1、Ch4 随机变量的数字特征, 数学期望(Expectation),一 加权平均数,例 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数 40 60 70 80 90 100人数 1 6 9 15 7 2,则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,上式也可以写成：,这种计算方法即为40,60,70,80,90和100这六个数的 加权平均数。,其中,现引进 r.v. X表示学生得分，则X有分布律,于是上述平均数可以写成,即取值乘取值的概率相加即得平均值。,这就是 r.v.的数学期望的概念,二.离散型随机变量的数学期望,定义：离散型随机变量X，其分布律为：,即,解,例 某省发行的体育彩票中，有
2、顺序的7个数 字组成一个号码，称为一注，7个数字都是选 自0，1，,9，可以重复，如果彩票一元一 张，且全体不同的号码中只有一个大奖，大奖 可得奖金300万元，扣除20的所得税，问购 买一注时期望盈利是多少？,例 在澳门，有很多人在赌21点时顺便押对子， 其规则如下：庄家从6副牌（52张)扑克中随机 抽取两张，如果你下注a元，当得到的牌为一 对时，庄家赔给你10倍，否则输掉你的赌注， 如果你下注100元，你和庄家在每局中各期望 赢多少元？,例 单点分布（退化分布）,即常数的数学期望为常数。,例 X （01）分布,即 r.v.X的分布律为：PX= c =1,即 r.v.X的分布律为：,例 XB（
3、n，p）二项分布,即 r.v.X的分布律为：,例 X（或）Poisson分布,即 r.v.X的分布律为：,但,所以E(X)不存在！,例 求超几何分布PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,. 的数学期望。,三. 连续型随机变量的数学期望,例 r.v.X的概率密度函数为：,求E(X).,解,例 XU(a，b)均匀分布,求E(X).,解,其概率密度函数为：,例 指数分布,求E(X).,解,X服从参数为的指数分布，其概率密度函数为：,求E(X).,解,其概率密度函数为：,例 正态分布 X N( ),例 r.v.X的概率密度函数为：(Cauthy分布),由于,所以E(X)不存在！,四. 对于 r.v
4、.X的函数的数学期望,Y为 r.v.X的函数，Y=g(X)，g为连续函数,（i）X是离散型随机变量，其分布律为,若,绝对收敛，则有,事实上,（ii）X是连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x),若,绝对收敛，则有,综上有：,若已知 X 的分布以及函数 g(x),可以不必求出Y= g(x)的分布,直接利用上面的公式求出Y的数学期望.,解,例 r.v.X的概率密度函数为：,求E(3X 27X+8).,解,二维 r.v.(X，Y ) ，Z=g(X，Y )，g为连续函数,（i）(X，Y )是离散型随机变量，其分布律为,若,绝对收敛，则有,（ii）(X，Y )是连续型随机变量，其概密为,若,绝对收敛
5、，则有,例 r.v. (X，Y )的概率密度函数为：,求E(XY )，E(X 2+Y 2)。,解,五 数学期望的性质,1. E(aX+b)=,aE(X)+b, a, b为常数;,2. E(X+Y )=,3. 若X与Y 独立，则E(XY )=,E(X )+E(Y );,E(X )E(Y ).,E(X1+ X2+ +Xn )=,E(X1 )+ E(X1 )+ +E(Xn );,E(X1X2 Xn )=,E(X1 ) E(X1 )E(Xn );,若X1, X2 , , Xn 相互独立，则, 方差(Variance or Dispersion),方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。
6、,1.定义 若E(X)存在，则称EXE(X)2 为 r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).,离散型情况,连续型情况,2.推论,D(X )=E(X 2 )E(X )2.,例 单点分布（退化分布）,即常数的方差为零。,例 X （01）分布,即 r.v.X的分布律为：PX= c =1,即 r.v.X的分布律为：,例 XB（n，p）二项分布,即 r.v.X的分布律为：,例 X（或）Poisson分布,即 r.v.X的分布律为：,例 XU(a，b)均匀分布,其概率密度函数为：,例 指数分布,X服从参数为的指数分布，其概率密度函数为：,其概率密度函数为：,例 正态分布 X N( ),3. 方差
7、的性质,(1) D(aX+b)=,a2D(X ), a, b为常数；,(2) 若 X，Y 独立，则 D(X+Y )=,D(X )+D(Y );,(3) D(X )=0,存在常数C，使 PX=C =1, 且C=E(X );,(4) 对任意CR, E(XC)2 D(X ), 且,minE(XC )2=EXE(X )2=D(X ).,若X1, X2 , , Xn 相互独立，则,D(X1+ X2+ +Xn )=,D(X1 )+ D(X1 )+ +D(Xn );,若 X，Y 独立，则 D(XY )=,D(X )+D(Y );,以 X 记 n 重贝努里试验中A发生的次数，则,XB(n，p),若记,若在第
