1、北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 1 -六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.塞题精析例 1 质点以加速度 a 从静止出发做直线运动，在某时刻 t，加速度变为 2a；在时刻2t，加速度变为 3a；在 nt 时刻，加速度变为（n+1） a，求：（1）nt 时刻质点的速度；（2）
2、nt 时间内通过的总路程 .解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻 t 末的速度为 atvt2t 末的速度为 tvttt 2,222 所 以3t 末的速度为 tt 33则 nt 末的速度为 natvtnt)1( )321(32 ntat t)()(1（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程 .)1(122atns例 2 小球从高 处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度mh180减小 ，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g 取 10m/s2）)(1n北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 2 -解析 小球从 h0 高处落
3、地时，速率 smghv/6020第一次跳起时和又落地时的速率 /1第二次跳起时和又落地时的速率 202v第 m 次跳起时和又落地时的速率 mv/0每次跳起的高度依次 ，40221,nhgnhg通过的总路程 ms210hnhh3051)(2020 24经过的总时间为 mttt1sgvnngvgvm183)( )1(2100 例 3 A、B、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为 v，A 犬想追捕 B 犬，B犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？北京英才苑网站
4、 http:/ 版权所有盗版必究- 3 -解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图 61 所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间 t 可捕捉猎物，再把 t 分为 n 个微小时间间隔 t，在每一个t 内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔t ，正三角形的边长分别为 a1、a 2、a 3、a n，显然当 an0时三只猎犬相遇. tvnatvtavatvBA23,2323,60cos3121因为 ,0t即 vatn3所 以此题还可
5、用对称法，在非惯性参考系中求解.例 4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动 30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在s 的宽松距离，设火车的牵引力为 F，则有：车头起动时，有 21)(mvsgF拉第一节车厢时： 1故有 sv)(2412北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 4 -2121)2( vmsmg
6、F拉第二节车厢时： 22)(v故同样可得： sgFv )35(942推理可得 nmn )1(2由 gFvn3:02可 得另由题意知 46,1n得因此该车头倒退起动时，能起动 45 节相同质量的车厢.例 5 有 n 块质量均为 m，厚度为 d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图 62 所示，人至少做多少功？解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为 mgdW2将第 3、4、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为 dnmgWdg)1(453
7、所以将 n 块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+Wn)()1(gddnmg例 6 如图 63 所示，有六个完全相同的长条薄片 、1(iBA2、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为 m 的质点置于 A1A6北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 5 -的中点处，试求：A 1B1 薄片对 A6B6 的压力.解析 本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B1、A 2B2、A5B5 的受力情况完全相同，因此将 A1B1、A 2B2、A 5B5 作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第 i 个薄
8、片 AB 为研究对象，受力情况如图 63 甲所示，第 i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力 Ni+1. 选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有 2,11 iiiiL得所以 65321 )(N再以 A6B6 为研究对象，受力情况如图 63 乙所示，A 6B6 受到薄片A5B5 向上的支持力 N6、碗向上的支持力和后一个薄片 A1B1 向下的压力N1、质点向下的压力 mg. 选 B6 点为轴，根据力矩平衡有LmgL432由、联立，解得 421g所以，A 1B1 薄片对 A6B6 的压力为 .m例 7 用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上
9、一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为 L，横截面是边长为 的正方形，要求此桥具有最)4/(Lh大的跨度（即桥孔底宽） ，计算跨度与桥孔高度的比值. 解析 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.将从上到下的积木块依次计为 1、2、n，显然第 1 块相对第 2 块的最大伸出量为21Lx第 2 块相对第 3 块的最大伸出量为 （如图 64 所示） ，则2x24)(22LxGxG北京英才苑网站 http:/ 版权所
