非标准分析简介.doc

1、非标准分析简介A.VOROS非标准分析是新兴的一数学分支,通过它能对有关分析和拓扑的概念进行富有魅力和高度浓缩地公式化表达.我们相信在不久的将来,这种新语言在物理学上会得到广泛的应用.这篇文章里将会呈现一些实例,但其主要的目的是把这个科目简要地介绍给物理学家们.因而,虽然我们忽略了技术上的严谨,但是必须假定读者知道集合论、代数和拓扑的相关的基本事实和符号.若要看更详尽的物理学应用，请看参考书3.1.非标准实数十七世纪的数学分析思想认为无限小(在绝对值上)是小于任意一个正实数的,在一个无限地缩小的等价上仍具有所有实数的性质.虽然这种直觉上的观点对创作分析是有用的,但是它后来由于柯西所描述的矛盾性

2、而被抛弃了.这个理论再一次呈现在这里,Robinson 教授的工作为这个直觉方法提供了一个一致的背景.我们以实数集 来构建一个放大的集合为开始,也即集合 即包含了实数集RR*又有称为无限小量和无限大量的数量;此外, 满足实数集 所有的代数和序关R *系（除了阿基米德性）.在这个框架下，通常的实数被称着为标准的（记为： ） ，S而在 中“平常”的数称为非标准（ ）.因此限定词“非标准”不能被理解为* NS“标准”的否定而是它的一般化.我们也称 是 的非标准扩充.我们想强调是这R*里的 与 中的以拓扑方法描述的无限大点集的各种各样紧集是丝毫无关的.R*A. 非标准实数域 的构造*我们应该以柯西有关

3、无限小量或无限大量的概念为开端，作为再一次呈现实函数极限的性质的一种方法.一个最简单的此类例子是在学习数列 当NnU时，这带来的结果是：构造 的特殊目的，除此之外没有必要的.nR*令 为所有的实数列集，通过逐项地按位相加和相乘运算使之成交换环.如果E存在，则对任意的 ，我们想有一个非标准数：以 表示 与R*nUEn)(*Rn之对应，这样的话，在某种意义上是对 的渐进描述.我们施以以下规则：n(1) 是一个交换环，映射： 是从 到 的环同构.* nER*(2) 是作为一个子环包含于 ，对数 它在 下的原象是常数列 .RR*aaUn(3)若对某个 ， ，则有 成立.0n)(0nVUnV接下来的方法

4、，被称着超滤子构造，它赋予 有形的实现：具备了额外的性R*质和 一样成为一个完备序域.R在 上选择一个自由超滤子 （见附录） ，并为 ，定义关系：NnU,E（“几乎处处” ）eaUn. nV| 0|V由测度论知（ ）是一个等价关系，且商集 是一个环.我们定义：. ae和 = 的等价类.*:.ReEnnU这仅意味着 与 一致当且仅当 .这个定义满足规则(1)至(3).VnVea更进一步， 是个域，任意 ， 都有一个逆元.*R*0证明 对某个 ， ，且 附录中的性质nUEn0|nU在这里是重要的 . 几乎处处可定义且 ，是由于D0|1na1.1ean在如下关系是有序的:R* nnVeaU.强调一下

5、：在证明完备时，性质 是至关重要的，也就是说对任意的 都是DRba*,可比较的.B. 的结构和特性R*我们只看到 是完备域，如 .此外， 是 的一个子集，且它的序域结构*RR*是 自然的限制.所有 的代数规则在 都保有，且记法是同样的.例如， “绝对* *值”也将在 上表示相同功能的函数:*，如果 ；其他情况，aa0a定义： 是标准的当且仅当 ； 是有限的当且仅当 .Ra*R* bR:由有限数集组成的集合形成一个环，记作 .否则， 是无限的当且仅当0M*.例如， ， ， ，其中 都是标准数； ；baR:nlogne, 0，都是有限数.0,是无限小当且仅当 ，有 成立.* Rbba0例如， （其

6、中 是标准的， 是整数）是无限小数中1).(logl.ognnpp一个有名的分数.由无限小数组成的集合形成一个环，记作 .1M我们有包含式： ； .RM*010是无限接近的当且仅当 ，这个关系记作： .Rba*,1baba对任意的标准数 ，我们定义 中的一个子集，称为 的单子：x* xxyRx|)(定理 每个属于 的有限数 位于一个（只有一个）标准数的单子里，0M，称为 的标准部分.映射 是一个在核 上环同态.证明请看参Rxst)(0x)(st1M考书第 56 页.的直觉结构在图-1 中展示.从 出发，在标准数的周围我们加入无限接近非标* R准数（单子）的群集.在这个方法下我们得到了所有的有限

