1、127.2.2 相似三角形的性质一、学习目标：1理解相似三角形的性质；2会利用相似三角形的性质解决简单的问题二、学习重难点：重难点：利用相似三角形的性质解决简单的问题探究案三、教学过程复习巩固(1)什么叫相似三角形？(2)如何判定两个三角形相似？课堂探究知识点一：相似三角形对应线段的比三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？如图，ABCABC，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？2归纳总结例题解析例 1 如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高
2、，矩形 EFGH 内接于ABC，且长边FG 在 BC 上，矩形相邻两边的比为 12，若 BC30 cm，AD10 cm，求矩形 EFGH 的周长归纳总结小试牛刀1.如图所示，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，且 BEEC，BD、AE 相交于 F点3(1)求BEF 与A FD 的周长之比；(2)若 SBEF 6cm 2，求 SAFD . 2.若ABCABC，其面积比为 12，则ABC 与ABC的相似比为( )A12 B. 22C14 D. 123.如图所示 ，在锐角三角形 ABC 中，AD，CE 分别为 BC，AB 边上的高，ABC 和BDE的面积分别为 18 和 8，DE3，求
3、 AC 边上的高课堂探究知识点二：相似三角形周长和面积的比某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面 积为 100 平方米，周长为 80 米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边 AB 的长 由原来的 0 米缩短成 18 米(如图)问题是：它的周长是多少？4归纳总结例题解析例 2 已知两个相似三角形的最短边分别为 9 cm 和 6 cm. 若它们的周长之和为 60 cm，则 这两个三角形 的周长分别是多少？归纳总结5小试牛刀1.如图所示，PNBC，ADBC 交 PN 于 E，交 BC 于 D.(1)若 APPB12，S ABC 18，求
4、 SA PN；(2)若 SAPN S 四边形 PBCN12，求 的值AEAD2.如图，已知ABC 中，AB5，BC3，AC4，PQAB，P 点在 AC 上(与 A、C 不重合)，Q 点在 BC 上(1)当PQC 的面积是四边形 P ABQ 面积的 时，求 CP 的长；13(2)当PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长6随堂检测1.若两个三角形相似，相似比为 89，则它们对应角平分线之比是，若其中较小三角形 的一条角平分线的长为 6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为 cm2.如果两个相似三角形的一组对应边分别为 3 cm 和 5 cm，且较小三角形的周长为 15 cm
5、，那么较大三角形的周长为 cm.3.如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DEBC.若ADE 与ABC 的周长之比为 23，AD4，则 DB.4已知ABCABC，CD 是 AB 边上的中线，CD是 AB边上的中线，CD4 cm，CD10 cm，AE 是ABC 的一条高，AE4.8 cm.求ABC中对应高线AE的长5已知ABCDEF，ABC 和DEF 的周长分别为 20 cm 和 25 cm，且 BC5 cm，DF4 cm，求 EF 和 AC 的长课堂小结1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；72相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、
6、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3相似三角形的面积的比等于相似比的平方我的收获_8参考答案合作探究如图，分别作ABC 和 ABC的对应高 AD 和 A D .解： ABC A B C， B= B .又 ABD 和 A B D都是直角三角形， ABD A B D.ADAD= ABAB=k.类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、对应角平分线的比也等于 k.归纳总结相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形对应线段的比等于相似比.例题解析例 1 解：设 HGx cm，则 EH2x cm. 易得 APEH.AD10 cm，AP(10x) cm.四边形
7、 EFGH 为矩形，EHBC，AEH ABC APAD=EHBC,即 10 x10=2x30.解得 x=6HG6 cm，EH12 cm.矩形 EFGH 的周长为 36 cm. 小试牛刀1.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解解：(1)在平行四边形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，BEFAFD.又9BE BC， ，BEF 与AFD 的周长之比为 ；12 BEAD BFDF EFAF 12 BE BF EFAD DF AF 12(2)由(1)可知BEFDAF，且相似比为 ， ( )2，S AFD 4S 12 S BEFS AFD 12BEF4624cm 2
8、.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键2.B.方法总结：解决问题的关键是掌 握相似三角形的面积比等于相似比的平方3.解：过点 B 作 BFAC，垂足为点 F.ADBC, CEAB，RtADBRtCEB， ，即 ，且ABCDBE，EBDCBA, ( )2 .BDBE ABCB BDAB BECB S BEDS BCA DEAC 818又DE3，AC4.5.S ABC ACBF18, BF8.12方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答知识点二：相似三角形周长和面积的比解：将上面生活中的问题转化为数学问题
9、是：如图，已知 DE BC， AB=30 m， BD=18 m， ABC 的周长为 80 m，求 ADE 的周长. DE BC， ADE= B， AED= C， ADE ABC，ADAB=AEAC=DEBC,由比例的性质可得， 而 ADE 的周长= AD AE DE, AD+AE+DEAB+AC+BC=ADAB, ABC 的周长= AB AC BC， ADE的周长80 =30 1830, ADE 的周长=32 m.例题解析例 2 解：设 ABC A1B1C1，且 ABC 中的最短边AC9 cm， A1B1C1中的最短边 A1C16 cm.则ACA1C1=96=32, ABC 和 A1B1C1的
10、相似比为32.设 ABC 的周长为 x cm，10则 A1B1C1的周长为(60 x)cm. 解得 x36，60 x24.x60 x=32, ABC 的周长为 36 cm， A1B1C1的周长为 24 cm.小试牛刀1.解：(1)因为 PNBC，所以APNB，ANPC，APNABC，所以( )2.因为 APPB12，所以 APAB13.又因为 SABC 18，所以S APNS ABC APAB( )2 ，所以 SAPN 2；S APNS ABC 13 19(2)因为 PN BC，所以APEB，AEPADB，所以APEABD，所以 ， ( )2( )2.因为 SAPN S 四边形 PBCN12，
11、所以 ( )APAB AEAD S APNS ABC APAB AEAD S APNS ABC 13 AEAD2，所以 .AEAD 13 33方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方2.解：(1)PQAB，PQCABC，S PQC S 四边形 PABQ，S PQC S 13ABC14， ，CP CA2；14 12 12(2)PQCABC， ， ，CQ CP.同理可知 PQ CP，C CPCA CQCB PQAB CP4 CQ3 34 54PCQCPPQCQCP CP CP3CP，C 四边形 PABQPAABBQPQ(4CP)54 34AB (3C
12、Q)PQ4CP53 CP CP12 CP，12 CP3CP， CP12，CP .34 54 12 12 72 247方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键随堂检测1. 89,2742. 253 .24.解：ABCABC，CD 是 AB 边上的中线，CD是 AB边上的中线，11且 AE，AE是对应的高线， .AEA E CDC D .4.8A E 410AE12 cm.5.解：相似三角形周长的比等于相似比， .EFBC 2520EF BC 5 (cm)54 54 254同理 ，ACDF 2025AC DF 4 (cm)45 45 165EF 的长是 cm，AC 的长是 cm.254 165
