，ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问， （1）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。AOMNEF图 1ABCDEF图 2 ABCDEF图 3 （2）.如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0） ，C （1，0）D 为 y 轴上的一点，点 A 为第二象限内一动点，且BAC=2BDO，过点 D 作 DMAC 于 M，、

16、求证： ABD=ACD；、若点 E 在 BA 的延长线上，求证： AD 平分 CAE；、当点 A 运动时， （AC-AB）/AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。2、等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等： 操作过程： （1）.将ABD 逆时针旋转 09，使ACMABD ，从而推出ADM 为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写） （2）.过点 C 作 BM，连 AM 导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：DOxyEBCAM操作过程：连 AD.（1）. 使 BF=AE（AF=CE） ，导出BDFADE. （2）.使EDF+BAC=

17、 018，导出BDFADE. （1） 、例题应用：.解析：方法一：过点 C 作 ， 方法二：.证明：方法一：连接 AM，证明MDEMAC.特别注意证明 MDE= MAC.方法二：过点 M 作 MNEC 交 EC 于点 N，得出 MN 为直角梯形的中位线，从而导出MEC 为等腰直角三角形 . （2） 、练习巩固： 已知：如图所示，Rt ABC 中， AB=AC， 90BAC，O 为 BC 中点，若 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM. 、 是判断OMN 的形状，并证明你的结论.、 当 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动时，四边形 AMON 的面积如何变化？思路

18、：两种方法： 在正方形 ABCD 中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求 BAE= DCF 为多少度.提示如右图： 3.构造等腰直角三角形 （1） 、利用以上的 1 和 2 都可以构造等腰直角三角（略） ；（2） 、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图：图 3-1 图 3-2操作过程：在图 3-2 中，先将 ABD 以 BD 所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使 A 与 M，D 与 E 重合.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点， 3,0120CB， ，求 OCA+ OCB 的度数. 4.将等腰直角三角形补全为正方形，

19、如下图：图 4-1 图 4-2例题应用：思路：构造正方形 ACBM，可以构造出等边 APM，从而造出 ，又根据，可得 ，再由于 ，故而得到 从而得 证.例题拓展：若ABC 不是等腰直角三角形，即 ，而是 ，其他条件不变，求证：2=21.练习巩固：在平面直角坐标系中，A（0 , 3） ，点 B 的纵坐标为 2，点 C 的纵坐标为 0，当 A、 B、 C三点围成等腰直角三角形时，求点 B、 C 的坐标 .（1） 、当点 B 为直角顶点：图 1 图 2（2） 、当点 A 为直角顶点：图 3 图 4（3） 、当点 C 为直角顶点：图 5 图 63、三垂直模型（弦图模型）. . .由ABE BCD 导出

20、 由ABE BCD 导 由ABEBCD 导出ED=AE-CD 出 EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD1.例题应用：例 1.已知：如图所示，在ABC 中， AB=AC， 90BAC，D 为 AC 中点，AF BD 于 E，交BC 于 F，连接 DF.求证： ADB= CDF.思路：方法一: 过点 C 作 MCAC 交 AF 的延长线于点 M.先证ABDCAM ，再证 CDF CMF 即可.方法二：过点 A 作 AMBC 分别交 BD、BC 于 H、M.先证 ABH CAF， 再证 CDF ADH 即可.方法三：过点 A 作 AMBC 分别交 BD、BC 于 H、M.先证 RtAMF

21、RtBMH，得出HFAC. 由 M、 D 分别为线段 AC、BC 的中点，可得 MD 为ABC 的中位线从而推出 MDAB，又由于 90BAC，故而 MDAC ， MDHF ，所以 MD 为线段 HF 的中垂线. 所以1=2.再由ADB+ 1=CDF+ 2 ，则ADB =CDF .例 1 拓展（1）：已知：如图所示，在ABC 中， AB=AC，AM= CN，AFB M 于 E，交BC 于 F，连接 NF.求证： ADB= CDF. BM=AF+FN 思路：同上题的方法一和方法二一样.拓展（2）：其他条件不变，只是将 BM 和 FN 分别延长交于点 P，求证：PM=PN, PB PF+AF.思路

22、：同上题的方法一和方法二一样.例 2.如图 2-1，已知 ADBC，ABE 和CDF 是等腰直角三角形， EAB= CDF= 90，AD=2， BC=5， 求四边形 AEDF 的面积.图 2-1 解析：如图 2-2，过点 E、B 分别作 ENDA，BMDA 交 DA 延长线于点 N、M.过点 F、C 分别作 FPAD，CQAD 交 AD 及 AD 延长线于点 P、Q.FPADNSSADFEEAFD 2121四 边 形FPE21ABE 和CDF 是等腰直角三角形， EAB= CDF= 90，AE=AB， DF=CD.ENDA ，BM DA， FPAD，CQAD ， NMB= ENA= FPD=

23、DQC= 90. ENA= MBA ， FDP= QCD. ENA ABM ， FPDDQC.NE=AM， PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD . ADBC ，CQBM， BMN= 90， 四边形 BMQC 是矩形. BC=MQAD=2 ， BC=5 NE+PF=5-2=3 .321EAFDS四 边 形图 2-22.练习巩固：（1） 、如图（1）-1，直角梯形 ABCD 中，ADBC， ADC= 90， l是 AD 的垂直平分线，交 AD 于点 M，以腰 AB 为边做正方形 ABFE，EP l于点 P.求证：2EP+AD=2CD.（1）-1 （1）-2 （2） 、如图，在直角梯

24、形 ABCD 中， ABC= 90，AD BC， AB=AC，E 是 AB 的中点， CE BD.求证：BE=AD ；求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线；BCD 是等腰三角形吗？请说明理由 .4、手拉手模型1.ABE 和ACF 均为等边三角形 结论：（1）. ABFAEC（2）. BOE=BAE= 06（“八字模型证明” ）（3）.OA 平分 EOF 拓展： 条件：ABC 和CDE 均为等边三角形 结论：（1） 、AD=BE （ 2） 、 ACB= AOB （ 3） 、PCQ 为等边三角形（4） 、PQ AE （5） 、AP=BQ （6） 、CO 平分 AOE （7） 、OA=OB+OC（

25、8） 、OE=OC+OD （7） ， （8）需构造等边三角形证明）2.ABD 和 ACE 均为等腰直角三角形 结论：（1） 、BE =CD （ 2）BECD 3.ABEF 和 ACHD 均为正方形结论：（1） 、BDCF （2） 、BD=CF变形一：ABEF 和 ACHD 均为正方形，ASBC 交 FD 于 T，求证：M 为 FD 的中点. .ADFBCS方法一： 方法二： 方法三：变形二：ABEF 和 ACHD 均为正方形，T 为 FD 的中点，求证：AS BC4当以 AB、AC 为边构造正多边形时，总有： 1= 2= n3608.PFEDIHGBCA 21PGFEDKJIHACB5、双垂直+角平分线模型结论：AE=AF拓展：若 AP 平分 BAD，其他条件不变，求证：APCF 6、半角模型条件：.1802且思路：（1） 、延长其中一个补角的线段（延长 CD 到 E，使 ED=BM ， 连 AE 或延长 CB 到 F，使 FB=DN ， 连 AF ） 结论：MN=BM+DN ABCMN2 AM、 AN 分别平分 BMN 和 DNM（2） 、对称（翻折）