1、1 一 正交向量组 二 标准正交基 三 正交矩阵 2标准正交基 2 设 为欧氏空间 非零向量 若则是正交向量组 正交向量组必是线性无关向量组 一 正交向量组 定义 如果它们两两正交 则称之为正交向量组 注 3 证 设非零向量两两正交 令 则 由知 故线性无关 4 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组 但不是正交向量组 5 维欧氏空间中 由个向量构成的正交向量组 称为正交基 1 标准正交基的定义 由单位向量构成的正交基称为标准正交基 注 由正交基的每个向量单位化 可得到一组标准 正交基 二 标准正交基 6 维欧氏空间V中的一组基为标准正交基 维欧氏空间V中
2、的一组基为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 维欧氏空间V中标准正交基的作用 设为V的一组标准正交基 则 7 i 设 由 1 这里 iii 8 定理1 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基 证 设欧氏空间 中的正交向量组 对作数学归纳法 当时 3 标准正交基的构造 施密特 Schmidt 正交化过程 就是一组正交基了 1 9 使 假设时结论成立 即此时可找到向量 成为一组正交基 现在来看的情形 所以必有向量不能被线性表出 因为 作向量 待定 10 从正交向量组的性质知 于是取 即为正交向量组 由归纳法假设知 对这个向量构成的正交组 可得 可扩充得正交基 于是定理得证 11 2 都可找
3、到一组标准正交基使 证 基本方法 逐个构成出满足要求的 定理2 对于维欧氏空间中任一组基 首先 可取 12 一般地 假定已求出是单位正交的 且 4 当时 因为有 由 4 知不能被线性表出 按定理1证明中的方法 作向量 13 再设 可知是单位正交向量组 从 4 和 5 知与 是等价向量组 因此 有 由归纳原理 定理2得证 则且 14 则过渡矩阵是上三角形 即 注 且 由 知 若 15 Schmidt正交化过程 化成正交向量组 先把线性无关的向量组 再单位化得标准正交向量组 16 例1 把 变成单位正交的向量组 解 令 正交化 17 再单位化 即为所求 18 设与是维欧氏空间V中的 两组标准正交基 它们之间过渡矩阵是 即 4 标准正交基间的基变换 或 由于是标准正交基 所以 6 19 由公式 6 有 7 把A按列分块为 由 7 有 8 20 则称A为正交矩阵 2 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交 矩阵 三 正交矩阵 1 定义 2 简单性质 1 A为正交矩阵 21 3 设是标准正交基 A为正交矩阵 若 则也是标准正交基 4 为正交矩阵 6 为正交矩阵
