1、1数列与递推方法引例：求 的值。5557coscos99本专题意在引领大家提升数列的基本概念、等差数列与等比数列知识体系、探究递推数列求通项以及数列求和方法、递推数列单调有界性与数列不等式的证明、构建递推公式实现运算求解，等。一、基本概念例 1 给下面数列各写出一个通项公式：（1） ； （2）,43,2 ;,4,3,.1（3） 。,例 2 已知数列 的前五项为：1，2，3，4，5，并且 ，求这样数列的一个通项公式。nalim2013na例 3 已知数列 中各项均为正数, 其前 n 项之和记作 Sn,并且 ，求 。n *)(Nnanna例 4 已知 ，求数列 的整数项的个数。2032016,29
2、5nnaC n例 5（I）设 是集合 且 中所有的数从小到大排列成的数列，即 ，n|tsts0Z, 31a， ， ， ， ，23945a6将数列 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：na35 69 10 12 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；求 10a（II） （本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分）设 是集合 ，且 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 ，求 .nbtsrtsr 0|2,Ztsr160kbk二、等差数列与等比数列例 6 等差数列的前 n 项和记为 ，试解以下问题：nS（1）若 ，求证： ；（2）若 ，试求 ；qpSq
3、p qpSqp, qpS例 7 设数列 na的前 项和为 n.已知 1a, 213nan, *N.() 求 2的值；() 求数列 n的通项公式；2() 证明:对一切正整数 n,有 1274naa .例 8 在数列 中， ， 。na1213,n Nn（）计算 的值，并求出该数列的通项 及其前 n 项和 ；234, nS（）令 ，记其前 n 项和为 ，试比 与 n 的大小；1*nbNanT2（）令 ，求数列 的前 n 项和 ，并证明 。*1nc21ncnR*2,nN三、递推数列求通项例 9 已知：a n= (n N 且 n1)，a 1= .求 an.62167例 10 已知： 求 an.),(na
4、且例 11 已知： 求 an.4311 n 且例 12 数列 的前 n 项和为 Sn，并且 求 .1*),(2Nnn n例 13 已知数列 的递推公式为 ，求a 31an首 项且 .a例 14 已知数列 的递推公式为 ，求n .),1(4311 n首 项且 .n例 15 已知数列 由公式 定义.求 的表达式.nan*)(246,1 Naann na例 16 已知数列 由公式 ，定义.求证:数列 的各项均为整数.)(32,2n例 17 已知数列 满足: ，求数列 的通项公式。na .3,12121 naan且 na例 18 设数列 和 满足以下条件:nba1=1,b1=0; )1(478361
5、nNann 且（1）求数列 和 的通项公式;b（2）证明: 的各项都是完全平方数 .n四、求和方法按公式求和、按周期求和、基于对称倒序求和、乘公比按幂对齐相减求和、裂项求和，等例 19 给定整数列 如果 前 1492 项之和是 1985，而前 1985,3, 2121 naann使 得 na3项之和是 1492，那么前 2013 项之和是多少？例 20 把 n2 (n4)个正数排成一个 n 行 n 列的数阵：nnnnaaaa4321 443421 33 224321 11其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都相等.已知： 求 .163,8,14422aa.321nnaaS例
6、 21 已知函数 。42xfR（）求函数 图像的对称中心 ；f ,Cab（）令 ，求数列 的通项公式，并求数列 的*121n nafffNn na2na前 n 项和 ；nS（）令 ，记数列 的前 n 项和为 ，求证： ；*21nnbNabnT*2,nN例 22 化简下列和式： ， ， 。31nkA12nkB12knC五、递推数列单调有界性与数列不等式的证明例23已知n为自然数，实数a1，解关于x的不等式log axlog x12log xn (2) log x log23a1nna3)2(n(x2a )。例 24 设a n是由正数组成的等比数列，S n 是其前 n 项和(1)证明 ；12lgl
