1、第 4 讲 指数与对数函数【例 1】解答下述问题：（1）计算：22110.5 0.253322()()(8)(0.)(.3)689解析原式= 421454792)7(052394 （2）计算 .1lg236.l16lg)82解析分子= ；3)2lg5(l3)(5 分母= ； 原式= .406l01l)2(l （3）化简： .)2(48532332324 aabab解析原式= 5132132131231 )()()(a .336153131 aab（4）已知： 值.log,8,9log308求a解析 5,1b.abb 2)()3l18(l96ll236l 1880【例 2】解答下述问题：（1）已
2、知 ，求证：ogogxxca且 aclog2(解析 ，0log,l2ll xbaa2l)1(logl cbcc aaaa = baacblog2log)(l)(（2）若 ，求 的值.0l)(ll yxyxx )(l2xy解析去分母得 0)lg()l(g22yxyx，10)l(yx、 是二次方程 的两实根，且 ，2t yxyx,1,0解得 ，51t )(log,215, 2yx【例 3】已知 是奇函数 （其中 ，1log)(mxfa a（1）求 的值；m（2）讨论 的单调性；f（3）当 定义域区间为 时， 的值域为 ，求 的值.)()2,()(xf),1(解析（1） 0loglog1log2 x
3、mxff aaa对定义域内的任意 恒成立， ，10)(22 xm当 不是奇函数， ，)1(0)xfm时（2） 定义域为 ，,loga ),1(),(设 ，任取 ，1)(xg221x或，0)1(21122 x，结论同上；)(1（3） 上为减函数，,)(,3,afax在命题等价于 ，即 ，解得f 04log2a.2a【例 4】对于函数 ，解答下述问题：)32(l)(1axxf（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在 内有意义，求实数 a 的取值范围；),（4）若函数的定义域为 ，求实数 a 的值；),3(1,(（5）若函数
4、的值域为 ，求实数 a 的值；（6）若函数在 内为增函数，求实数 a 的取值范围.,解答记 ，222)()(xxgu（1） 恒成立， ，R对0303min au的取值范围是 ；a)3,(（2）这是一个较难理解的问题。从“ 的值域为 R”，这点思考， “ 的xalogu21log值域为 R”等价于“ 能取遍 的一切值 ”，或理解为“ 的值域)(xgu),0()(x包含了区间 ”， 的值域为),0(),0(),2命题等价于 ，332min a或a 的取值范围是 ；),(（3）应注意“在 内有意义”与定义域的概念是不同的，)1命题等价于“ 恒成立” ，应按 的对称轴 分类，,10xgu对 )(xga
5、0，31224)1( aaaga 或或的取值范围是 ；)3,(（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式 的解集为 ，02x31|x或是方程 的两根，,102ax即 a 的值为 2；,321a（5）由对数函数性质易知： 的值域为 ，由此学生很容易得 ，)(g),2)(xg但这是不正确的.因为“ ”与“ 的值域为 ”并不等价，后者要求)(xx能取遍 的一切值（而且不能多取）.)(xg, 的值域是 ，,32a命题等价于 ；1)(minag即 a 的值为1；（6）命题等价于： ，0)1(,(0)(, gaxx恒 成 立对 为 减 函 数在即 ，得 a 的取值范围是 .2)2,1【例 5】解答下述问题：
6、（）设集合 ，03logl|821xxA若当 时，函数 的最大值为 2，x4)(2fa求实数 a 的值.解析 3log1|03log7l2| 22 xxA 82|x而 ，axf )(l)(og) 2令 ，321,8,log2 txtx，其对称轴 ，af )()(22at当 ，即 ，适合；47at 1)(maxgt时当 ，适合；631),23,2 a时即综上， .61或a（）若函数 在区间0，2 上的最大值为 9，求实数 a 的274)(21xxaf值.解析 ，)(2xxf令 ，41,0,2ttx ),41(27)(272)( 2tatatgf抛物线 的对称轴为 ，当 ，不合；583943)()
