1、1学案 51 椭 圆导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质自主梳理1椭圆的概念在平面内与两个定点 F1、 F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做_这两定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫_集合 P M|MF1| MF2|2 a，| F1F2|2 c，其中 a0， c0，且 a， c 为常数：(1)若_，则集合 P 为椭圆；(2)若_，则集合 P 为线段；(3)若_，则集合 P 为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(ab0) 1y2a2 x2b2(
2、ab0)图形范围 a x a b y b b x b a y a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1( a,0)， A2(a,0)B1(0， b)，B2(0， b)A1(0， a)，A2(0， a)B1( b,0)， B2(b,0)轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b焦距 |F1F2|2 c离心率 e (0,1)ca性质a， b， c的关系 c2 a2 b2自我检测1已知 ABC 的顶点 B、 C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的x23另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是( )A2 B6 C4 D123 32(2011揭阳调研
3、)“ mn0”是方程“ mx2 ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知椭圆 x2sin y2cos 1 (0 b0)的长、短轴端点分别为 A、 B，从此椭圆上一x2a2 y2b2点 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1， AB OM.(1)求椭圆的离心率 e；(2)设 Q 是椭圆上任意一点， F1、 F2分别是左、右焦点，求 F1QF2的取值范围方程思想的应用例 (12 分)(2011北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ，且经过点 M(1， )，
4、过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B.12 32(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在直线 l，满足 2？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请PA PB PM 说明理由【答题模板】4解 (1)设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由题意得Error!解得 a24， b23.故椭圆 C 的方程为 1.4 分x24 y23(2)若存在直线 l 满足条件，由题意可设直线 l 的方程为 y k(x2)1，由Error!得(34 k2)x28 k(2k1) x16 k216 k80.6 分因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B，设
5、A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，所以 8 k(2k1) 24(34 k2)(16k216 k8)0.整理得 32(6k3)0，解得 k .7 分12又 x1 x2 ， x1x2 ，8k 2k 13 4k2 16k2 16k 83 4k2且 2，PA PB PM 即( x12)( x22)( y11)( y21) ，54所以( x12)( x22)(1 k2) ，54即 x1x22( x1 x2)4(1 k2) .9 分54所以 2 4(1 k2) ，16k2 16k 83 4k2 8k 2k 13 4k2 4 4k23 4k2 54解得 k .11 分12所以
6、 k .于是存在直线 l 满足条件，12其方程为 y x.12 分12【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视1求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法
7、(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 1 x2m y2n(m0， n0 且 m n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 Ax2 By21 (A0， B0 且 A B)，这种形式在解题中更简便2椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变3直线与椭圆的位置关系问题它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题
8、时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决5(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2011温州模拟)若 ABC 的两个顶点坐标分别为 A(4,0)、 B(4,0)， ABC 的周长为 18，则顶点 C 的轨迹方程为( )A. 1 ( y0) B. 1 ( y0)x225 y29 y225 x29C. 1 ( y0) D. 1 ( y0)x216 y29 y216 x292已知椭圆 1，长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于( )x210 m y2m 2A4 B5 C7 D83已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的
9、直线交椭圆于 A、 B 两点，若 ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A. B. C. 1 D.32 22 2 24(2011天门期末)已知圆( x2) 2 y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点， N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线5椭圆 1 上一点 M 到焦点 F1的距离为 2， N 是 MF1的中点，则| ON|等于( )x225 y29A2 B4 C8 D.32二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点到 G
