1、- 1 -第 2 课时 数学归纳法 2008-11-25授课班级：高三（9）班 授课人：林福济教学目标：1.知识目标 （1）再次了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）复习巩固理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。2.能力目标（1）通过对数学归纳法的复习、应用，培养学生 观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析 问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的复习探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困
2、难，勇于探索的精神。（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。教学重难点- 2 -1.重 点（1）理解数学归纳法的原理。（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。（3）会用数学归纳法证明及运用。2.难 点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确。教学方法：类比启发探究式教学方法教学过程：（一） 、 主要知识及主要方法：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法 头htp:/w.xjkygcom126t:
3、/.j特点：特殊一般1.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完2全归纳法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数学归纳法:对于某些与
4、自然数 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：4n先证明当 取第一个值 时命题成立；然后假设当 ( ， )时命题成立，n0 n*kN0n证明当 命题也成立 奎 屯王 新 敞新 疆 这种证明方法就叫做数学归纳法.1k数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数 ，如果当 时，5. 00命题成立，再假设当 ( ， )时，命题成立.(这时命题是否成立不是确nk*Nk0n定的)，根据这个假设，如能推出当 时，命题也成立，那么就可以递推出对所有1不小于 的正整数 ， ，命题都成立.0010用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：6.- 3 -证明：当 取第一个值 结论正确； 假
5、设当 ( ， )时结论正确，1n02nk*Nk0n证明当 时结论也正确 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由 ， 可知，命题对于从 开始的所有正整数 都正k 0确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.用数学归纳法证题时，两步缺一不可； 证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二712凑目标. （二） 、题型讲解：题型一、用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明： 时，nN1135(2)21nn点评：用数学归纳法证明，一是要切实理解原理，二是严格按步骤进行，格式要规范，从 n=k 到 n=k+1 时一定要用归纳假设，否则不合理。变式
6、1.用数学归纳法证明 11123422nn题型二、用数学归纳法证明不等式例 2.证明 11,()Nnn点评：用数学归纳法证明不等式，推导 n=k+1 也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用，在证明的过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩建立关系。同时在数学归纳法证明不等式里应特别注意从 n=k 到 n=k+1 过程中项数的变化量，容易出错。变式 2.若不等式 对一切正整数 都成立，求正整1123124ann n数 的最大值，并证明你的结论。a题型三、用数学归纳法证明整除问题例 3.用数学归纳法证明： 能被 9 整除。(31)7,()nN点评：用数学归纳法证明整除
7、问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩下的式子也能被某式（或数）整除，拼凑式关键。- 4 -变式 3.试证当 为正整数时， 能被 64 整除。n2()389nf题型四、归纳猜想证明例 4.数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na0n1()2nnSanS分析：如何进行猜想？（试值 猜想 ） 学生练习用数学归纳法证明134,S小结：探索性问题的解决过程（试值猜想、归纳证明） 点评：对于探索性命题，特别是数列的问题，它通过观察归纳猜想证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力。变式 4.是否存在常数 使等式,abc对一切正整数
8、成立？222421()()()nnanbc n并证明你的结论。(三） 、小结（师生共同完成）1 数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数 n 的命题。2 数学归纳法证明命题的两个步骤。3 用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。- 5 -4 证明 n=k+1 命题成立时，一定要利用假设。5 证明 n=k+1 命题成立时，首先要明确证明的目标。6 书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“ 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从 n=k 到 n=k+1 时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等（四） 、作业安排：以上变式题的整理及第一方案 P183 知能提升练习（五） 、课后反思：
