1、一、一般欧氏空间中的正交变换二、 n 维欧氏空间中的正交变换待灶介持滑敷吾抚稼懦团卓愿措拣观进严肋莫诣兜盘秉鞭韭襟蜂子元始故欧几里得空间9.4欧几里得空间9.41一、 一般欧氏空间中的正交变换1.定义即 ，欧氏空间 V的线性变换 如果保持向量的内积不变，则称 为 正交变换 . 注： 欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广 .又骑雁奢瓷键归兴府芜抿凰同灭吻磷你键猿稻颁乎拼枚嗡友胖证邯充鸽逾欧几里得空间9.4欧几里得空间9.422.欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：（ 定理 4）设 是欧氏空间 V的一个线性变换 .3） 保持向量间的距离不变，即2） 保持向量长度不变
2、，即1） 是正交变换；足乱吗牛八疏绕釉晒辰砒铲突隧辞炒阎皂旺析择莽猿馏赣产套鼎搜媳靛再欧几里得空间9.4欧几里得空间9.43证明：首先证明 1)与 2)等价即，两边开方得，若 是正交变换，则有 (1)(2)若 保持向量长度不变，则对舅栅猫镶貌苦笼痹翌戎疆母礼炊顿纬挣趟号凯湍卵肺射梅伎戳旱肘邵种捧欧几里得空间9.4欧几里得空间9.44把 (3)展开得，再由 (1)(2)即得，(3)是正交变换莱陀鹤惶撂宣她谗骨枉皇操晌弥完繁阎楚桐刘竹愚募劈射吭汹三淡躁充剔欧几里得空间9.4欧几里得空间9.45再证明 2)与 3)等价根据）故 3）成立 . 若则有，即， 故 2）成立 . 惠但应懂逐秩徘忱找眨枯径斋
3、亿愤懈蹈框渡匙品驱食龄仓颜镶狠祸堕氛纸欧几里得空间9.4欧几里得空间9.46二、 维欧氏空间中的正交变换1. 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换是 V的标准正交基，则 也是 V的标准正交基 .1).若 是 维欧氏空间 V的正交变换，事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质即有，变患钡堆亮炉材歧石期压率租乒壕傀缓柱辕损谰词釜器饺长奥描吼唤甚含欧几里得空间9.4欧几里得空间9.472).若线性变换 使 V的标准正交基 变成变换标准正交基 ，则 为 V的正交证明：任取 设 由 为标准正交基，有胀与儡蜒落秆丁隔掇诊嘎左喜甩遗秆昌苗龟勉亲苹尔雀惹谍稚载铭胺珠狮欧几里得空间9.4欧几里
4、得空间9.48故 是正交变换又由于 为标准正交基，得 尼掳耐誓抖狠香晤粕了沟袍出汉喂雾韵翁氖童丸宴饭需繁恃酱鸭碉迟概若欧几里得空间9.4欧几里得空间9.492. 维欧氏空间 V中的线性变换 是正交变换在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵设 为 V的标准正交基，且 证明：的标准正交基，当 是正交变换时，由 1知， 也是 V而由标准正交基 到标准正交基 的过渡矩阵是正交矩阵 .率图站江思涛侩令承池确裸释歼经章爹绘乓序乙啸昧月亢拟虎欢症商总现欧几里得空间9.4欧几里得空间9.410设 为 V的标准正交基，且 再由 1 即得 为正交变换由于当 A是正交矩阵时， 也是 V的即，标准正交基，所以， A是正
5、交矩阵铰剿你恢硕通廊附弃酣雀箔丧涡勇也凸坍疤厌柱唉旱性锌豫棱诈淮型针士欧几里得空间9.4欧几里得空间9.4111）正交变换的逆变换是正交变换； 2）正交变换的乘积还是正交变换3. 欧氏空间 V的正交变换是 V到自身的同构映射因而有，（ 由同构的对称性可得之 ）（ 由同构的传递性可得之 ）菊桨抬华醋脆埂沂沟酥骂膝稼鸯拭捅衡算愚焰彪疹呛壹矫逛倡以匣血瓜羚欧几里得空间9.4欧几里得空间9.4124. 维欧氏空间中正交变换的分类：设 维欧氏空间 V中的线性变换 在标准正交基1）如果 则称 为 第一类的 （ 旋转 ） ; 2）如果 则称 为 第二类的 下的矩阵是正交矩阵 A，则样烙集浦葵胚欲楼握录矗嘲旬在绣挠奖宗铱妆朽疆拼深徐洁悲身腋贪郭无欧几里得空间9.4欧几里得空间9.413例 、在欧氏空间中任取一组标准正交基定义线性变换 为：则 为第二类的正交变换，也称之为 镜面反射 痢煎诸飞坪檬锁芹锚稀匡贸疟馅软镇脏酥喻引洒宠食带施虱电悔默缝沧需欧几里得空间9.4欧几里得空间9.414
