1、 圆锥曲线专项训练 双曲线【例题精选】：例 1：双曲线 的两顶点间的距离为 离心率为 。xy21答案：2、分析：双曲线 中， ab1,顶点坐标为 A（1，0）B（1，0）两顶点间距离为 2又 cab2离心率： ec小结：等轴双曲线的离心率是 2例 2：双曲线的两准线间的距离是焦距的 ，则此双曲线的离心率为 35。答案： 153分析：双曲线两准线间的距离为 2ac由题意知： 235acea213小结：双曲线方程含两个参量 a,b，因此确定其方程需要两个独立的条件，但是求离心率则不必先求双曲线方程，只需用 a，b，c ， 间的关系就可导出。2例 3：已知双曲线的渐近线方程是 ，且双曲线过点（3，4
2、），则双yx2曲线的离心率为 ，双曲线的方程为 答案： 12712； yx分析：双曲线的渐近线方程为 yx23设双曲线方程为 xyk2940又双曲线过点（3，4） ，解得 ，92k3双曲线方程为 yx217其中 ab2,c39离心率： ec392小结：当已知渐近线方程 ，求双曲线方程时，由于不知道焦点在ynmxx 轴上还是在 y 轴上，可设方程为 ，若求出的 k 为负值，则说明焦k2点在 y 轴上。与双曲线 其渐近线的双曲线为 时焦xab21xayb20当点在 y 轴上。例 4：已知双曲线的焦距是 6，并且经过 P（4 ，1）点则此双曲线的标准方程是 答案： xyyx2228134104， 或
3、分析：由题意知 c设双曲线的方程为 xab2则ab2291681解 得双曲线的标准方程为 xy2又设双曲线的标准方程为 ab21则ab22916340解 得小结：题目当中没有指明焦点在 x 轴上还是焦点在 y 轴上，所以两种情况都要考虑。例 5：已知双曲线的两个焦点坐标为 F1(0,10), F2(0,10)且一条渐近线方程是 ，则双曲线的标准方程为 430xy答案：261分析：双曲线的两个焦点为： 12001(,),(,)实轴在 y 轴上，且 c=10又一条渐近线为 x43ab43106432 2ab解 得双曲线的标准方程为 yx21小结：本题容易犯的错误是把 写为 要引起注意。ab43例
4、6：已知双曲线经过 ，且与另一双曲线 ，有共同A(,)54xy2916的渐近线，则此双曲线的标准方程是 答案： yx2491分析：设双曲线的方程为 xyk29160则()3549162k解得 k双曲线的标准方程为 xy29164即 yx2491小结：常有同学把这类题目中的“渐近线”错认为“准线”。例 7：已知双曲线的一条渐近线方程是 ，焦点是椭圆340xy与坐标轴的交点，则双曲线的标准方程是 xy2105答案： yx226431961或分析：椭圆 与坐标轴的交点为 A(10 , 0) B(10 , 0) C (0 , 5) xy2105D(0, 5)若双曲线以 A、B 为焦点，设双曲线方程为
5、，xayb21有abab221034643解 得双曲线方程为 xy261若双曲线以 C、D 为焦点，设双曲线方程是 有：yaxb21abab22534916解 得双曲线方程为 yx29例 8：已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是 ，则此双曲线的离心率为 60答案： 或 23分析：两条渐近线所夹的锐角为 渐近线有两种情况。（1）设渐近线方程为 yxba33,则ecab2214（2）设渐近线方程为 yxbaecab312则 ,例 9：直线 被双曲线， 所截得弦的中点坐标是 ，yx1232y弦长是 。答案： ，(,)20分析： 把 代入得 2132x()x24设直线 与双曲线 的两个交点为 ，y123
6、2xyPxy12(,)(,)的中点坐标为 。P12P0(,)由方程知 12xx012()把 代入 中得 y02P0(,)又 x124kx21246012()x例 10：已知关于 x， y 的二次方程 表()()614822mxym示的是双曲线，则 m 的取值范围是 答案： 4681或 或分析：由题意知： ()104682解 得 且4681m或 或例 11：已知双曲线方程为 ，经过它的右焦点 F2，作一条直线，xy269使直线与双曲线恰好有一个交点，则设直线的斜率是 .答案： 34分析：双曲线方程 xy2169abcab225,平行于渐近线的直线，与双曲线有唯一交点， k34例 12：已知双曲线
7、方程为 ，过一点 P(0，1)，作一直线 l，使 lyx24与双曲线无交点，则直线 l 的斜率 k 的集合是 答案： k32分析：设 l 的斜率为 k，则直线的方程为yx1将 代入到双曲线方程中得，整理为()k42k30若 ，则 可知直线 l 与双曲线相交。211故舍去kk210即则方程 是一个一元二次方程且无实数根4103222k()，例 13：双曲线 右支上一点 P 到左右两个焦点的距离之比是xy216953，则 P 点右准线的距离为A B C D545325485答案：D分析：设双曲线的左，右两个焦点分别为 F1、 F2，则 F1( 5, 0), F2(5 , 0)，离心率 e4由题意得
