1、Wzclxx 梳理知识 拓展考点 归纳方法 提升能力 陶冶情操 高二专题九（2.17）第 1 页 共 8 页第九讲 带电粒子在磁场中运动高考题型归类解析（一） （教师版）1、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。例 1（04 天津）钍核 发生衰变生成镭核 并放出一个粒子。设该粒子的质量为 、电荷量Th2309 Ra
2、268 m为 q，它进入电势差为 U 的带窄缝的平行平板电极 和 间电场时，其速度为 ，经电场加速后，沿1S20v方向进入磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场， 垂直平板电极 ，当粒子从ox ox2S点离开磁场时，其速度方向与 方位的夹角 ，如图所示，整个装置处于真空中。pox60钍核衰变方程： RaHeTh26842309（1）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径 R；（2）求粒子在磁场中运动所用时间 。t（1）设粒子离开电场时速度为 ，对加速过程有 v 2021mvqU粒子在磁场中有 RmqvB2由、得 20U（2）粒子做圆周运动的回旋周期 qBmvT2粒子在磁场中运动时间 由、
3、得 t61t32、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题。导致轨道半径变化的原因有：带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由 看 m、 v、 q、 B 中某r个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。Wzclxx 梳理知识 拓展考点 归纳方法 提升能力 陶冶情操 高二专题九（2.17）第 2 页 共 8 页例 2（06 年全国
4、 2）如图所示，在 x0 与 x0 的区域中，存在磁感应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且 B1B 2。一个带负电的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过 O 点，B 1 与 B2 的比值应满足什么条件？解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为 v，交替地在 xy 平面内B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为和 r2，有r1 r 2 vqvB分析粒子运动的轨迹。如图所示，在 xy 平面内，粒子先沿半径为r1 的半圆 C1 运动至
5、y 轴上离 O 点距离为 2 r1 的 A 点，接着沿半径为 2 r2 的半圆 D1 运动至 y 轴的 O1 点，O 1O 距离d2（r 2r 1）此后，粒子每经历一次“回旋” （即从 y 轴出发沿半径 r1 的半圆和半径为 r2 的半圆回到原点下方 y 轴） ，粒子 y 坐标就减小 d。设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On 点。若 OOn 即 nd 满足 nd2r 1 则粒子再经过半圆 Cn+1 就能够经过原点，式中 n1，2，3，为回旋次数。 由式解得 由式可得 B1、B 2 应满足的1r条件n1，2，3，21B3、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题带电粒子
6、在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字。例 3（07 全国 1） 、两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 x 轴和 y 轴，交点 O 为原点，如图所示。在 y 0，0 0，x a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔，一束质量为 m、带电量为 q（q 0）的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子
7、在 0 a 的区域中运动的时间之比为 2:5，在磁场中运动的总时间为 7T/12，其中 T 为该粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响） 。解：粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动半径为 ： mvrqB速度小的粒子将在 xa 的区域中运动的时间，由题意可知由此解得： 15127Tt16Tt TtxyB2B1OvWzclxx 梳理知识 拓展考点 归纳方法 提升能力 陶冶情操 高二专题九（2.17）第 3 页 共 8 页由式和对称性可得 60OCM60N 536012MCP所以 9N即弧长 AP 为 1/4 圆周。因此，圆心 在 x 轴
8、上。设速度为最大值粒子的轨道半径为 R，有直角 可得 CO2sin60Ra23R由图可知 OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 1x4、带电粒子在有界磁场中的极值问题寻找产生极值的条件：直径是圆的最大弦；同一圆中大弦对应大的圆心角；由轨迹确定半径的极值。例 4 有一粒子源置于一平面直角坐标原点 O 处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为 m，电量为 e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为 B 的匀强磁场后，都能平行于 x 轴沿+x 方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积 s。解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 Rmv 0/B
9、e 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆 O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心，以 R为半径的圆弧 O1O2On。由于要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆 O2而言，要使电子能平行于 x 轴向右飞出磁场，过 O2作弦的垂线 O2A，则电子必将从点 A 飞出，相当于将此轨迹的圆心 O2沿y 方向平移了半径 R 即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧 O1O2On沿 y 方向向
10、上平移了半径 R 后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧 OAP 示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧 OAP 与弧 OBP 所围。利用正方形 OO1PC 的面积减去扇形 OO1P 的面积即为 OBPC 的面积；即 R2-R 2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为 S2（R 2-R 2/4）（/2 -1）（mv 0/Be） 2。5、带电粒子在复合场中运动问题复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。例 5（07 四川）如图所示，在坐
11、标系 Oxy 的第一象限中存在沿 y 轴正方形的匀强电场，场强大小为 E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A 是 y 轴上的一点，它到座标原点 O 的距离为 h；C 是 x 轴上的一点，到 O 点的距离为 l ，一质量为 m、电荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度沿 x 轴方向从 A 点进入电场区域，继而通过 C 点进入大磁场区域，并再次通过 A 点。此时速度方向与 y 轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：（1）粒子经过 C 点时速度的大小合方向；（2）磁感应强度的大小 B。（1）以 a 表示粒子在电场作用下的加速度，有qE加速度沿 y 轴负方向。设粒子从 A 点进入电场时
12、的初速度为 v0，由 A 点运动到 C 点经历的时间为 t，则有、 21athtvl0 y yEA COWzclxx 梳理知识 拓展考点 归纳方法 提升能力 陶冶情操 高二专题九（2.17）第 4 页 共 8 页由式得 halv20设粒子从点进入磁场时的速度为 v，v 垂直于 x 轴的分量v1 由式得2ahv1 0124qElmh设粒子经过 C 点时的速度方向与 x 轴的夹角为 ，则有tan 10由式得 l2arctn（2）粒子经过 C 点进入磁场后在磁场中作速率为 v 的圆周运动。若圆周的半径为 R，则有RvmqB2设圆心为 P，则 PC 必与过 C 点的速度垂且有 R 。用 表示 与 y
