1、1,欧几里得空间习题课,基本内容,例题选讲,基本解题方法,2,一、基本内容,首页 上页 下页 返回 结束,1. 基本概念,(1) 内积与欧氏空间概念(4个条件),(2) 向量的长度、距离与夹角,长度：,距离：,夹角：,3,(3) 度量矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,4,(4) 标准正交基,由两两正交的单位向量组成的基.,(5) 正交子空间,(6) 欧氏空间的同构,同构映射保持运算(加法、数乘、内积),首页 上页 下页 返回 结束,5,首页 上页 下页 返回 结束,2. 基本性质,设V为欧氏空间,对于V的内积,有:,关于标准正交基, 有:,(4) 正交向量组是线性无关的.,6,首页 上页 下
2、页 返回 结束,3. 标准正交基下基本度量的表达式,7,首页 上页 下页 返回 结束,8,首页 上页 下页 返回 结束,4. 标准正交基的存在性与正交化方法,9,首页 上页 下页 返回 结束,5. 正交变换与正交矩阵,10,标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;,首页 上页 下页 返回 结束,11,首页 上页 下页 返回 结束,6. 对称变换与对称矩阵,(2) 实对称矩阵的特征值都是实数.,(1) 对称变换的特征值都是实数.,主要结论:,12,首页 上页 下页 返回 结束,13,二、基本解题方法,首页 上页 下页 返回 结束,2. 学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念. 内积实际上是定义
3、在线性空间V上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.,1. 欧氏空间是一个实数域上的线性空间, 对于线性空间的一些基本概念,比如向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.,注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.,14,3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度量性质显得较为简单.,4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得的向量单位化(即标准化).,5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.,首页 上页 下页 返回 结束,