10、 的两32个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为_7(2011唐山调研)椭圆 1 的焦点为 F1、 F2，点 P 在椭圆上若| PF1|4，x29 y22则| PF2|_； F1PF2的大小为_8.如图，已知点 P 是以 F1、 F2为焦点的椭圆 1 (ab0)上一点，若x2a2 y2b2PF1 PF2，tan PF1F2 ，则此椭圆的离心率是_12三、解答题(共 38 分)9(12 分)已知方向向量为 v(1， )的直线 l 过点(0，2 )和椭圆3 3C： 1( ab0)的右焦点，且椭圆的离心率为 .x2a2 y2b2 63(1)求椭圆 C 的方程；6(2)若已知点 D(3,0)，
11、点 M， N 是椭圆 C 上不重合的两点，且 ，求实数 的DM DN 取值范围10(12 分)(2011烟台模拟)椭圆 ax2 by21 与直线 x y10 相交于 A， B 两点，C 是 AB 的中点，若| AB|2 ， OC 的斜率为 ，求椭圆的方程22211(14 分)(2010福建)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆 C 的方程(2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由学案 51 椭 圆自主梳理1椭圆 焦
12、点 焦距 (1)ac (2)ac (3)a|AB|4.点 M 的轨迹是以点 B(2,0)、A(2,0)为焦点、线段 AB 中点(0,0)为中心的椭圆a3，c2，b .5所求轨迹方程为 1.x29 y25例 2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定 a，b 的大小)当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为 1 (ab0)或 1 (ab0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方x2a2 y2b2 y2a2 x2b2程为 mx2ny 21 (m0，n0，且 mn)解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为 1 (ab0)x2a2 y2b
13、2椭圆过点 A(3,0)， 1，9a2a3，又 2a32b，b1，方程为 y 21.x29若椭圆的焦点在 y 轴上，设方程为 1 (ab0)y2a2 x2b2椭圆过点 A(3,0)， 1，9b28b3，又 2a32b，a9，方程为 1.y281 x29综上可知椭圆的方程为 y 21 或 1.x29 y281 x29(2)设经过两点 A(0,2)，B 的椭圆标准方程为 mx2ny 21，将 A，B 坐标代入(12， 3)方程得Error! Error!，所求椭圆方程为 x2 1.y24变式迁移 2 解 (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，a3， ，c ，从而ca 63 6b2a 2c 2963，椭
14、圆的标准方程为 1.x29 y23当椭圆的焦点在 y 轴上时，b3， ， ，a 227.ca 63 a2 b2a 63椭圆的标准方程为 1.x29 y227所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x29 y23 x29 y227(2)设椭圆方程为 mx2ny 21 (m0，n0 且 mn)椭圆经过 P1、P 2点，P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则Error!两式联立，解得Error!所求椭圆方程为 1.x29 y23例 3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|PF 2|2a，得到a、c 的关系(2
15、)对F 1PF2的处理方法Error!Error!(1)解 设椭圆方程为 1 (ab0)，x2a2 y2b2|PF1|m，|PF 2|n.在PF 1F2中，由余弦定理可知，4c2m 2n 22mn cos 60.mn2a，m 2n 2(mn) 22mn4a 22mn.4c 24a 23mn，即 3mn4a 24c 2.又 mn 2a 2(当且仅当 mn 时取等号)，(m n2 )4a 24c 23a 2. ，即 e .c2a2 14 12e 的取值范围是 .12， 1)(2)证明 由(1)知 mn b2，S PF1F2 mnsin 60 b2，43 12 33即PF 1F2的面积只与短轴长有关
16、变式迁移 3 解 (1)F 1(c,0)，则 xMc，y M ，b2a9k OM .k AB ，OMAB，b2ac ba ，bc，故 e .b2ac ba ca 22(2)设|F 1Q|r 1，|F 2Q|r 2，F 1QF2，r 1r 22a，|F 1F2|2c，cos r21 r2 4c22r1r2 r1 r2 2 2r1r2 4c22r1r2 1 10，a2r1r2 a2 r1 r22 2当且仅当 r1r 2时， cos 0，0， 2课后练习区1 A 2. D 3. C 4. B 5. B6. 1 7.2 120 8.x236 y29 539解 (1)直线 l 的方向向量为 v(1， )
17、，3直线 l 的斜率为 k .3又直线 l 过点(0，2 )，3直线 l 的方程为 y2 x.3 3 ab，椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点 c2.又 e ， a . b2 a2 c22.ca 63 6椭圆方程为 1.(6 分)x26 y22(2)若直线 MN y 轴，则 M、 N 是椭圆的左、右顶点， 或 ，即 52 或 52 .3 63 6 3 63 6 6 6若 MN 与 y 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 x my3( m0)由Error!得( m23)y26 my30.设 M、 N 坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则 y1 y2 ，6mm2 3y1y2 ，3
18、m2 3 36 m212( m23)24 m2360， m2 .32 ( x13， y1)， ( x23， y2)， ，显然 0，且 1，DM DN DM DN ( x13， y1) (x23， y2) y1 y 2.代入，得 210 .1 12m2m2 3 36m2 3 m2 ，得 2b0)，且可知其左焦x2a2 y2b2点为 F(2,0)从而有Error!解得Error! 又 a2 b2 c2，所以 b212，故椭圆 C 的方程为 1.(5 分)x216 y212(2)假设存在符合题意的直线 l，设其方程为 y x t.32由Error! 得 3x23 tx t2120.(7 分)因为直线 l 与椭圆 C 有公共点，所以 (3 t)243( t212)0，解得4 t4 .(9 分)3 3另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d4，得 4，解得 t2 .(12 分)|t|94 1 13由于2 4 ，4 ，所以符合题意的直线 l 不存在(14 分)13 3 3方法二 (1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b211且有Error! 解得 b212 或 b23(舍去)从而 a216.(3 分)所以椭圆 C 的方程为 1.(5 分)x216 y212(2)同方法一