8、知 PF1253设 又 P 点在右支上tt15，a28即 84t,101根据双曲线的第二定义，设 P 点到右准线的距离为 d，则 PF254d2548选 D例 14：已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆相交于点 A(4 , 1)，若圆在点 A 的切线与双曲线的渐近线平行，求xy217此双曲线的方程。解：圆的方程为 ，A(4 , 1)点在圆上xy217过 A 点的圆的切线方程为 417xy又 双曲线的一条渐近线与此切线平行，渐近线方程为 0和设双曲线的方程为 162k将 A(4, 1)的坐标代入得 5所求的双曲线方程为162512xy小结：过圆 上一点 A(x0 , y0)，的圆的切
9、线方程为 .xyk2 xyk02求已知渐近线的双曲线方程：已知渐近线方程为 时，可设双曲线方mxny程为 ，再利用已知条件确定 的值。实质是待定系数法。mn20()例 15：已知双曲线 上有一点 P，焦点为 F1、F 2，且bxayb22，求证：FP12SctgFP12证明：如图 mn,()由双曲线定义知 ac12在 中，根据余弦定理有：PF()osn4122m)(c)412122221cabbSnctgPFosisinco例 16：斜率为 2 的直线 l 被双曲线 截得的弦长为 ，求直xy2351线 l 的方程。解：设直线 l 的方程为 ym将 代入 得yx62x23()整理得 10302(
10、)设直线 l 与双曲线的两个交点坐标为 ，Pxy1(,)xy2(,)xmx1212265,(由 得Pk251421221212xx156430m()解得 22,所求的直线方程是yx23小结：在直线 上两点 ， 间的距离可用公式kxmPy1(,)xy2(,)表示。lk1212yykxkxPykx21 1212212212,()()()()例 17：已知 P 为双曲线 上的动点， Q 是圆 上xy24xy2214()的动点，求 的最小值。Q分析：从圆外一点 P 向圆上各点连线，则连结 P 点与圆心 C，与圆的交点为 Q，线段 PQ 的长最短，所以只须求 的最小值即可。P解：设 P(x，y)为双曲线
11、。 上的任一点，xy24C(0, 2) 是圆 的圆心。221xyPyyR22 2458536()()()又 ，此时 也得到最小值当 时 ，yCminPQ。Qmin120【专项训练】：（45 分钟）1、双曲线 上一点 P，到一个焦点的距离为 12，则 P 到另一个焦点xy2591的距离为2、以 为渐近线，且经过点(1 , 2)的双曲线是 。30xy3、双曲线的离心率 e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 。4、双曲线 的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角为 xy2315、若双曲线 =1 的一条渐近线的倾斜角为锐角 ，则双曲线的离心率为ab2 A B C Dsincoss
12、ectg6、已知双曲线的渐近线方程为 ，一条准线的方程为 ，340xy530y求这双曲线方程 7、与双曲线 共轭的双曲线方程是 ，它们的焦点所在的圆方xy23641程是 。8、双曲线 的离心率 ，则 k 的取值范围是xyk241e(,)12A B C D (,)0(,)30,)0(,)60129、椭圆 与双曲线 的焦点相同，则 a= xya241xay2110、如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点，且 ， ，BAO30SABF263()则设双曲线方程是 11、双曲线的方程是 xy241（1）直线 l 的倾斜角为 ，被双曲线截出的弦长为 ，求直线 l 的方程。831（2）过点
13、 P(3 , 1)作直线 l，使它截出的弦长恰好被点 P 平分，求 l的方程。【答 案】：1、22 或 2，提示：双曲线方程中 ，由曲线定义知a5210,PF210或2、 。49302xy提示：以 为渐近线的双曲线方程可设为 。230xy492xy3、31。提示：由 caca3即 得,4、 2提示：渐近线的斜率为 ，较小的斜率为 ，故得倾斜角为 。3235、C6、 。yx2431提示：因为准线 平行于 x 轴，又中心在原点，所以可设双曲y35线方程为 ，由已知得 ，解得axb21abc3452,ab34,双曲线方程为yx23167、 yx224640提示：根据概念得共轭双曲线方程 ，半焦距yx
14、24361得焦点所在的圆的方程为c30 08、C提示：双曲线方程为 而xykcabk2222411411030,9、 a=提示：由双曲线方程知 a0，焦点在 x 轴上，故有 可得420a110、 xy2931提示：根据双曲线的几何性质知 OAaBbAOFcBA,30于是c2SB12sin()154ca由已知可得142b()()31232bb123123()()b，从而 ，故双曲线方程为 。a9xy911、（1）l 的方程为 yx5（2）l 的方程为 340提示：（1）设 l 的方程 m把 代入双曲线方程，整理得 8122x()在 即()m430 的情况下，设两实根 为 x1 230、x 2，则 x112283,()ABkkxxm14322212122() 。它满足条件 m5所求 l 的方程为 yx5解（2）设 l与双曲线的交点为 要使 P(3, 1)为AxyB(,)(,)12的中 点，应使AB得 把，代入，得()()()xxyy1212121240由 得68012()xyxkAB6834方程为 即 lx34()5y把代入双曲线方程，得 ,直线 l与双曲线有两101402,个交 点，从而 l方程就是 3xy注意：必须验证 l与双曲线确实有两个交点，否则解法就不完整。