7、gnnS(2)是否存在常数 c0，使得 成立? 并证明你的结论cScScnnn 12lglgl例 25 设数列 满足：na .,3,121 ann4（）当 时，求 的值，并由此猜想出 的一个通项公式；21a432,ana（）当 时，证明：对所有的正整数 n 都有：（1） ； 2（2） 。121n例 26 已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足：S n=2an +(-1)n,n1.（）写出求数列a n的前 3 项 a1,a2,a3；（）求数列a n的通项公式；（）证明：对任意的整数 m4，有 .5178maa例 27 函数 的导函数为 ，定义数列 ： ，21lnxfxfx2yx13a。解答以下
8、题目：*1nnxfN（1）求 ；（2）证明： ；*12nx（3）当整数 时，必有 。lg34a13nx例 28 设函数 数列 满足 ， ()lfna101()nnaf（）证明：函数 在区间 是增函数；x(01)，（）证明： ；1na（）设 ，整数 证明： 1()b， 1lnabk 1kab例 29 已知数列 满足： ，且 。解答以下两题：n132132nn（）求数列a n的通项公式；（）证明：对于一切正整数 n，不等式 。 12!na例 30 已知数列 中， .来源:学*科*网na11,nnc（）设 ，求数列 的通项公式；5,2ncbnb5（）求使不等式 成立的 的取值范围13nac例 31
9、在平面直角坐标系 xoy 中，y 轴正半轴上的点列 与曲线 上的点列 满足nA20yxnB，直线 在 x 轴上的截距为 ，点 的横坐标为 。求证：1nOABnABnaB*nbN（1） ；4n（2）存在 ，使得对任意的 都有*0N0。3121 24nbb六、构建递推公式实现运算求解例 32 把圆分成个不相等的扇形，并用红、黄、蓝三种颜色给所有扇形涂色，但不许相邻的扇形涂相同的颜色。问：共有多少种不同的涂色方法例 33 求所有实数 , 使得无穷项数列 的各项都是负数. x1cos2nx例 34 将周长为 24 的圆周等分成 24 段, 从 24 个分点中选取 8 个点, 使得其中任何两点间所夹的弧
10、长都不等于 3和 8. 求满足这些要求的 8 点组的不同取法种数.例 35 解方程组。22334460xyzwxyz例 36 设 为下述正整数 的个数：N 的各位数字之和为 ，且每位数字只能是 1、3 或 4，求证：对一切正整na n数 ， 都是完全平方数。2例 37 某足球邀请赛有 16 个城市参加，每市派出甲、乙两个队参加。根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除 A 市甲队外，其他各队已比赛过的场数各不相同，求 A 市乙队已赛过的场数。例 38 右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.输入带钢的厚度为 ，输出带钢的厚度为 ，若每对轧
11、辊的减薄率不超过 .问冷轧机至少需要安装多少对0r轧辊？（一对轧辊减薄率 ）输 入 该 对 的 带 钢 厚 度从 该 对 输 出 的 带 钢 厚 度输 入 该 对 的 带 钢 厚 度 .已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊，所有轧辊周长均为 1600 若第 对轧辊有缺陷，每滚动一.mk周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 为了便于检修，请计算 、 、 并填入下.kL1L23表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.轧锟序号 k1 2 3 4疵点间距 （单位： ）Lm1600七、基于组合思考的数列题例 39（2009 清华）请写出三个素数（正整数、质数） ，
12、使得它们构成公差为 8 的等比数列。例 40（2009 年上海交大）公差 的等差数列 存在一个等比子列 ，且0dna12,nkka 6，求 。123,5,17kk1niSk例 41 证明方程 恰有一个实数根 ，且存在唯一的严格递增正整数数列 满足520xr na。12naarr 例 42（2011 年自主招生样题）甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外 3 个人中的任何一个人。（）经过 2 次传球后，球在甲、乙手中的概率各是多少？（）经过 n 次传球后，球在甲手中的概率记为 ，试求 与 之间的关系式，并求 以及1,2np 1np np。limnp例 43 求一组实数 ，使得 ，并且满足12013,a 122013a。1234203a a例 44 二次函数 的图像过坐标系原点，并且满足yfx 23162xfx；定义数列 使得 。n *11,nnafaN（）求 的解析式；fx（）求证： ；1n（）求证： 。1123naa例 45（2011 年卓越联盟）一袋中装有 个白球和 个黑球，从中任取一个球，如果取出白球，则把它放回袋中，b否则，就不放回黑球，而且另补一枚白球放入袋中；在重复 n 次这样的操作后，记袋中白球个数为 。nX（）求 ；1EX（）记 ，求 ；nkPaP10,12,nXakb（）求证： 。1nnEb