13、轴的夹角，由几PCAPA何关系得 hcos sinsil由式解得 R 224ll由式得 B 21mEhlq6、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解。例 6 在半径为 r 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为 B；一质量为 m 带电+q 的粒子以速度 V 从筒壁 A 处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从 A 处射出；则 B 必须满足什 么条件？带电粒子在磁场中
14、的运动时间分析：由于粒子从 A 处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从 A 处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为 n（不含返回 A 处并从 A 处射出的一次），由图可知其中 n 为大于或等于 2 的整数（当 n1 时即粒子12n必沿圆 O 的直径作直线运动，表示此时 B0）；由图知粒子圆周运动的半径 R，再由粒子在磁场中的运动半径 可求出tatrR qBmvR。1conqmvB粒子在磁场中的运动周期为 ，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得qBmT2，粒子从 A 射入磁场再从 A 沿半径射出磁场的过程中将经过 n+1 段圆弧，故粒子12nWz
15、clxx 梳理知识 拓展考点 归纳方法 提升能力 陶冶情操 高二专题九（2.17）第 5 页 共 8 页运动的总时间为： ，将前面 B 代入 T 后与 共同代入前式得。Tnt2)1(ta2)1(vrTnt7.带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。（1）、磁场范围为圆形例 7 一质
16、量为 m 、带电量为 q 的粒子以速度 v0从 O 点沿 y 轴正方向射入磁感强度为 B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从 b 处穿过 x 轴，速度方向与 轴正向夹角为 30，如图 1 所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从 O 点进入磁场区到达 b 点所经历的时间；（3） b 点的坐标。解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由 点经半个圆周偏转到b 点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到 b 点。可知，其离开磁场时的临界点与 点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图 2，过 b 点逆着速度 v0的方向作虚线，与 y
17、轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于 x 轴上，距 O 点距离和到虚线上 点垂直距离相等的 01点即为圆周运动的圆心，圆的半径 。由 ，得 。弦长 为： ，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为 的一半，即： ， 面积（2）粒子运动的圆心角为 1200，时间 。（3） 距离 ，故 点的坐标为（ ，0）。点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。(2)、磁场范围为矩形例 8 如图 3 所示，直角坐标系 第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质
18、量为 ，电量为 的电子从第一象限的某点 （ ， ）以初速度 沿 轴的负方向开始运动，Wzclxx 梳理知识 拓展考点 归纳方法 提升能力 陶冶情操 高二专题九（2.17）第 6 页 共 8 页经过 轴上的点 （ ，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与 轴、 轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点 O，并沿 轴的正方向运动，不计电子的重力。求（1）电子经过 点的速度 ；（2）该匀强磁场的磁感应强度 和磁场的最小面积 。解析：（1）电子从 点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到 点，可知竖直方向：，水平方向： 。解得 。而 ，所以电子经过 点时
19、的速度为： ，设 与 方向的夹角为 ，可知 ，所以 30 0。（2）如图 4，电子以与 成 30进入第四象限后先沿 做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿 轴向上的速度经过 点。可知圆周运动的圆心 一定在轴上，且点到 O 点的距离与到直线 上 M 点（ M 点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出 点，画出其运动的部分轨迹为弧 MNO，所以磁场的右边界和下边界就确定了。设偏转半径为 ， ，由图知 ，解得 ，方向垂直纸面向里。矩形磁场的长度 ，宽度 。矩形磁场的最小面积为：点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例 1 中运动的逆过程，解题思路相似，关键要注意矩形磁场边界的确
20、定。Wzclxx 梳理知识 拓展考点 归纳方法 提升能力 陶冶情操 高二专题九（2.17）第 7 页 共 8 页(3)、磁场范围为三角形例 9 如图 5，一个质量为 ，带 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC。为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点（ CM CN）垂真于 AC边飞出 ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径 及周期 T；（2）该粒子在磁场里运动的时间 t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；解析：（1）由
21、和 ，得： ， （2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由 M 点作圆周运动到N 点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图 6 作出圆 O，粒子的运动轨迹为弧 GDEF，圆弧在 点与初速度方向相切，在 F 点与出射速度相切。画出三角形 ，其与圆弧在D、 E 两点相切，并与圆 交于 F、 G 两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知FOG60 0，所以粒子偏转的圆心角为 3000，运动的时间 （3）连接 并延长与 交与 点，由图可知， ，点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从
22、AC 边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。(4)、磁场范围为树叶形例 10 在 XOY 平面内有许多电子（质量为 m、电量为 e），从坐标 O 不断以相同速率 V0沿不同方向射入第一象限，如图 7 所示。现加一个垂直于Wzclxx 梳理知识 拓展考点 归纳方法 提升能力 陶冶情操 高二专题九（2.17）第 8 页 共 8 页XOY 平面向内、磁感强度为 B 的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于 轴向 X 正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。解析：电子在磁场中运动半径 是确定
23、的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图 8 所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆 O1和圆 O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆 O2在 轴上方的 个圆弧 odb 就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心，以 R 为半径的圆弧 O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线 O1O2）向上平移一段长度为 的距离即图 9 中的弧 ocb 就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图
24、形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：。还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度 V0与 x 轴夹角为 ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（ x， y），从图 10 中看出，即 （ x0， y0），这是个圆方程，圆心在（0， R）处，圆的 圆弧部分即为磁场区域的下边界。点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。
