1、1四队中学教案纸 备课时间教学课题教时计划 1教学课时 1教学目标1了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力2了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤3抽象思维和概括能力进一步得到提高重点难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数 n（n 取无限多个值）有关的数学命题。难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。教学过程（一） 、复习回顾一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进
2、行：（1） （归纳奠基）证明当 n 取第一个值 时命题成立;*0()nN（2） （归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时*(,k1nk命题也成立 。-数学归纳法（二） 、例题剖析：例 1用数学归纳法证明： 能被 9 整除.)(17)3(Nn证明：（1）当 n=1 时， （3+1）71=27 能被 9 整除，命题成立（2）假设当 n=k 时命题成立，即 能被 9 整除)(17)3(nkk那么，当 n=k+1 时， 17)(3kk 1137(3)7()6()1782kkkk 由归纳假设 能被 9 整除)(1)3(Nnk及 是 9 的倍数k所以 能被 9 整除k7)28(7)1( 即 n=k+1 时
3、，命题成立2由（1） （2）知命题对任意的 均成立Nn例 2若 n 为大于 1 的自然数，用数学归纳法证明： 241321nn证明：(1)当 n=2 时， 241372(2)假设当 n=k 时成立，即 2413kk1,12321341422.2()kkk则 当 时 不 等 式 也 成 立由(1)、 (2)知原不等式对一切大于 2 的自然数都成立。例 3 已知 ( ) 求证：na231()n *N1na证明：(1)当 n=1 时， a1= 1，不等式成立.（2）假设 n=k(k1)时，不等式成立，即 ak= 1k)(321亦即 1+22+33+kk( k+1)k当 n=k+1 时ak+1= 11
4、1)2()()1 kkk= =( )k1. n=k+1 时，不等式也成立.1)2(k2由（1） 、 （2）知,对一切 nN *，不等式都成立.例 4 用数学归纳法证明等式对所有 nN*均成立111322nn 证明：i)当 n=1 时，左式= ，右式= ， 左式=右式，等式成立ii)假设当 n=k(kN)时等式成立，即 ，kkk211214312 则当 n=k+1 时，3)1(2)1(3)1(2)(1)( 2432)1(1212)( 1124132 21 kkkkk kkk kk 即 n=k+1 时，等式也成立，由 i) ii)可知，等式对 nN 均成立小结：在利用归纳假设论证 n=k+1 等式
5、成立时，注意分析 n=k 与 n=k+1 的两个等式的差别n=k+1 时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为 因此在证明中，右式中的 应与- 合并，才能得到所1k21k2k证式因而，在论证之前，把 n=k+1 时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的由例 1 可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与 n 的关系；二是 f(k)与 f(k+1)的关系（三） 、巩固深化，反馈矫正 （教材第 95 页练习 1、2）（四） 、归纳整理，整体认识1用数学归纳法证明，要完成两面个步骤，这两个步骤是缺一不可的，但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从 n=k 到 n=k+1 的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变。2数学归纳法常处理的几类问题证明有关整除问题证明不等式证明数列有关问题。3运用数学归纳法时易犯的错误：对项数估算错误，特别是寻找 n = k 与 n = k+1 的关系时，项数发生什么变化被弄错。没有利用归纳假设。关键步骤含糊不清， “假设 n=k 时结论成立，利用此假设证明 n=k+1 时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性，规范性。课外作业教学反思4