7、数.然后，在消极和积极的一面，我们增加了无限大数.这里介绍一些 上的运算规则：R*无限小数：如果 ， ，则 ， .（ 是环 上的1,Myx0z1Myx1xz0M理想）如果 都是标准数且 ，则 和 不交，对任意 中的数都小于yx,)()(中的数.)(无限大数：(1)如果 是无限大， ，则 和 都是无限量（除非 ）.Ra)()(a0这是一个确切的表述中的著名的“规则”:“ ”， “ ”，但读者必须认识到，一般， ， ，a a是因为代数规则仍然有效.(2)如果 和 都是正无限大数，则 和 都是正无限大数.但是 可 取遍 中的任意一个数.这是一个对“ ”精确的诠释上的不确定性；当然，R* 在 中的演绎

8、中， 的值是被完全确定的（通过 和 的值） ，它的计算将不确定性加与标准的微积分上.其他规则可由读者演算出，他们总是使运算规则在 有效.C.有关 的放大R*我们可以发挥同样超滤子结构建设作为 不同情况下变的序列 .RUnNnU(1)如果 ，我们得到非标准复数域 ，它和 具有 与 一样的联系.CUnC*CR(2)如果 （ 给定且有限） ，则得到在数域 上非标准向量空间 .显pR )(*p然，它就是空间 的 次直和，即 .* ppR)(*(3)如果 （整数集合） ，则有得到非标准整数集 ，显然包含于 . 的ZUnZR*Z结构在图-2 展示.有限整数集合（ ）和标准整数集 是一致的，因为0*MZ没有

9、无限小整数存在. 中剩下的都是无限大数（正或在是负的） ；它们也被*称为叫 以利于记得，在非标准框架下，它们有有限整数所有的性质.finte*集合 是不可数的.Z图-12.在集合论下的扩张对任意在集合 ，它在公理化集合论，一个通过超滤子构造扩张集合 ，和E E*公式逻辑规则下定义，说明：(i) 许多关于集合 的真命题在 中仍然保持真，反过来也成立.E*(ii) 在 上有关极限的命题能被转化 中对应简单的非标准命题.有关 的数学的假设可由 中的元素（“个体” ）决定，也关系 的任何类型.直E E到现在我们只考虑到了个体；因为许多定理不能只靠个体为基本项来表达出来，我们将通过在 上的高阶结构的研究

10、得到深入的工作成果，它组成了 上的所有E E个体和关系.A. 上高阶结构的描述上关系是如下集合的元素： ； （个体有序对集合） ， （ 的子EE)(EP集之集） ，从 所进行的有限连续应用 和 运算所成的所有集合，例如，()P.任意的关系都属于其中的某些集合， 和 对集合的演替阶P)()( ()数定义了关系的类型.当 时的例子：序关系 是 上的二元关系,由如下集合定义：RER，它是 的一个子集；因此 被认为是 的一yxyG|),(2)(RP个元素.同样的结论对任意从 到 的函数（一个函数总是一个关系）也是成立的. 上的乘法律，被看成一个二元函数，是集合 的一个元素.集合R )(RP是 的一个元

11、素.这些例子表明当前的所有数学运算对象都是关系，)(2L)(P包括个体，子集，映射，和通常意义下的关系.集的放大：超滤子建构是同时对集合 上个体和关系的执行.EE(i) 如果 是 中个体所组成的数列，它的等价类（对关系：neE）定义为集合 的个体，记为 .a*ne(ii) 如果 是一个数列对， ，它的等价类 是),(nfe Efen),( ),(nfe关于等价关系 下定义的数列对.),(nnaf En,(iii) 如果 是关于子集的数列，其中 ，对关系 的等价nE)(Pn.nea类 ，它通过所有个体 的子集来定义，其中 ，因此有nen.当然，所有 的子集不能全部通过此途径获得.那些不能)(*P

12、nE*的称为外的，而那些可以的称为内的；在后者之中，那些常数列的等价类被称为标准的.一般地：如果 是给定类型 上关于关系的数列，则它的等价类 能通过相同类型nrEnr中的一个关系来定义.按定义，所有个体都是内的.E*例如：当 R子集：如果 是一个常数列， （或者 ） ，则 （或者 ） ；n RnZREn*Z*如果 （或 等） ，其中 ， ，是 中以 为端点的baEn,ba,ban,*ba,闭的内集（或 等）.因此， ， ， ， 等（如果 ）都是*,标准子集， 中相对于 中的集合非标准的扩张.R如果 都是非标准数，我们只能说他们是 中内的： ， 等都是内ba, R*ba,子集.子集 ， （其中

