1、 2.1.1. 2 合情推理(第二课时)一、教学目标：（一）知识与能力：了解类比推理的基本方法，并能用它进行简单的推理。（二）过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，得出的结论就越可靠。（三）情感态度与价值观：1正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。2认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。三、教学难点：用类比进行推理，做出猜想。四、教学过程：（一）导
2、入新课：除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手。我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的。这个推理过程有什么特点？（二）推进新课：1、我们再看几个类似的推理实例。例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：
3、 猜想不等式的性质：(1) a=ba+c=b+c; (1) ab a+cb+c;(2) a=b ac=bc; (2) ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 (3) aba 2b 2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积圆心与弦(不是直径) 的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相
4、等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心2、类比推理的定义：由两个（两类）对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 3、类比推理的特点：类比推理是由特殊到特殊的推理4、类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想。观察、比较 联
5、想、类推 猜想新结论在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现 5、例 3（课本例 2）类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可以从上述 4 个方面来类比这两种运算解：(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数 (2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即a + b = b + a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)(3)从逆运算的角度考虑
6、，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程a + x=0 ax=1 (a0 ) 都有唯一解x=-a x= 1a(4)在加法中，任意实数与 0 相加都不改变大小；乘法中的 1 与加法中的0 类似，即任意实数与 1 的积都等于原来的数，即 a + 0= a a1= a 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象例如，在立体几何中，为了研究四面体的性质，我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象，通过类比这个对象的性质，获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路6、探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？ 可以从不同角度出发确定类比对象，如围成四面体的几何元
7、素的数目、位置关系、度量等从构成几何体的元素数目看，可以把三角形作为四面体的类比对象例 4（课本例 3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有 3 个面两两垂直的个面是四面体，作为直角三角形的类比对象直角三角形 3 个面两两垂直的四面体C903 个边的长度 a，b，c 2 条直角边 a，b 和 1 条斜边 cPDFPDE EDF90 4 个面的面积 S1，S 2，S 3 和 S 3 个“ 直角面” S1，S 2，S 3 和 1 个“ 斜面” S解：如图所示，在 RtABC 中，由勾股定理，得. 22c于是，类比直角
8、三角形的勾股定理，在四面体 P - DEF 我们猜想.2213SS7、合情推理的定义：以上的推理过程概括为：可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理（plausible reasoning ） 。在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向下面再来看一个例子例 5（课本例 4）如图 2 .1-2 所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上1每次只能移动 1 个金属片；
9、2较大的金属片不能放在较小的金属片上面试推测：把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针，最少需要移动多少次？分析：我们从移动 1, 2, 3, 4 个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动 n 个金属片所需的次数解：当 n=1 时，只需把金属片从 1 号针移到 3 号针，用符号（ 13 )表示，共移动了 1 次当 n=2 时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用 2 号针作为“中间针” ，移动的顺序是：(1)把第 1 个金属片从 1 号针移到 2 号针；(2)把第 2 个金属片从 1 号针移到 3 号针； (3)把第 1 个金属片从 2 号针移到 3 号针用符号表
10、示为：(12) (13 ) (23 ) . 共移动了 3 次当 n=3 时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为 n=2 的情形，移动顺序是：(1)把上面两个金属片从 1 号针移到 2 号针；(2)把第 3 个金属片从 1 号针移到 3 号针；(3)把上面两个金属片从 2 号针移到 3 号针其中（1）和（3）都需要借助中间针用符号表示为：( 13 ) (12 ) ( 32 ) ; ( 13 ) ; ( 21 ) ( 23 ) ( 13 ) . 共移动了 7 次当 n=4 时，把上面 3 个金属片作为一个整体，移动的顺序是：(1)把上面 3 个金属片从 1 号针移到 2 号针；(2)把第 4
11、个金属片从 1 号针移到 3 号针；(3)把上面 3 个金属片从 2 号针移到 3 号针用符号表示为： ( 12 ) ( 13 ) (23 ) (12 ) (31) (32 ) (12 ) ; (13 ) ; ( 23 ) (21 ) (31 ) (23 ) ( 12 ) (13 ) (23 ) . 共移动了 15 次至此，我们得到依次移动 1, 2, 3, 4 个金属片所需次数构成的数列：1, 3, 7,15. 观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律： 1 = 21- 1 , 3 = 22 - 1, 7 = 23 -1, 15 = 24 -1. 由此我们猜想：若把 n 个金属片从 1 号针
12、移到 3 号针，最少需要移动 次，na则数列 的通项公式为 na*21()naN通过探究上述 n=1,2,3,4 时的移动方法，我们可以归纳出对 n 个金属片都适用的移动方法当移动 n 个金属片时，可分为下列 3 个步骤：(1)将上面（n-1）个金属片从 1 号针移到 2 号针；(2)将第 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针； (3)将上面（n -1）个金属片从 2 号针移到 3 号针这样就把移动 n 个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第 n 个金属片的任务而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1 ）个金属片，移动（n-2 ）个金属
13、片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片 如此继续，直到转化为移动 1 个金属片的情形根据这个过程，可得递推公式 1*1,2(,1).naNn从这个递推公式出发，可以证明通项公式是正确的注：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 例如，法国数学家费马观察到= 5, 12= 17 ,= 257 ,3=65 53742都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如 . ( ) 的数都是21n*N质数这就是著名的费马猜想半个世纪之后，善于计算的欧拉（ Euler ）发现，第 5 个费马数= 4 294 967 297 = 6416 700 417 521F不是质数，从而推翻了费马的猜想（三）课堂练习：课本 P78 页 3（四）课堂小结：1、类比推理是由特殊到特殊的推理 ；2、类比推理的一般步骤：（五）布置作业：高考试题库