10、有盗版必究- 6 -同理可得第 3 块的最大伸出量 32Lx最后归纳得出 nLx2所以总跨度 hkn3.19跨度与桥孔高的比值为 258.19Hk例 8 如图 65 所示，一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁，原点 O 两侧的人的序号都记为）. 每人只有一个沙袋， 一侧的每个沙袋质量为 m=14kg， 一侧的3,21(n00x每个沙袋质量 . 一质量为 M=48kg 的小车以某初速度 v0 从原点出发向正 x 轴方向kgm0滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的 2n 倍.（n 是此人的序
11、号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔.小车以初速 沿正 x 轴方向运动，经过第 1 个（n=1）人的身旁时，此人将沙袋以0v的水平速度扔到车上，由动量守恒得 当小车运02nu ,)(2100vmMv动到第 2 人身旁时，此人将沙袋以速度 的水平速度扔到车上，同理有142vu，所以，当第 n
12、 个沙袋抛上车后的车速为 ，根据动11)()( mMvmM nv量守恒有 .11 )(,)()( nnn mvv即同理有 ，若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有nv21北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 7 -.0,1nv即 .0)2(,)(mnM由此两式解得： 为整数取 3.,1438当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第 n 个人身旁，抛上第 n 包沙袋后由动量守恒定律有： nnn vmvmm)3(2)(3 11解得： nnn vMMv )1(23)(1同 理设抛上 n+1 个沙袋后车速反向，要求 0,1nv即 即抛上第 8 个870)2(31mn解 得沙
13、袋后车就停止，所以车上最终有 11 个沙袋.例 9 如图 66 所示，一固定的斜面，倾角 ，斜面45长 L=2.00 米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板 . 一质量为 m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数 ，试求此质点从开始到发20.生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程.解析 因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生 n 次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为 s则由功能关系： sin)()(co2121mgmgs33
14、即有 coin231s由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为 .32在发生第 11 次碰撞过程中的路程北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 8 -13212ss111321 32)()( ss)(86.9)(01m例 10 如图 67 所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是 m1、m 2和 m3，m 2=m3=2m1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计. 开始时，三球处在槽中、的位置，彼此间距离相等，m2 和 m3 静止，m 1 以初速 沿槽运动，R 为圆环的内半径和2/0v小球半径之和，设各球之间
15、的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期 T.解析 当 m1 与 m2 发生弹性碰撞时，由于 m2=2m1，所以 m1 碰后弹回，m 2 向前与 m3 发生碰撞. 而又由于 m2=m3，所以 m2 与 m3 碰后，m 3 能静止在 m1 的位置，m 1 又以 v 速度被反弹，可见碰撞又重复一次. 当 m1 回到初始位置，则系统为一个周期.以 m1、m 2 为研究对象，当 m1 与 m2 发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：2101vv2由、式得： 02120021 331)( vmvvmv 以 m2、m 3 为研究对象，当 m2 与 m3 发生弹性碰撞后，得 203以 m3、m
16、 1 为研究对象，当 m3 与 m1 发生弹性碰撞后，得 01vv由此可见，当 m1 运动到 m2 处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使 m1、m 2、m 3 交换位置，当 m1 再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期 T，由此可得周期).(210)33()( 0032 sRvvRttT 例 11 有许多质量为 m 的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 9 -个木块均用长为 L 的柔绳连接着. 现用大小为 F 的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第 n 个木块被牵动时的速度.解析 每一个木
17、块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离 L 后，把绳拉紧，再牵动下一个木块. 在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能. 因此，如果列出 这样的关系式是错误的.21)(nmvFn设第 个木块刚被拉动时的速度为 ，它即将拉动下一个木块时速度增至 ，1nv 1nv第 n 个木块刚被拉动时速度为 . 对第 个木块开始运动到它把下一段绳子即将n)(拉紧这一过程，由动能定理有：2121)()(nnmvvFL对绳子把第 n 个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有得： m1)( nn1把式代入式得： 212)()()2nmvvFL整理后得： 1)( nnvn式就是反映相邻两木块被拉
