1、 人教 A 版高中数学选修 2-2 教学设计Tonghua NO.1 Middle School 第二章第 2 节第 2 课时 反证法1选修 2-2 反证法教学设计一、教材内容分析:本课是人教 A版数学选修 22第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。证明一般包括直接证明与间接证明。 “直接证明”的两种基本方法是综合法
2、和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。二、学生学习情况分析：本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但由于学生对数的了解不多，研究不够，所以例 1有困难。例 2是对空间几何中线面平行的判定定理
3、的证明，由于学生对立体几何知识遗忘太多，所以解决这个问题还是困难重重。三、设计思想本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。四、教学目标知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。过程与方法：
4、了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。情感、态度、价值观：（1）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活人教 A 版高中数学选修 2-2 教学设计Tonghua NO.1 Middle School 第二章第 2 节第 2 课时 反证法2中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。（2）通过直观感知观察操作确认的认识方法理并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想
5、象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。五、教学重点与难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。六、学法指导通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”
6、和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非 A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.
7、在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.【教学过程】一、学前准备1、复习回顾上节课我们学习了用 ， 直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的反证法。2、情景创设：A、B、C 三个人，A 说 B撒谎，B 说 C撒谎，C 说 A、B 都撒谎.则 C必定是在撒谎，为什么？人教 A 版高中数学选修 2-2 教学
8、设计Tonghua NO.1 Middle School 第二章第 2 节第 2 课时 反证法3【设计意图】：通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。二、自学、合作探究（一）通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误 ,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。（2）步骤反证法证题的基本步骤：1假设原命题的结论不成立；（假设）2
9、从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）三、例题讲解例 1、 写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于 90.(2)ABC 中,最多有一个钝角(3) 中至少有一个是正数cba例 2、 已知直线 a,b 和平面 ，如果 ,求证：,/aba且 /a【设计意图】：本例是位于必修 2 第 55 页线面平行的判定定理的证明，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例 3、 求证： 是无理数2【设计意图】
10、：本例是一个典型的使用反证法证明的问题，本例的难点是学生对无理数的了解很少，有理数的性质也接触得很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法得出矛盾的方向也很不明确，教学中要逐步引导到位例 4、已知 。求证： 中至少有一个小于 2.,02xyy且 1,xy人教 A 版高中数学选修 2-2 教学设计Tonghua NO.1 Middle School 第二章第 2 节第 2 课时 反证法4【设计意图】：结论中含“至少” ，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法.证明：假设 与 都不小于 2yx1则 且2x且yx1所以 即 与 矛盾xy2
11、2yyx所以假设错误所以 和 至少有一个成立.1yx四、巩固训练：1. 求证： 不可能成等差数列5,32【设计意图】：结论中含否定词语，故考虑采用反证法.)【设计意图】：本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，反正更简单。五、自学、合作探究（二）根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见四类问题.和应用反证法的关键。【设计意图】：侧重学生的“思” “探” “究”的自主学习，由旧知识自主探究新知识六、课堂小结由学生总结本节课的收获【设计意图】：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。七、小
12、试牛刀1否定下列命题的结论：（1） 在ABC 中如果 AB=AC，那么B=C。 。（C、D 组完成）（2） 如果点 P在O 外，则 dr（d 为 P到 O的距离，r 为半径） （C、D 组完成）.2,. BcbaABC证的 倒 数 成 等 差 数 列 ， 求的 三 边人教 A 版高中数学选修 2-2 教学设计Tonghua NO.1 Middle School 第二章第 2 节第 2 课时 反证法5（3） 在ABC 中，至少有两个角是锐角。 （A、B组完成）（4） 在ABC 中，至多有只有一个直角。 （A、B 组完成）2选择题：证明“在ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）A三
13、角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D 。三角形中三个角都是直角或钝角3用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60”应先假设这个三角形中（ ）A有一个内角小于 60 B每一个内角都小于 60C有一个内角大于 60 D每一个内角都大于 60八、作业课本 91 页 A 组 1（存在唯一性问题） 、4 九、教学反思：1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在反证法的思想上，努力挖掘教学中蕴涵的思维价值，培养学生的逆向思维能力。改变了传统的解决问题模式2、 “用教材教，而不是教教材” ，针对学生特点，将教材的例题和习题重组，尽量满足不同思维层次学生的需求。3、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。作者：通化市第一中学校 林永芳
