1、2017 年下学期期末考试试卷高三数学（理科）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）2|0Ax|0BxABA B(0,) (,2)(,)C D202.已知复数 满足： ，且 的实部为 2，则 （ ）z32iz1zA3 B C D41033.若角 的终边经过点 ，则 （ ）(,)sin()4A B C D 1010103104.设命题 ： 的展开式共有 4 项；1p42()x命题 ： 展开式的常数项为 24；2命题 ： 的展开式中各项的二项式系数之和为 16.34()x那么，下列命题
2、中为真命题的是（ ）A B2p12pC D33()5.设点 是双曲线 上一点， ， ， ， ，则P213xy(0,2)A,8PAB4PA（ ）BA2 B C3 D2726.执行下边的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）9xnA1 B2 C3 D47.已知函数 的部分图象如图所示，()cos)fx(04,)，则下列判断正确的是（ ）(0)sfA函数 的最小正周期为 4()fxB函数 的图象关于直线 对称61xC函数 的图象关于点 对称()fx(,0)4D函数 的图象向左平移 2 个单位得到一个偶函数的图象8.若关于 的不等式 的解集包含区间 ，则 的取值范围为（ ）x1xxa(0,1)aA B
3、 C D7(,2(,72(,1)9.某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A54 B45 C27 D8110.已知 ， 是两个单位向量，则 的最大值为（ ）ab2abA B C D25674211.在四面体 中， 底面 ， ， ， 为棱 的中CDA10ABBCEB点，点 在 上且满足 ，若四面体 的外接球的表面积为 ，则GE2GE 9（ ）tanAA B C D2122212.过圆 ： 的圆心 的直线与抛物线 ： 相交于 ， 两点，P21()4xyP3yxAB且 ，则点 到圆 上任意一点的距离的最大值为（ ）3BAA B2 C D16 13673第卷二、填空题：本
4、大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为 xy320619xy2zxy14.设某批电子手表的正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一33个电子手表，假设每次检测相互独立，则第 3 次首次测到次品的概率为 15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式” ，设三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，面积为 ，则“三斜求积”公式为ABCBCabcS.若 ， ，则用“三斜求S221()4acb2sin4iaCA22()1acb积”公式求得 的面积为 ABC16.若函数
5、恰有 2 个零点，则 的取值范围为 321,0()xfaa三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.设 为数列 的前 项和，且 .nSna2()nna20na（1）若 ，判断数列 的单调性；0nnS（2）若 ，求数列 的前 项和 .na1()nanT18.某家电公司根据销售区域将销售员分成 ， 两组. 年年初，公司根据销售员的销AB2017售业绩分发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间 ， ，9,5),10)， 内对应的年终奖分别为
6、2 万元，2.5 万元，3 万元，3.5 万元.已知销10,5),10售员的年销售额都在区间 内，将这些数据分成 4 组： ， ，9, ,),)， ，得到如下两个频率分布直方图：,),以上面数据的频率作为概率，分别从 组与 组的销售员中随机选取 1 位，记 ， 分别ABXY表示 组与 组被选取的销售员获得的年终奖.AB（1）求 的分布列及数学期望；X（2）试问 组与 组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？AB19.如图，在正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点， 为棱1CDAFG1CAE上一点， 且 平面 .13M/1BE（1）证明： 为 中点；EAB（2）求平面 与平面 所成锐二面
7、角的余弦值.1F1CD20.在平面直角坐标系 中，设动点 到坐标原点的距离到 轴的距离分别为 ， ，xOyMx1d2且 ，记动点 的轨迹为 .2134d（1）求 的方程；（2）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当 的面积最大时，求 .(0,2)lABAOAB21.设函数 .lnfxa()R（1）设函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为)(1fgb()ygx1,()，求 ， 的值；430xy（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.()1xeaf2()aa（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面
8、直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点xOyC2(1cos)inxy为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标轴，已知直线 的极坐标方程为 ，l0，且 .0(,)207tan3（1）求圆 的极坐标方程；C（2）设 为直线 与圆 在第一象限的交点，求 .Ml OM23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()12fx（1）求不等式 的解集；4x（2）若 对 恒成立，求 的取值范围 .()fxm5(,)2m2017 年下学期期末考试试卷高三数学参考答案（理科）一、选择题1-5: DBCCC 6-10: BCBBA 11、12：DC二、填空题13. -3 14. 15. 16. 42
9、73(2,1(0,3三、解答题17.解：（1） ， ，2()nna20na()nna ， .0n .12S于是 ，故数列 单调递增.na12nnSa（2） ， ，0nna ，1()(1)n()1 .T23n()1n18.解：（1） 组销售员的销售额在 ， ， ， 的频率A90,5,0,15)0,1分别为：0.2，0.3，0.2，0.3，则 的分布列为：X（元） 20000 25000 30000 35000P0.2 0.3 0.2 0.3故 （元）.()20.E250.30.2350.280（2） 组销售员的销售额在 ， ， ， 的频率分别为：B9,),1),)1,0.1，0.35，0.35，
10、0.2，则 的分布列为：Y（元）X20000 25000 30000 35000P0.1 0.35 0.35 0.2故 （元）.()20.1EY50.30.350.2850 ，X 组销售员获得的年终奖的平均值更高.B19.解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，1ABNA因为 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，3MG1/GMAN因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，/G1EFG1B11EFB所以 ，即 ，B1/AN又 ，所以四边形 为平行四边形，则 ，所以 为 的中点.1/B1ANA（2）解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .DDxyz不妨令正方体的棱长为 2，则 ， ，
11、 ， ，可得 ，1(,)B(,10)E(,1)F(2,0)A1(0,2)BE，2F设 是平面 的法向量，(,)mxyz1B则 .令 ，得 .102EF2z(1,42)m易得平面 的一个法向量为 ，1ACD1,0nDA所以 .cosmn24故所求锐二面角的余弦值为 .4220.解：（1）设 ，则 ， ，(,)Mxy21dxy2d则 ，故 的方程为 （或 ）.22134d1424xy（2）依题意当 轴不合题意，故设直线 ： ，设 ， ，lxlyk1(,)A2(,)Bxy将 代入 ，得 ，yk214y2(4)16x20当 ，即 时， ， ，216(3)023k122k124xk从而 ，2ABk211
12、()4xx243k从点 到直线 的距离 ，O2dk所以 的面积 ，AB1SAB243设 ，则 ， ，243kt02t1t当且仅当 ，即 （满足 ）时等号成立，t274k0所以当 的面积最大时， ， .AOB2AB22413k121.解：（1） ，则 ，()gx21)(ln)axax()1)4ag又 ， 解得 ， .(1)2agb142a32b（2） ，()ln(1)fxx()a当 时， 恒成立，0lea当 时，设 ， ，1()1x()0xe()所以 在 上递增，且 ，故 ，所以 .()x0,01xxe设 ，同理可得 ，则 .()ln(1)hln()xxln(1)l()ax当 时，设 ， ，a()l)tx12()1()tx20()x()所以 在 上递增，且 ，故 ，()tx0,(0tln所以当 时， ，)ln)1ax，取 ，则 ， ，1xae(1xae0l0(,)x001xae所以 ，故当 时不符合题意.00ln()xx1综上可知， 的取值范围为 .a(,22.解：（1）由 ，消去 得 ，21cos)inxy2()4xy ， ，24x2即 ，故圆 的极坐标方程为 .cosC4cos（2） ，且 ， .0(,)207tan303