18、动时速度关系的递推式，由式可知当 n=2 时有： 21m当 n=3 时有： 232vFL当 n=4 时有： 423一般地有 21)()1( nnvvm将以上 个等式相加，得： 212)3vnmFL所以有 212)(vFLnn在本题中 ，所以01v.)(mn北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 10 -例 12 如图 68 所示，质量 m=2kg 的平板小车，后端放有质量 M=3kg 的铁块，它和车之间动摩擦因数 开始.50时，车和铁块共同以 的速度向右在光滑水平面上sv/30前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过
19、的总路程.解析 小车与墙撞后，应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下去. 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和.设每次与墙碰后的速度分别为 v1、v 2、v 3、v n、车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为 s1、s 2、s 3、 sn、. 以铁块运动方向为正方向，在车与墙第 次碰后)1(n到发生第
20、 n 次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有所以 nvmMv)()(1 51nnvmM由这一关系可得： ,5,21312一般地，有 ,51nv由运动学公式可求出车与墙发生第 n 次碰撞后向左运动的最远距离为212nnavs类似地，由这一关系可递推到： 2142132121 5,5, nnavsvsvs所以车运动的总路程 )(321 nsss总北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 11 -2451)1(222421 avvn因此 201 /15/3smMgsmv所以 )(45s总例 13 10 个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图 69 所示，每个木块的质量
21、 长度,40.kg，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为ml5.0原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端12上方放一个质量为 M=1.0kg 的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 现突然给铅块一向右的初速度 ，使其在大.201 smv/3.40木块上滑行. 试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）. 重力加速度g 取 ，设铅块的长度与木块相比可以忽略.2)/(10sm解析 当铅块向右运动时，铅块与 10 个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力，若此摩擦力大于 10 个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，则 10 个扁长木块开始运动，若此摩擦力小于 10 个扁长
22、木块与地面间的最大摩擦力，则 10 个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止.铅块 M 在木块上滑行所受到的滑动摩擦力 NMgf0.21设 M 可以带动木块的数目为 n，则 n 满足： 0)1()(2mgn即 0)1(4.0.2上式中的 n 只能取整数，所以 n 只能取 2，也就是当 M 滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第 8 个木块时速度为 v，则lgv2110得： )/(49.2sm北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 12 -由此可见木块还可以滑到第 9 个木块上. M
23、 在第 9 个木块上运动如图 69 甲所示，则对 M 而言有： Mag1得： 2/0.smaM第 9 及第 10 个木块的动力学方程为： ，magm2)(21 得： ./25.sm设 M 刚离开第 9 个木块上时速度为 ，而第 10 个木块运动的速度为 ，并设木块运v V动的距离为 s，则 M 运动的距离为 ，有：lsaVlvm2)(tM消去 s 及 t 求出： ，显然后一解不合理应舍去. smVvsVv/23.06/21.06或因 ，故 M 将运动到第 10 个木块上.v再设 M 运动到第 10 个木块的边缘时速度为 ，这时木块的速度为 ，则：v V)(22lsa解得： ，故 M 不能滑离第
24、 10 个木块，只能停在它的表面上，最0463.1v后和木块一起静止在地面上.例 14 如图 610 所示，质量为 m 的长方形箱子，放在光滑的水平地面上. 箱内有一质量也为 m 的小滑块，滑块与箱底间无摩擦. 开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度 v0 从箱子的 A 壁处向B 处运动，后与 B 壁碰撞. 假设滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的 e 倍， .214（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的 40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗
25、版必究- 13 -解析 由于滑块与箱子在水平方向不受外力，故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比，可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值. （1）滑块与箱壁碰撞，碰后滑块对地速度为 v，箱子对地速度为 u. 由于题中每次碰撞的 e 是一样的，故有： 11201 nuvuvu或 11201 ne 11201)( nn uvuv即碰撞 n 次后 0)(enn碰撞第 n 次的动量守恒式是 0mvvn、联立得 00)(12)(12veuev n第 n 次碰撞后，系统损失的动能 )(20
26、nknk vEknnEemve21)1(421200下面分别讨论：当 146.021, eEnkl时北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 14 -25.012,24eEnk时32.012,363enk时75.41,484eEk时412.021,505enk时因为要求的动能损失不超过 40%，故 n=4.（2）设 A、B 两侧壁的距离为 L，则滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间. 在下一次发生碰撞的时间 ，共碰撞四次，另两次碰撞的时间0vLt 011|evLut分别为 、 ，所以总时间02et03vet ).1(3203210 evettt 在这段时间中，箱子运动的距离是：
