1、1概率论与数理统计习题及答案习题 一1 略.见教材习题参考答案.2.设 A，B ，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生；（3） A，B ，C 都发生； （4） A，B ，C 至少有一个发生；（5） A，B ，C 都不发生； （6） A，B ，C 不都发生；（7） A，B ，C 至多有 2 个发生； （8） A，B ，C 至少有 2 个发生.【解】 （1） A （2） AB （3） ABC（4） AB C= C B A BCA CAB ABC=BABC(5) = (6) (7) BCA CAB CA
2、 B = = (8) ABBCCA= AB A C BCABCB3. 略.见教材习题参考答案4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（ ）.AB【解】P（ ）=1P（AB）=1P( A)P(AB)=10.70.3=0.65.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下 P（AB ）取到最大值？（2） 在什么条件下 P（AB ）取到最小值？【解】 （1） 当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2） 当 AB= 时，P（AB）取到最小值为 0.3.6.设 A，B ，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/
3、4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12 ，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率.2【解】 P（AB C ）=P(A)+P(B)+P(C)P( AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)= + + =143247. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？【解】p= 5321315C/8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 设 A1=五个人的生日都在星期日
4、，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A 1）= =（ ） 5 （亦可用独立性求解，下同）57（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A 2）= =( )567(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A 3）=1P (A1)=1( )59. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示. 23164P22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于 的概率；65（2） 两个数之积小于 的概率.14【解】 设两数为 x,y，则 0正 正（ 甲 乙 ）=（甲 反 1
5、+乙 反 ）=（甲 反 乙 反 ）由对称性知 P（甲 正 乙 正 ）=P（甲 反 乙 反 ）因此 P(甲 正 乙 正 )= 1246. 证明“确定的原则” （Surething）：若 P（A|C ） P(B|C),P(A| )P(B| )，则P（A ）P( B).【证】由 P（A|C）P(B|C),得 ()(),即有 ()()PACB同理由 (|)(|,PACB得 ()(),故 () ()(PACBPCB47.一列火车共有 n 节车厢，有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设 Ai=第 i 节车厢是空的， （i=1,n）,则121(1)()()
6、()nkkikij kiiPAPA 其中 i1,i2,in1 是 1，2，n 中的任 n1 个.显然 n 节车厢全空的概率是零，于是132112111221 11231()C()()C()0()()nnnkki ni kijijn kniiiin niSPASPAPSS 12 1C()(Ckknknn故所求概率为 121()()()kiinnPA 1()C()nk48.设随机试验中，某一事件 A 出现的概率为 0.试证明：不论 0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为 1.【证】在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为 1()1()n49.袋中装有 m 只正品硬
7、币， n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设 A=投掷硬币 r 次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知 (),()Pnn1|),(|)12rPAB则由贝叶斯公式知 ()()|(|)|(|)PAB122rrrmnn:50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又有多少？14【解】以 B1、B 2 记火柴
8、取自不同两盒的事件，则有 .（1）发现一盒已12()PB空，另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2nr 次，设 n 次取自 B1 盒（已空） ，nr 次取自B2 盒，第 2nr+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2nr 次火柴视作 2nr 重贝努里试验，则所求概率为 12 21C()Cnrrnrp:式中 2 反映 B1 与 B2 盒的对称性（即也可以是 B2 盒先取空）.（2） 前 2nr1 次取火柴，有 n1 次取自 B1 盒，nr 次取自 B2 盒，第 2nr 次取自B1 盒，故概率为 1 12 21()()rnrnr nrp 51. 求 n 重贝努里试验中 A 出现奇数次的概率.【解】 设在
9、一次试验中 A 出现的概率为 p.则由0120()CC1nnnnnqqqpq ()Cnnnnp以上两式相减得所求概率为 13nnpq()21n若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.2()npp52.设 A，B 是任意两个随机事件，求 P（ +B） （A+B） （ + ） （A+ ） 的值.B【解】因为（AB）（ ）=A B（ B）（A ）=AB所求 ()()AB ()()AB故所求值为 0.53.设两两相互独立的三事件，A，B 和 C 满足条件：ABC=，P( A)=P(B)=P(C)0,P(A|B)=1,试比较 P(AB)与 P(A)的大小. (2006
10、 研考)解：因为 ()()所以 .)PABPBA习题二171.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律.【解】 352435,1()0.C.()0.6XPX故所求分布律为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；(3).133,1,12222PXPX【解】 315231350,.C()().CPX故 X 的分布律为X
11、0 1 2P 235235135（2） 当 xa 时，F （x ）=1即分布函数240,0()1,xFxaa18.设随机变量 X 在2，5 上服从均匀分布 .现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5 ，即 1,25()30xfx其 他53()dPX故所求概率为 233120C()()7p19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗1()5E口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 PY1.【解】依题意知 ，即其密度
12、函数为1()5XE51e,0()xf该顾客未等到服务而离开的概率为 2510()edxPX,即其分布律为2(5e)Yb225525()C(e),1,3410(e)0.67kkYP20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从 N（40，10 2） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，4 2）.（1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】 （1） 若走第一条路，XN （40，10 2） ，则406(6) (2)0.971x
13、PX25若走第二条路，XN（50，4 2） ，则+506(60) (2.5)09384XP故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若 XN（40，10 2） ，则 05(45) (0.5)6911X若 XN（50，4 2） ，则 4() (.2)XP1(.25)0.16故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN（3，2 2） ，（1） 求 P20;(2) f(x)=.,0,212他b试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】 （1） 由 知()dfx| 02ed2edxaa故 即密度函数为 e,2()0xf当 x0 时 1()()de2xxxFf当 x0 时 00dx1e228故其分布函数 1e,02(),xFx(2) 由 12011()ddbfbx得 b=1即 X 的密度函数为 2,01(),fxx其 他当 x0 时 F（ x）=0当 00 时， (e)(ln)xyPXyln()dyXfx故 2/lnd()11()(ln)e,0yYYxFyffy(2) 2(1P当 y1 时 ()0YFPy当 y1 时 2(1)Xy212yyPX(1)/2dyfx故 111()()422YYXXyyfFyff(1)/12e,yy(3) (0)PY当 y0 时 ()0YFPy当 y0 时 )|()XXy