13、）都是外的.)(,10aM关系，函数：如果 是以关系值为 的常数列，或者任何函数： （nr, mRf有限） ，则 是一个标准关系，我们选择一样的符号 ， 来表示它,记,m ,作一点这是 中相对于 中的集合非标准的扩张.函数 ， ，等R* xx（其中 ）是内的.函数 是外的.)(xst主要定理：如果 是 的一个扩张，则下列是正确的：E*(1)每个在 上有意义的数学概念，对 同样有意义.E*(2)对 中的每个真的假设，在 同样是真的，如果我们限制我们的注意到 的E*高阶结构的内实体中.(3)每个对 的内实体中为真的假设且对 是有意义的，则对 是真的.E*(4)加法注释： 中所有的个体是内的； 是严

14、格大于 的当且仅当 不是一个E*有有限元素的集合.图-23.在分析学和拓扑学上的应用A数列的一致收敛数列 是从 的函数.它的非标准扩张是一个标准函数 以相NnaR*RN同的符号标记： .现在当 是无限大数时， 也被定义了.关于数列*n na的性质可以以如下方式转化为 的性质：Nn *Nn对任意的无限大数 有：anNlimn是柯西数列当且仅当对任意无限大数 有：na m,ma图-3B. 函数的局部性质令函数 ；相同的符号将表示它的非标准扩张函数： .在者，性Rf: *Rf质能被转化（看图-3）.导数：如果 是一个标准函数， 被定义成一个内函数满足两个条件：fdf，其中 且 .)(),(xfhxd

15、fR*1Mh黎曼积分：如果 是 的函数，其中 是有限内集，则 黎曼可积如果ba, ba, f对任意细分（ ） ，其中 是无限的，Ifba xxn,10 Rn*，我们得到nxjj )(1njjxfstI1)(勒贝格积分：如上的等距划分太粗糙而不能得到正确的积分值如果我们对任意可测函数应用公式时.当然，一个更加精确的点集 （对某个无限数nx,21）能被找到（但是不能明确地写出） ，所以对每个Nn* baLf,1njjbaxfstf1)(图-4C. 拓扑空间令 是一个具有拓扑的一个空间是由开集簇 定义的，再令 是 的一个扩TT*张.对任意（标准的） ， 的单子是 的子集：TxT*Vxv)(读者可以验

16、证这个定义，在 具有通常意义下的拓扑的条件下，与给定的相R一致.单子在本质上是取决于拓扑(越后来的越好，越以前的越小)且它们描述了拓扑的性质.T测度空间：如果 有距离 ，它对函数 有个非标准扩张.T),(yxdRdT*定理：对 .,x0,|)(*所以的性质在图-4仍然是有效的；总之：(i) 是一个有界空间当且仅当所有 中的点到 的距离是有限的.TT*(ii) 是一个完备空间当且仅当对任意标准柯西数列 ，存在无限数 ，nxn有 .xxn(iii)标准函数数列 的性质在图-5是转化的.nf希尔伯特空间：如果 是 上一个可分离的希尔伯特空间， 是 的主要要HCNneH素，则 是 上以 为基本要素的一

17、个希尔伯特空间.令 是 上以秩*Nne* P*为 （ 是无限大数， ）任意的内射影算子满足：: 是近标准，则 .Hx*0xP(i) 令 为 产生的字空间ne,1(ii) 在条件 ，选择 且为正使 为无限大并，对 ，)(2RLRk定义：Hf*，如果 ，)1()(dkfkPn )1(,nk否则为零.4.物理学上的应用对数学物理学假设位置或要素空间是合适的，例如，非标准空间是为了以非标准形式主义来演绎所有的估记，倘若我们最后取结果的标准部分.我们给出量子化机械琐细的自然上的例子；但是统计机械学或其他领域的例子或许也会很有趣.A. 迪拉克形式主义首先我们重申众所周知的结论：在希尔伯特空间 上给定一个自

18、伴随矩阵算H子 ，我们考虑它的光谱分解，也就是， 上唯一的集簇 的内射影满A RE)(足：(1)对任意 ，R, );,(min)(E(2) ， ，对所有的 有0)(E1)(0(E(3) ;RdA其中包括在(2)和(3)中的算子极限都是强极限.尺寸 的支撑是算子 的光谱 ，它由一个纯粹点部分 和一个绝对连续)(EAp光谱 组成.我们现在可以把 分解成：acHacpHdEdEdHacp )()()( 的一个本质性质是通过 的特征向量它是可横越的；这个结果被广泛地应用p A于量子化机械学.对 类似的描述是有用的；但是 的相应的“特征值”不能够ac A限定作为 的向量，是因为它们应该有无限的规范. 通