27、321tuts)1(22)1()1()(323 030220eeLLveLveev北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 15 -所以平均速度为： 2)1(203203veveLts例 15 一容积为 1/4 升的抽气机，每分钟可完成 8 次抽气动作 . 一容积为 1 升的容器与此抽气筒相连通. 求抽气机工作多长时间才能使容器内的气体的压强由 76mmmHg 降为1.9mmHg.（在抽气过程中容器内的温度保持不变）解析 根据玻一马定律，找出每抽气一次压强与容器容积和抽气机容积及原压强的关系，然后归纳递推出抽 n 次的压强表达式.设气体原压强为 p0，抽气机的容积为 V0，容器的容积为
28、 V. 每抽一次压强分别为p1、p 2、，则由玻一马定律得：第一次抽气后： )(010V第二次抽气后： 2p依次递推有： )(032)(01Vpnn n由以上 式得： n )lg()( 00vVpnnn 所 以代入已知得： （次）275.1lg4工作时间为： 分钟38t例 16 使一原来不带电的导体小球与一带电量为 Q 的导体大球接触，分开之后，小球获得电量 q. 今让小球与大球反复接触，在每次分开有后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值 Q. 求小球可能获得的最大电量 .解析 两个孤立导体相互接触，相当于两个对地电容并联，设两个导体球带电Q1、Q 2，由于两个导体球对地电压相等，北京
29、英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 16 -故有 ，kCQCQC21212121,亦 即即所以 为常量，此式表明：带电（或不带电）的小球跟带电大球接触k),(后，小球所获得的电量与总电量的比值不变，比值 k 等于第一次带电量 q 与总电量 Q 的比值，即 根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量.Qqk设第 1、2、n 次接触后小球所带的电量分别为 q1、q 2、，有：qkkqQkqkknnn 121 22312)()( 由于 ，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得：n即小球与大球多次接触后，获得的最大电量为 .qQ例 17 在如图 611 所示的电路中，S 是一单刀双掷开关，A
30、 1 和 A2 为两个平行板电容器，S 掷向 a 时， A1 获电荷电量为 Q，当 S 再掷向 b 时， A2 获电荷电量为 q. 问经过很多次S 掷向 a，再掷向 b 后，A 2 将获得多少电量？解析 S 掷向 a 时，电源给 A1 充电，S 再掷向 b，A 1 给 A2 充电，在经过很多次重复的过程中，A 2 的带电量越来越多，两板间电压越来越大 . 当 A2 的电压等于电源电压时，A 2 的带电量将不再增加. 由此可知 A2 最终将获得电量 q2=C2E.因为 所以ECQ11当 S 由 a 第一次掷向 b 时，有： 21CQ所以 EqQ)(2北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究
31、- 17 -解得 A2 最终获得的电量 qQ2例 18 电路如图 612 所示，求当 为何值时，RRAB 的阻值与 “网络”的“格 ”数无关？此时 RAB 的阻值等于什么？解析 要使 RAB 的阻值与 “网络”的“格”数无关，则图中 CD 间的阻值必须等于才行.所以有 解得2)( )15(此时 AB 间总电阻 RAB)15(例 19 如图 613 所示，在 x 轴上方有垂直于 xy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，在 x 轴下方有沿 y 轴负方向的匀强电场，场强为 E. 一质量为 m，电量为q 的粒子从坐标原点 O沿着 y 轴方向射出. 射出之后，第三次到达 x 轴时，它与 O 点的距离
32、为 L. 求此粒子射出时的速度 v 和每次到达 x 轴时运动的总路程 s.（重力不计）解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过 x轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加速通过 x 轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性.它第 3 次到达 x 轴时距 O 点的距离 L 等于圆半径的 4 倍（如图613 甲所示）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 LBqmvR所以粒子射出时的速度 qLv4粒子做圆周运动的半周长为 1s粒子以速度 v 进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为 y，因为 ymEqa22所以粒子在电场中进入一次通过的路程为 mEqLBys1622北
33、京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 18 -粒子第 1 次到达 x 轴时通过的路程为 41LRs粒子第 2 次到达 x 轴时，已通过的路程为 mEqLBs162212粒子第 3 次到达 x 轴时，已通过的路程为 21213粒子第 4 次到达 x 轴时，已通过的路程为 mEqLBss82214粒子第 次到达 x 轴时，已通过的路程为 )12(nmEqLBnssn 16)(4221)2( 粒子第 2n 次到达 x 轴时，已通过的路程为 )164()(2212 mEqLBnssn上面 n 都取正整数.针对训练1一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力 F，历时 1 秒钟
34、，随即把此力改为向西，大小不变，历时 1 秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时1 秒钟，如此反复，只改变力的方向，共历时 1 分钟. 在此 1 分钟内 （ ）A物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 分钟末静止于初始位置之东B物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 分钟末静止于初始位置C物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 分钟末继续向东运动D物体一直向东运动，从不向西运动，在 1 分钟末静止于初始位置之东2一小球从距地面为 H 的高度处由静止开始落下 . 已知小球在空中运动时所受空气阻力为球所受重力的 k 倍 ，球每次与地面相碰前后的速率相等，试求小球从开始运动到)1(停止运动，（1