7、(,5max gfa时当 时， ，适合；21a综上， 【例 6】设关于 的方程 R） ，xbx(024（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.解析（1）原方程为 ，1x，1)()2(421 xx时方程有实数解；,b当（2）当 时， ，方程有唯一解 ；x 0x当 时， .bb1)(2的解为 ；xx ,01,0 )1(log2b令 ,b的解为 ；x,时当 l2x综合、，得1）当 时原方程有两解： ；0)1(ogb2）当 时，原方程有唯一解 ；1b或 l23）当 时，原方程无解.1b训练题一、选择题：1若 N*，则 （ ）n 1241
8、24nnA2 B C Dn22若 ，则 （ ）)3log4l()3log(l3logl 344349x xA4 B 16 C256 D813当 时， 的大小关系是（ ）10aa,A BaaaC Da4若 ，则 a 的取值范围是（ ）32logA B1 2310a或C D 或5函数 的定义域为1，2 ，则函数 的定义域为（ ）)2(xfy )(log2xfyA0，1 B 1，2 C2，4 D4 ，16二、填空题：6计算 .3log22450lgl7函数 是减函数，则实数 a 的取值范围是 .xaxf)1()8若 ，则实数 k 的取值范围是 .o1(k9已知函数 的值域为 R，则实数 a 的取值范
9、)1,0)(lo) xfa且围是 .三、解答题：10已知 的值. 421)3)(,31aa求11已知函数 ，)0,)(lg()bbxfx（1）求 的定义域；(（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于 x 轴？（3）当 a、b 满足什么条件时 恰在 取正值.)(f),112在函数 的图象上有 A、B、C,1(logxy三点，它们的横坐标分别为 、 、 ，若m24ABC 的面积为 S，求函数 的值域.)(f15已知函数 ，)101log)(l)( axxxf aa 且（1）讨论 的奇偶性与单调性；（2）若不等式 的解集为 的值2|f 求,2|作案与解析一、选择题：1.A 2.C 3.
10、B 4.D 5.D 6.A二、填空题710 8 9 10)2,0(),(），（ 10),(41，（），（ 11 ，7131aaa，4749)(22)()(1 2121213 aa ，86)(而 ，51211244 aaa.055)37()8(原 式12 （1） ，1)(0xxx bb又 ，故函数的定义域是 .,1a),0(（2）问题的结论取决于 的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法：)(xf求导，运用单调性定义，复合分析，但以方法最好.（解一）求导得： ，),lnl(lgbabaef xxx 10a， ，0lnba,l,0lnl xx而在定义域内单调递增，故不存在所述两点；)(,)(fxf
11、（解二）任取 ，则 ，012x 12lg)(12xbaxff，00 121212 xxxxbaba即 在定义域内单调递增，故不存在所述两点；),(12fxf(f（3） 在 单调递增，命题等价于： ，）， )(fa13 )(1log)(,(2xpxfp，4)1(1log 222 x（1）当 ，即 时， ；3plog,)(2pxf值 域 为（2）当 ，即 时， 上单调递减，p )1在， 值域为 .)1(2log)(fxf )(f)1(l,(214设 A、B、C 在 轴上的射影分别为 A1、B 2、C 1，BASSm1 梯 形梯 形梯 形 )4(log)(l)(llog maaaa，)1(og422
12、 令 ，)2()(u，591,540,4142 uum的值域为)(,fSa).9log(a15 （1） 定义域为 为奇函数；)(,0xf)(;1,xf，求导得 ，xf1log)(2 exef aalog12log)( 当 时， 在定义域内为增函数；a,)(xf当 时， 在定义域内为减函数；00f（2）当 时， 在定义域内为增函数且为奇函数，f；3,23log,1)2(afa得命 题当 在定义域内为减函数且为奇函数，0xa时；3,21log,)21( afa得命 题（3） )1(l yyya xxxyR） ；fexy (1)(,1（4） ，mxfaf 12)(,23,) 1；当 时，不等式解集为 R；mx(2当 时，得 ，1x12不等式的解集为 ；log|当 x,时