8、i 次试验中 A 发生；,若在第 i 次试验中 A 不发生。,X 0 1,P 1-p p,1,0,E(Xi )=p ,D(Xi )=p(1-p),又 X=X1+ X2 + Xn ,E(X )=E(X1 )+E( X2 ) + E(Xn ),=np ,D(X )=D(X1 )+D( X2 ) + D(Xn ),=np(1-p) .,称为X 的均方差或标准差，其量纲与X的一致。,易知 E(X )=0，D(X )=1., 切比雪夫不等式,若 r.v.X的期望和方差存在，则对任意 0，有,这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。,它有以下几种等价的形式：,记 =D(X ), =E(X ),
9、则对k 0, 有,定理 (Cauchy-Schwarz不等式),若对任意的 r.v. X、Y，若E(X 2) +， E(Y 2) +，则,E(XY )2 E(X 2) E(Y 2),当且仅当PY= kX =1时等号成立，其中k为某常数。,例 已知正常男性成人的血液中，每毫升的白 细胞数量的均值是7300，均方差为700，利用 切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率。, 协方差，相关系数,1.协方差定义(Co-variance) 若 r.v. X的期望 E(X )和Y 的期望 E(Y )存在, 则称 EXE(X )YE(Y )为X与Y的协方差,记为Cov(X, Y ).,
10、即 Cov(X, Y )=EXE(X )YE(Y ).,易有 Cov(X, Y )=E(XY ) E(X )E (Y )。,2.协方差性质,(1) Cov(X, Y ) =,(2) Cov(aX, bY ) =,(3) Cov(X+Y，Z ) =,Cov(Y, X );,abCov(X, Y ),a, b为 常数；,Cov(X, Z )+Cov(Y, Z );,(4) D(X +Y ) =,D(X )+D(Y ) + 2Cov(X, Y ).,3. 相关系数,定义 若 r.v. X，Y的方差和协方差均存在, 且D(X ) 0, D(Y ) 0，则,称为X与Y 的相关系数.,若XY=0，则称X与
11、Y不相关，否则称X与Y 相关。,X与Y 不相关 Cov(X, Y )=0, E(XY )= E(X )E (Y )。,Cov(X, Y ) 称为X与Y 的标准化协方差，,易知,相关系数的性质,(1) |XY|1；,(2) |XY|=1,(3) X与Y 独立，则X与Y 不相关，反之不然。,存在常数a, b 使PX= aY+b =1；,即,独立,不相关,例 设(X, Y )在D=(x, y )：x2+y21上服从均匀分布，则X与Y 不相关，但不是相互独立的。,解,X与Y不相互独立,Notes 对于二元正态分布，其独立性和不相关性是等价的。其它的分布没有这个性质。,例 求二维正态分布的相关系数。,
12、矩、协方差矩阵,矩,1. k 阶原点矩,而E(|X|k)称为X的k阶绝对原点矩；,Ak=E(X k ), k=1, 2, ,2. k 阶中心矩,而E|X-E(X )|k 称为X的k 阶绝对中心矩；,易知 E(X )=A1, D(X ) =B2.,Bk=EXE(X )k, k=1, 2, ,3. k+l 阶混合原点矩,E(X k Y l ), k, l=0, 1, 2, ；,4. k+l 阶混合中心矩,EXE(X )k YE(Y )l , k, l=0, 1, 2, ；,易知 Cov(X, Y )=EXE(X)YE(Y ),是1+1阶混合中心矩。,可见矩对于随机变量而言是一般的数字特征，而数学期
13、望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。,例 设X，Y是两个随机变量，且YaX + b (a0,a,b为常数)，D(X)存在且不为0，求 相关系数。例,几个重要的关系： 对于随机变量X与Y，下列四个命题等价：,例 某车站于每个整数钟点的第5、25、55分钟均有车到达,假设乘客在一个整点内到达是等可能的,求一个乘客等车时间的数学期望。例 设在N张彩票中有a是中奖的，现在某 人买了N张，求他中奖彩票数的数学期望。,例 某公司出口某种产品，每出口一吨可获利 3万元，若积压一吨则亏损2万元。已知国外每 年对此公司的该种产品的需求量X(单位：吨)服 从在1000,3000上的均匀分布，问每年应储备 多少该产品，才能使公司所获利润最大？例,例 在区间0,a上任取两点，求两点间距离的 数学期望。例,协方差矩阵,1.定义 设 X1， , Xn为n个 r.v., 记cij=Cov(Xi, Xj ), i, j =1, 2, , n. 则称由cij 组成的矩阵为 r.v. X1， , Xn 的协方差矩阵C。即,2.协方差矩阵的性质,(1) C=C T, 其中C T为C的转置;,(2) C是非负定矩阵，,即对任意n维实向量 =(1, , n ) T.有 TC 0.,X =(X1，X2)T的概率密度为,
