1、 学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。 波利亚2.3.2 双曲线的简单几何性质（第一课时）自学目标：1、理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；2、掌握双曲线的标准方程。重点：双曲线的几何性质.由已知双曲线方程求基本量，注意首先将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置难点：双曲线的渐近线一、复习回顾-椭圆的几何性质二、探究互动-双曲线的简单几何性质1范围、对称性 由标准方程 ，从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有12byax图象，从纵的方向来看，随着 x 的增大，y 的绝对值也无限增
2、大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 奎 屯王 新 敞新 疆范围：由双曲线的标准方程得， ，进一步得： 这说明双曲线在不等式 210ba所表示的区域；对称性：以 代 ，方程不变，所以双曲线关于 对称。同理，以 代 ，方程不变x y得双曲线关于 对称，以 代 ，且以 代 ，方程也不变，得双曲线关于 xy对称。 叫做双曲线的中心.顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程 里，令 y=0,得 x= 12bya得到双曲线的顶点坐标为 （ ） （ ） ；我们把 （ ） 1A2 1B（ ）也画在 y 轴上。线段 分别叫做
3、双曲线的实轴2B和虚轴，它们的长分别为 。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有 个顶点，这是两者的又一差异离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率。即 e =_范围_双曲线离心率是是刻画_的量渐近线：直线 叫做双曲线 的渐近线.在方程 中，如果 ，21xyab12byaxba那么双曲线的方程为 ，它的实轴和虚轴长都等于 ，此时渐近线方 程为 22ayxa2，它们相互 ，并且 双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴长和虚轴长的双曲线叫做 。6.等轴双曲线：1）定义： 。 2）等轴双曲线的性质：渐近线方程为： ；渐近线互相 ；两条渐近线的夹角是 e= 3）注意到等轴双曲线的特征 ，则等轴双曲线可以设
4、为： ab )0(2yx当 时交点在 轴，当 时焦点在 轴上。0x0y预习自测:1 求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程29164y2、填表预习自测知识点一：双曲线的性质的应用2.求双曲线 求双曲线 9y24x 236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近 线方程，并作出草图焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程关 系,abc范围 顶点 轴长 实轴长 虚轴长 焦点 焦距 |对称性 对称轴 对称中心 离心率 e= 渐近线 学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。 波利亚题型二 用双
5、曲线的性质求双曲线方程：例 2求与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线的方程.24xy(2,)M说明：（1）与双曲线 （ ）有共同渐近线的所有双曲线方程设为 （21xymn02xymn）0（2） 0-以 直 线 或 为 渐 近 线 的 双 曲 线 标 准 方 程练习：与双曲线 有共同的渐近线且经过点 的双曲线方程是 2143yx(3,2)M当堂检测 3求中心在原点，一条渐近线方程为 ，且一焦点为 的双曲线标准方程。0xy(4,0)4已知双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 12，求它的标准方程。23yx【合作探究 展示点评1.双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线为 y=x，则双曲线方程为（
6、 ）164yx2（A） （B） （C） （D）9260x280yx224xy22.双曲线的渐近线为 ，则双曲线的离心率是（ ）43y（A） （B）2 （C） 或 （D） 或54525313.已知双曲线的离心率为 2，焦点是（-4，0） ， （4，0） ，则双曲线的方程为（ ）（A） （B） （C） （D） 、1y-4x214y-x16y-x210y-x24.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为（0，2） ，则双曲线的标准方程为（ ） （A） （B） （C） （D）-24-8-214y-x25.焦点为（0，6）且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为（ ）1yx2（A）
7、 （B） （C） （D）124y-x4-2x-212y-46 设 P 是双曲线 =1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2y=0，F 1、F 2 分别是双曲线的a9左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于（ ） A.1 或 5 B.6 C.7 D.97 已知双曲线 C : - =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 （ ）2xybA - =1 B - =1 C - =1 D - =1205250280xy20x8y8.已知双曲线 2xa- y=1 的右焦点为 ,则该双曲线的离心率等于(3)A 314B 24C 2D 43 9.已知 为双曲线
8、 的左,右焦点,点 在 上, ,则 2,F2xyP12|FP12cosF10.已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线,且 的右)0(1:1baC64:2yxC焦点为 ,则 _, _.(50)1.1.线 x2 y2 =1,点 F1,F2为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点 ,若 P F1PF 2,则P F1+P F2的值为_.12.若双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的焦点是 m-4x23y13.已知双曲线 的离心率为 2，则双曲线的渐近线方程 。13xay2 拓展提高14.已知双曲线 （a0,b0）的离心率 e= ，过 A（0，-b）和 B（a，0）的直线与原b-23点的距离为 ，求此曲线的方程