35、）总共通过的路程；北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 19 -（2）所经历的时间.3如图 614 所示，小球从长 L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的 4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端物体共通过的路程.4如图 615 所示，有一固定的斜面，倾角为 45，斜面长为 2米，在斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为 m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为 1 米/秒. 质点沿斜面下滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的滑动摩擦因数为 0.20.（1）试求此质点从开始运动到与挡板发生第 10
36、 次碰撞的过程中通过的总路程；（2）求此质点从开始运动到最后停下来的过程中通过的总路程.5有 5 个质量相同、其大小可不计的小木块 1、2、3、4、5 等距离地依次放在倾角 的斜面上（如图 616 所示）.斜面30在木块 2 以上的部分是光滑的，以下部分是粗糙的，5 个木块与斜面粗糙部分之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数都是 ，开始时用手扶着木块 1，其余各木块都静止在斜面上. 现在放手，使木块 1 自然下滑，并与木块 2 发生碰撞，接着陆续发生其他碰撞. 假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的. 求 取何值时木块 4 能被撞而木块 5 不能被撞.6在一光滑水平的长直轨道上，等距离地放着足够多的完全相
37、同的质量为 m 的长方形木块，依次编号为木块 1，木块2，如图 617 所示.在木块 1 之前放一质量为 M=4m 的大木块，大木块与木块 1 之间的距离与相邻各木块间的距离相同，均为 L. 现在，在所有木块都静止的情况下，以一沿轨道方向的恒力 F 一直作用在大木块上，使其先与木块 1 发生碰撞，设碰后与木块 1 结为一体再与木块 2 发生碰撞，碰后又结为一体，再与木块 3 发生碰撞，碰后又结为一体，如此继续下去. 今问大木块（以及与之结为一体的各小木块）与第几个小木块碰撞之前的一瞬间，会达到它在整个过程中的最大速度？此速度等于多少？7有电量为 Q1 的电荷均匀分布在一个半球面上，另有无数个电
38、量均为 Q2 的点电荷位于通过球心的轴线上，且在半球面的下部. 第 k 个电荷与球心的距离为 ，且1kRk=1，2，3，4，设球心处的电势为零，周围空间均为自由空间. 若 Q1 已知，求 Q2.8一个半径为 1 米的金属球，充电后的电势为 U，把 10 个半径为 1/9 米的均不带电的小金属球顺次分别与这个大金属球相碰后拿走，然后把这 10 个充了电了小金属球彼此分隔摆在半径为 10 米的圆周上，并拿走大金属球. 求圆心处的电势. （设整个过程中系统的总电量无泄漏）9真空中，有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳，它们的半径北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 20 -分别为 R，R
39、/2 ，R/4，R/8，R/16 ，彼此内切于 P 点（如图618）.球心分别为 O1， O2，O 3，O 4，O 5，求 O1 与 O5 间的电势差.10在图 619 所示的电路中，三个电容器 C 、C 、C 的电容值均等于 C，电源的电动势为 ，R 、R 为电阻，S 为双掷开关. 开始时，三个电容器都不带电.先接通 Oa，再接通 Ob，再接通 Oa，再接通 Ob如此反复换向，设每次接通前都已达到静电平衡，试求：（1）当 S 第 n 次接通 Ob 并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少？（2）当反复换向的次数无限增多时，在所有电阻上消耗的总电能是多少？11一系列相同的电阻 R，如图 62
40、0 所示连接，求 AB 间的等效电阻 RAB.12如图 621 所示，R 1=R3=R5=R99=5，R 2=R4=R6=R98=10，R 100=5， =10V求：（1）R AB=？（2）电阻 R2 消耗的电功率应等于多少？（3） 消耗的电功率；)9,3,(i（4）电路上的总功率.13试求如图 622 所示，框架中 A、B 两点间的电阻 RAB，此框架是用同种细金属丝制作的，单位长的电阻为 r，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取 AB 边长为 a，以下每个三角形的边长依次减少一半.14图 623 中，AOB 是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上，夹角 （为了能看清楚
41、，图中的是1夸大了的）. 现将一质点在 BOA 面内从 C 处以速度 smv/5射出，其方向与 AO 间的夹角 ，OC=10m. 设质点与60桌面间的摩擦可忽略不计，质点与 OB 面及 OA 面的碰撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求：（1）经过几次碰撞质点又回到 C 处与 OA 相碰？北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必究- 21 -（计算次数时包括在 C 处的碰撞）（2）共用多少时间？（3）在这过程中，质点离 O 点的最短距离是多少？六、递推法答案1D 2 kgkHkgkH21)1(21)(, 3 49.79m 50m 5 621 块 L9 .097.489mFL7 80.065U 9 24.46K 21QRq10 （1）I： ： （3）,)41(3nC)41(3nC2C11 12 （1）10 （2）2.5W （3） ，RAB( )9,53,1(0i（4）10W 1340)98,20i14 15 （1）60 次 （2）2s （3）raAB7(3m
