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2018年湖南省邵阳市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版).doc

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1、2018 届湖南省邵阳市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)第卷一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得 ,所以 ,故选 D.2. 已知复数满足: ,且的实部为 2,则 ( )A. 3 B. C. D. 4【答案】B【解析】 ,即 ,故.故选 B.3. 若角 的终边经过点 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得 ,所以 ,故选 C.4. 设命题 : 的展开式共有 4 项;命题 : 展开式的常数项为 24;命题

2、: 的展开式中各项的二项式系数之和为 16.那么,下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于命题 , 的展开式共有 5 项,所以命题 是假命题; 对于命题 , 展开式的通项为 ,当 时, 此时展开式的常数项为 所以命题 是真命题;对于命题 , 的展开式中各项的二项式系数之和为 ,故命题 是真命题. 故 是真命题,故选 C.5. 设点 是双曲线 上一点, , , , ,则 ( )A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C【解析】由于 ,所以 ,故 ,由于 ,解得 ,故选 C.6. 执行下边的程序框图,若输入的 ,则输出的 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D.

3、4【答案】B【解析】 ,判断是, ,判断是, ,判断否,输出 ,故选 B.7. 已知函数 的部分图象如图所示, ,则下列判断正确的是( )A. 函数 的最小正周期为 4B. 函数 的图象关于直线 对称C. 函数 的图象关于点 对称D. 函数 的图象向左平移 2 个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】 ,故 ,由图象可知 .故由于 故最小正周期不为 ,排除 A 选项.将 代入验证可知 B 选项错误.将点代入验证可知 C 选项正确.故选 C.8. 若关于 的不等式 的解集包含区间 ,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得 在(0,1)上恒成立,设 ,所以 ,由于

4、函数 是增函数,所以 ,故选 B.9. 某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. 54 B. 45 C. 27 D. 81【答案】B【解析】画出直观图如下图所示,由图可知,几何体为三棱柱和四棱锥组合而成,故体积为,故选 B.【点睛】本小题主要考查三视图,考查由三视图还原为原图并求原图的体积. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应,识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征,包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐,高平直,宽相等”. 10. 已知, 是两个单位向量,则 的最大值为( )A. B. C.

5、 D. 【答案】A【解析】设则 ,所以 当且仅当 时,取到最大值 5.,所以 的最大值为 , 故选 A.点睛:本题的难点在于解题思路的找寻,对于这个最值,一般利用函数的思想,先建立 的三角函数,进而研究函数 的最值.11. 在四面体 中, 底面 , , , 为棱 的中点,点 在 上且满足,若四面体 的外接球的表面积为 ,则 ( )A. B. C. D. 2【答案】D【解析】设ABC 的外心为 O,则点 O 在 AE 上,设 OE=r,则 .设四面体 ABCD 的外接球半径为 R,则 .因为所以 . 故选 D.点睛:本题的难点在于作出辅助线,根据球的截面的性质建立关于 AD 的方程.12. 过圆

6、 : 的圆心 的直线与抛物线 : 相交于 , 两点,且 ,则点 到圆上任意一点的距离的最大值为( )A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】由题意可知: ,设 ,不妨设点 A 位于第一象限,如图所示,则: ,据此可得方程组:,解方程可得: ,则 ,故点 到圆 上任意一点的距离的最大值为 .本题选择 C 选项.点睛:直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到方程的思想,解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算第卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 设 , 满足约束条件 ,则 的最小

7、值为_【答案】-3【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最小值为 .【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组线性规划的知识. 画二元一次不等式 或表示的平面区域的基本步骤:画出直线 (有等号画实线,无等号画虚线) ;当 时,取原点作为特殊点,判断原点所在的平面区域;当 时,另取一特殊点判断;确定要画不等式所表示的平面区域.14. 设某批电子手表的正品率为 ,次品率为 ,现对该批电子手表进行检测,每次抽取一个电子手表,假设每次检测相互独立,则第 3 次首次测到次品的概率为_【答案】【解析】第 3 次首次测到次品,所以第 1 次和第 2 次测到的都是正品,第 3 次测到的是次品

8、,所以第 3 次首次测到次品的概率为 ,故填 .15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式” ,设 三个内角 、 所对的边分别为、 、 ,面积为 ,则“三斜求积”公式为 .若 ,则用“三斜求积 ”公式求得 的面积为_【答案】【解析】由正弦定理得,由 得 ,则由 得 ,则.16. 若函数 恰有 2 个零点,则的取值范围为_【答案】【解析】原问题等价于函数 与函数 恰有 个零点,当 时, ,则函数在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,且:;当 时,分类讨论:若 ,则 ,若 ,则 ,据此绘制函数图像如图所示,结合函数图像观察可得的取值范围为 .点睛:(1)问题中参数

9、值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全面的考虑;(2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17. 设 为数列 的前 项和,且 .(1)若 ,判断数列 的单调性;(2)若 ,求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1)由条件得 ,得 ,进而得 ,可得数列单增;(2)由 ,可以利用裂项相消法求和.试题解析:(1) , , , . .

10、于是 ,故数列 单调递增.(2) , , , .18. 某家电公司根据销售区域将销售员分成 , 两组. 年年初,公司根据销售员的销售业绩分发年终奖,销售员的销售额(单位:十万元)在区间 , , , 内对应的年终奖分别为 2 万元,2.5 万元,3 万元,3.5 万元.已知销售员的年销售额都在区间 内,将这些数据分成 4 组:, , , ,得到如下两个频率分布直方图:以上面数据的频率作为概率,分别从 组与 组的销售员中随机选取 1 位,记 , 分别表示 组与 组被选取的销售员获得的年终奖.(1)求 的分布列及数学期望;(2)试问 组与 组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高?为什么?【答案】(1

11、)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析:(1) 组销售员的销售额在 , , , 的频率分别为:, , , ,由此可得 的分布列及(2) 组销售员的销售额在 , , , 的频率分别为:, , , ,由此可得 的分布列及 ,比较可得 组销售员获得的年终奖的平均值更高.试题解析:(1) 组销售员的销售额在 , , , 的频率分别为:, , , ,则 的分布列为:(元)故 (元).(2) 组销售员的销售额在 , , , 的频率分别为:, , , ,则 的分布列为:(元)故 (元).,组销售员获得的年终奖的平均值更高.19. 如图,在正方体 中, , 分别是棱 , 的中点, 为棱 上一点,且 平面 .(1)证明: 为 中点;

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