19、常如此的“一般特征值”H通过对嵌套的希尔伯特空间的使用来定义，但是非标准分析提高了一个选择性描述其中所以的特征值，正确的和无显著特点的是 的向量.考虑到非标准光谱的H*分解 ，对某个无限大整数 和所有的 定义射影算子：RdEA*)(Zk)21()21(EkEk子空间： 和如下公式定义算子 ：)(*ackkH A在 上， 在 .pAp*kkH因此 分解可成 的特征空间的一个直和：*； 且 的算子规范是 ，从而kpH* kpE*A021可以得到对所有的近标准数 ， .x*0)(*x在任意的标准间隔上， 的连续光谱有有限的多样性 ，此外我们能够在 的AmkH子空间 上选择秩为 的射影 ，以这样的方式

20、下算子kH mkE仍然满足 对所有的近标准数 ;同样 再现了kpEA* 0)(*xxA的原始多样性.证明留给读者完成.对这个问题的非标准对待是不可能唯一的；但是所以的方法必须给出相同数字结果以证明这些是有限的.图-5B. 规范的交换关系Garding 和 Wightman 已经总结出了如下的规范的交换关系的陈述：.对任何陈述而言，希尔伯特空间作为一个直接积分而明确.它),(, Nlkal的非标准扩张 则成为一个表现空间，因为 .H* ),(,* Nlkal对任意 有限 ，我们能通过在 上应用一些射影算子 来取消所以的振N*H* P荡器除了 . 具有在希尔伯特空间部分所提到的所有性质.此外，空间

21、a,0 P使 有限数目的自由度和一个规范的交换关系表现相结合，有关有限理)(*HP论事件将继续：这个减少了表现，原始数的近视值，是类似不可减少性表示的直和.我希望一个对非标准分析更加完美使用能有助于区分规范的交换关系的表示.致谢省略附录（滤子的概念）设 是一个非空集合， ，满足：SI)(S（i） ；I（ii）若 则 ；,IVUI（iii）若 则 .（iv） 的任意一个子集 或者 的余集是 中的元素NUI则称 是 的一个超滤子.I（iiv）作为选择公理的结论（或者说是 Zorns 引理） ，在 上存在一个自由超N滤，其中甚至还有的是无限的，但它们都与我们的实际目的等价.与测度论的关系：若 是一个

22、自由超滤，那么定义对任给的子集 ：u X如果 ，则 ；如果 ，则 ；X0uX1性质（i）-（iv）说明这是定义与 的所有子集的测度， （iiv）则说明任意有限N子集测度的为 0，而整个集合 的测度为 1.Reference*Detache du CNRS.1See P. Halmos, Naive Set Theory (Van Nostrand, Princeton, N. J.,1960).2See N. Bourbaki, To!ologie g(lIerale (Hermann. Paris, 1971),Chap 1. 2, 9.3p. Kelemen and A. Robinson

23、, J. Math. Phys. 13, 1870 (1972).4A. Robinson, Non-Standard Analysis (North-Holland, Amsterdam,1966).5 A shorter account is given by W. Luxemburg, in Lecture Notes on NSAnalysis (Caltech, Pasadena, Calif., 1966).61f we took an ultrafilter on an uncountable set, we would obtain alarger structure: Her

24、e we shall get the smallest nontrivial enlargement,which is sufficient for most purposes.7However, if a relation F is viewed as a subset, its extension istraditionally written * F.See Ref. 4, pp. 60-63.9See Ref. 4, pp. 66- 81.lOHere a bigger *N is needed; see Ref. 5.llThis means: x - y for some yETl

25、2See K. Yosida, Functional Analysis (Springer-Verlag, Berlin. 1961l),Chap. XI.13See J. E. Roberts, J. Math. Phys. 7, 1097 (1966).14See I. M. Gelfand and N. Vi1cnkin, GClleralized FlIlIctio!ls (Academic,New York, 1964), Vol. 4, Chap. 1.ISSee J. Gtimm and A. Jaffe, Less Houches Summer School Lectures(1970), (Gordon and Breach, New York) (to appear).161n Proc. Natl. Acad. Sci. USA 40, 622 (1954).17See G. Choquet, Lectures on Analysis (Benjamin, New York, 1969),Chap. I, Sec. 4.18This measure is additive, but not countably additive.