1、3.1变化率与导数,为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数.随着对函数的研究的不断深化，在十七世纪中叶产生了微积分，它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.,微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二、求曲线的切线；三、求函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.,几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰.终于，在十七世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想
2、象力，各自独立地创立了微积分.,（1646.7.1 1716.11.14）,（1643.1.4 1727.3.31）,牛顿、莱布尼兹发明微积分：,自笛卡儿创立解析几何之后，变量进入数学。下一个划时代的数学成就便是微积分的诞生。,费尔玛是最早应用了微分学方法的一位学者。1629年，他在求最大值最小值的方法一文中，用一个例子说明他的方法。,问题是：已知一条线段，要求出其上一点，使被该点分成的直线段的两部分，所构成的矩形面积最大。,他设线段长为B，一部分为A，另一部分为B-A，矩形面积为AB-A2,然后用A+E代A,令一部分为B-A-E,矩形面积遂成为（A+E）(B-A-E).费尔玛认为，当A的长度
3、恰为最大值时，这两个值应相等（运用了几何观察），即（A+E）(B-A-E) AB-A2。这可整理为BE-2AE-E2=0,约去E，得B2AE，略去E，得B=2A。这就是说正方形将获得最大面积。,这一想法，与微分学的想法非常接近。,英国数学家巴罗，是牛顿的老师。他提出用微分三角形来求切线，其基本思想和费尔玛差不多，也是先将x扩充为x+ ,然后带入函数，最后再略去 。,积分学的工作，由求面积开始。阿基米德就求过抛物线下的弓形面积。刘徽的割圆术，也是同一思想。更有系统的工作的由开普勒，把曲边形看边数无限增大的直线形，圆的面积就是无穷多个三角形的面积之和。意大利数学家卡瓦列里把曲线看成无限多条线段拼成
4、的。这些，都为微积分学的诞生做了思想上的准备。,牛顿关于微积分的手稿表明，他在1665年已经用“0”表示无限小增量，求出瞬时变化率。后来，牛顿把变量x称为流量，x的瞬时变化率称为流数，整个微积分学就称为流数术。1687年牛顿发表了他的巨著自然哲学的数学原理，该书是第一本公开载有牛顿微积分思想的书。他的第一部关于微积分的专著运用无穷多项的分析学发表在1669年。,莱布尼兹在1675年到1676年间发明了无穷小算法。他通过几何上求曲线切线的研究得到一般的微分理论。把切线斜率看成是无限小增量dy和dx之比。他引用符号 表示变量的求和过程，并看到d和 是互逆的运算。1676年，他给出了一般性的法则：,
5、牛顿从力学着眼，考虑变量的运动速度流数。莱布尼兹则从几何上入手，偏重运算法则的探讨。他发明的符号d和 一直沿用至今。,牛顿、莱布尼兹超越前人的贡献，不是在于发现求切线和求面积的具体方法，而是给出了一般的无穷小算法，同时又找出了微分和积分之间的互逆关系。这一深刻的思想，已成为人类文明中的瑰宝。,导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.,本章我们将利用丰富的背景与大量实例，学习导数的基本概念与思想方法.,问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,
6、随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数,那么,思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函
7、数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均变化率定义:,若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样f=y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,1、式子中x 、 y 的值可正、可负，但 x的值不能为0， y 的值可以为0,2、若函数f (x)为常函数时， y =0,理解,3、变式:,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步
8、骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,思考,f (x2)-f (x1),x2-x1,直线AB的斜率,例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1上的平均变化率 ；,(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。,(1)解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2,(2)解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2,练习,3.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3
9、 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x,D,A,做两个题吧!,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 、 3 B、 3x-(x)2C 、 3-(x)2 D 、3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x,练习：,5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,二新课讲授1瞬
10、时速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:,求函数的改变量2. 求平均变化率3. 求值,一差、二比、三极限,例1.求y=x2在点x=1处的导数
11、,解：,f (x) = x2 7x+15 ( 0x8 ) . 计算x=2和x=6时的导数.,根据导数的定义,所以,同理可得,例1,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,什么是导函数?,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,1.曲线的切线,如图,曲线C是函数y= f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ
12、的倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用
13、切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.,变式: 设f(x)为可导函数，且满足 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=3x-4.,练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,练习,练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和,例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量x的形式是多样的,但不论x 选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,