9、。3学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。 波利亚9.如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求点 的,Mxy5,0Fl165x54M轨迹方程练习 2：求与双曲线 有公共渐近线，且过点 M(2,-2)的双曲线2yx2方程.小结：知识点三:点的轨迹方程的求法例 3：如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求点,Mxy5,0Fl165x54的轨迹方程练习 3.已知 ABC 的底边 BC 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使2（sinB-sinC）=sinA，求点 A 的轨迹。知识点四：直线与双
10、曲线的位置关系例四过点（0，3）的直线 l 与双曲线 ,只有一个公共点，求直线 l 的方程.1342yx四、课堂小结1.由已知双曲线方程求基本量，注意首先将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置。2渐近线是刻划双曲线的一个重要概念。渐近线为 0xyab的双曲线方程可设为2(0)xyab，若与21xyab有共同的渐近线也可以设出双曲线系2(0)xyab 知识拓展1.求与双曲线2193xy有共同的渐近线，并且经过点 (3,4)的双曲线方程9.（2002 年全国，19）设点 P 到点 M（1，0）、N（1，0）距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围.2求与双曲
11、线 有公共渐近线，且过点 M(2,-2)的双曲线方程.2yx21 已 知双曲线的焦点在 x轴上，方程为 ，两顶点的距离为8，一渐近线上有点 A( 8,6) 12byax，试求此双曲线的方程1）在三角形 ABC 中：设 ,sin21isn)0,4(,( CBABA若 求顶点 C 的轨迹方程。例 2、（2002 年全国，19）设点 P 到点 M（1，0）、N（1，0）距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围.剖析：由|PM| | PN|=2m，得 |PM|PN|=2|m |.知点 P 的轨迹是双曲线，由点 P 到 x 轴、y 轴距离之比为 2，知点 P 的轨迹是直线，
12、由交轨法求得点 P 的坐标，进而可求得 m 的取值 范围.学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。 波利亚解：设点 P 的坐标为（x ，y ），依题意得 =2，即 y=2x（x0）. |x因此，点 P（x ，y ）、M（1，0）、N （1，0）三点不共线，得| PM|PN|0，00， 15m 20.解得 0|m| ，即 m 的取值范围为（ ， 0）（0， ）.55评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.设 P 是双曲线 =1 上一点，双曲线的一条渐近
13、线方程为 3x2y=0，F 1、F 2 分别是双曲2ax9y线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则 |PF2|等于A.1 或 5 B.6 C.7 D.92. （2012 年高考（湖南文） 已知双曲线 C : - =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,2xayb则 C 的方程为 （ ）A - =1 B - =1 C - =1 D - =120x5y25x0y280xy20x8y3. （2012 年高考（福建文）已知双曲线2a- 5=1 的右焦点为 ,则该双曲线的离心率等于(3)A 314B 34C 2D 4 4. （2012 年高考（大纲文）已知 为双曲线 的左,右焦点,
14、点 在 上,12,FxyPC,则 （ ）12|PF12cosFPA B C D43534455. （2012 年高考（天津文）已知双曲线 与双曲线 有)0,(1:21bayx 16:22yxC相同的渐近线,且 的右焦点为 ,则 _, _.1C(50)F6. （2012 年高考（辽宁文）已知双曲线 x2 y2 =1,点 F1,F2为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P F1PF2,则P F 1+P F 2的值为_.1 已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ A ）(40)， (， 24xy21xy216xy2160xy2 平面直角坐标系 中，双曲线中心在原点，焦点在 轴上，
15、一条渐近线方程为 ，则它O的离心率为（A）A B C D5523210 已知双曲线 的离心率 一个焦点到一条渐近线的距离为 6，则其焦21(0,)xyab5,4e距等于 2011 已知双曲线 的右焦点分别为 、 ，点 在双曲线上的左支上且 ，1692yx1F2P321PF则 =_ 21PF 22 已知 点 P 是双曲线 右 支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点， 为)0,(2bayx 12,FI 的内心，若 成立，则 的值为 （ B ） 12 2121 FIIPFI SSA. B. C. D.abababa3 若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 和 ，而 是这两12nymx)0(12tysx)0,
16、(ts1F2P学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。 波利亚条曲线的一个交点，则 的值是(A ) A B C 21PF sm)(21s2smD sm6 已知椭圆21(0)6xy和双曲线21(0)9xyn有相同的焦点 F1、F 2，点 P 为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF 1|PF2|的值是 25已知双曲线21:.4yCx(1)求与双曲线 有相同的焦点,且过点 的双曲线 的标准方程;(4,3)P2C(2)直线 分别交双曲线 的两条渐近线于 两点.当 时,求实数:lym1CAB、 3OA的值.学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。 波利亚
