1、127.2.1 三角形相似第 3 课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似一、学习目标：1理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；2会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题.二、学习重难点：运 用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题探究案三、教学过程课堂导入相似三角形的判定：课堂探究知识点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似问题 利用刻度尺和量角器画ABC 与A 1B1C1，使A=A 1， 和 都等于给定的ABA1B1 ACA1C1值 k，量出它
2、们的第三组对应边 BC 和 B1C1的长，它们的比等于 k 吗？另外两组对应角B与B 1，C 与C 1是否相等？ 合作探究如图ABC 和A 1B1C1中， = A=A 1求证： ABCA 1B1C1ABA1B1ACA1C1 2归纳总结判定定理 2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角 相等,那么这两个三角形相似.可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例题解析例 1 根据下列条件,判断 是否相似,并说明理由. A=120, ABC和 ABCAB=7cm, AC=14cm. A =120, A B=3cm, A C=6cm.小试牛刀1. 已知：如图，在ABC 中，C9
3、0，点 D、E 分别是 AB、CB 延长线上的点，CE9，AD15，连接 DE.若 BC6，AC8，求证：ABCDBE.3知识点二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应用例题解析例 2 如图，在ABC 中，AB 16，AC8，在 AC 上取一点 D，使 AD3，如果在 AB上取点 E，使ADE 和ABC 相似，求 AE 的长小试牛刀如图，已知ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB12，AC8，AD6，当 AP 的长度为_时，ADP 和ABC 相似随堂检测1如图，在正方形网格上，若使ABCPBD，则点 P 应在()AP 1 BP 2 CP 3 DP 442如图，在等边
4、三角形 ABC 中，D，E 分别在 AC，AB 上，且 ADAC13，AEBE，则有()AAEDBED BAEDCBDCAEDABD DBADBCD3如图，在ABC 中，ABAC，D，E 分别为边 AB，AC 上的点，AC3AD，AB3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件： ,可以使得FDBADE.4如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 F，点 E 在 BD 上，且 .ABAE BCED ACAD(1)试问：BAE 与CAD 相等吗？为什么？(2)试判断ABE 与ACD 是否相似？并说明理由55.如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED
5、 的延长线交 CA 的延长线于 F.求证：ACCFBCDF.6. 如图所示，BCCD 于点 C，BEDE 于点 E，BE 与 CD 相交于点 A，若AC3，BC4，AE2，求 CD 的长7. 如图，在ABC 中，C90，BC8cm，5AC3AB0，点 P 从 B 出发，沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移动，与此同时点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动，经过多长时间ABC 和 PQC 相似？6课堂小结1三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2应用判定定理解决简单的问题我的收获_7参考答案课堂导入1.（简称：平行线）平行于三角形一边的直线和其他两
6、边相交，所构成 的三角形与原三角形相似.2.(简称：三边）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.合作探究证明：在线段 A1B1(或它的延长线)上截取 A1D=AB，过点 D 作 DE/B1C1，交 A1C1于点E， A1DE A1B1C1 A1DA1B1= DEB1C1=A1EA1C1又 ABA1B1= ACA1C1， A1D=ABA1EA1B1= ACA1C1， A1E=AC A= A1, A1DE ABC ABC A1B1 C1例题解析例 1 解：ABAB=73,ACAC=146=73 ABAB= ACAC A=又 A ABC ABC小试牛刀解析：首先利用勾股定理可求
7、出 AB 的长，再由已知条件可求出 DB，进而可得到DBAB 的值，再计算出 EBBC 的值，继而可判定ABCDBE.证明：在 RtABC 中，C90，BC6，AC8，AB 10，BC2 AC2DBADAB15105，DBAB12.8又EBCEBC963，EBBC12，EBBCDBAB，又DBEABC90，ABCDBE.方法总结：解本题时一定要注意必须 是两边对应的夹角才行，还 要注意一些隐含条件，例 2 解：设 AE 的长为 x. A 是公共角，要使 ADE 和 ABC 相似，则有 或者ADAC=AEAB ADAB=AEAC即 或者83=x16 316=x8解得 x6 或 x1.5.所以 A
8、E 的长为 6 或 1.5.小试牛刀解析：当ADPACB 时， ，APAB ADAC ，AP12 68解得 AP9.当ADPABC 时， ，ADAB APAC ，解得 AP4，612 AP8当 AP 的长度为 4 或 9 时，ADP 和ABC 相似故答案为 4 或 9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答随堂检测1. C2. B3. BFAE DBDE4.解：(1)BAE 与CAD 相等9理由： ，ABAE BCED ACADABCAED.BACEAD.BACEAFEADEAF，即BAECAD.(2)
9、ABE 与ACD 相似 ，ABAE ACAD .ABAC AEAD又BAECAD，ABEACD.5.解析：先证明ADCCDB 可得 ，再结合条件证明FDCFAD，可得 ADCD ACBC ADCD，则可证得结论DFCF证明：ACB90，CDAB，DACBBDCB90，DACDCB，且ADCCDB，ADCCDB， .ADCD ACBCE 为 BC 的中点，CDAB，DECE，EDCDCE，EDCFDAECDACD，FCDFDA，又FF，FDCFAD， ，DFCF ADDC ，ACBC DFCFACCFBCDF.方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对
10、应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式6.解析 ：因为 AC3，所以只需求出 AD 即可求出 CD.可证明ABC 与ADE 相似，再10利用相似三角形对应边成比例即可求出 AD.解：在 RtABC 中，由勾股定理可得 AB 5.BC2 AC2 42 32BCCD，BEDE，CE，又CABEAD，ABCADE， ，即 ，ABAD ACAE 5AD 32解得 AD ，103CDADAC 3 .103 193方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解7.解：由 5AC3AB
11、0，得到 5AC3AB，设 AB 为 5xcm，则 AC3xcm，在 RtABC 中，由 BC8cm，根据勾股定理得 25x29x 264，解得 x2 或 x2(舍去)，AB5x10cm，AC3x6cm.设经过 t 秒ABC 和PQC 相似，则有 BP2tcm，PC(82t)cm，CQtcm，分两种情况：当ABCPQC 时，有 ，即 ，解得 t ；BCQC ACPC 8t 68 2t 3211当ABCQPC 时，有 ，即 ，解 得 t .综上可知，经过 或ACQC BCPC 6t 88 2t 125 125秒ABC 和PQC 相似3211方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况ABCPQC与ABCQ PC 分别列出比例式来解决问题
