1、迭代法最佳松弛因子的选取一、问题提出:针对矩阵 ，b=24;30;-24,用 SOR 迭代求解。并选出最佳松4301A弛因子。理论分析 。做出 关于 函221.4()0.65J()L数的图像。二、理论基础选取分裂矩阵 M 为带参数的下三角矩阵 ,)(1wLDM其中 w0 为可选择的松弛因子.于是,由 (k=0,1,)可构造一个迭代法,其迭代矩阵fBxkk)()1(0初 始 向 量为 AwLDILw= ).)1()(U从而得到解 Ax=b 的主次逐次超松弛迭代法.解 Ax=b 的 SOR 方法为(k=0,1,) (1)fBxkk)()1(0初 始 向 量其中= （2）wL).)()(1wUDbf
2、下面给出解 Ax=b 的 SOR 迭代法的分量计算公式.记,),.,()()1) Tknkikk xx由(1)式可得,)()( ()1( wbUDwwLDkk （3）).()()1()()1( kk xLxbx由此,得到解 Ax=b 的 SOR 方法的计算公式(4).),10;,.21( /)(,),.(1(1)0()01)0为 松 弛 因 子wkni axxabx iij nijkjkjkiki Tn或(5).,.)10;,21( )/,),.(.1()()10(0为 松 弛 因 子wkni axxabxij nijikjkjikki Tn 若要求选取出最佳松弛因子，则有两种方法：1、 给出
3、 的最佳范围，当取不同的 值时，会求出不同的谱半径 R 的值，然w后判断出值最小的谱半径。那么这个最小的谱半径所对应的 ，即为所求w最佳松弛因子。2、 给出 的最佳范围，当取不同的 值时，由（2）式进行迭代，看它们在相w同精度范围内的迭代次数，找出迭代次数最低的那一个，其所应用的 即为最佳松弛因子。三、实验内容：松弛因子、谱半径和迭代次数的关系：w 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.04 1.06 1.07R 0.6250 0.6174 0.6096 0.6016 0.5933 0.5848 0.5760 0.5669h 31 30 30 29 28 27 26 26w 1.08
4、 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15R 0.5575 0.5478 0.5377 0.5271 0.5161 0.5046 0.4924 0.4797h 25 25 24 23 23 22 21 21w 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23R 0.4661 0.4516 0.4359 0.4189 0.4000 0.3786 0.3532 0.3205h 20 19 19 18 17 16 15 15w 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30R 0.2560 0.2500 0.2600 0
5、.2700 0.2800 0.2900 0.3000h 14 15 15 15 15 15 15从表格中可以看出，迭代次数随着松弛因子的增长而呈现先减后增的趋势，当谱半径最小时，其迭代次数最小。则表示出谱半径最小时，其松弛因子为最佳松弛因子。w 和 R 的关系图如下：1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.40.20.250.30.350.40.450.50.550.60.65图像中，其横坐标表示松弛因子，纵坐标表示谱半径。从图中可以看出，随着松弛因子的增长，谱半径先是呈递减趋势，当达到最小值 1.24 时，呈上升趋势。四、结果分析：通过这次的实验，我们知道了关
6、于怎样选取最佳松弛因子的方法和理论。了解了最佳松弛因子与系数矩阵谱半径之间的关系，即谱半径越小那么其所对应的松弛因子越佳，且迭代次数越小。所得结果与理论结果相符，即最佳松弛因子是 1.24，表格及图象显示出，越接近理论值，误差越小！参考文献1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。2.数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。3.数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。4.数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社。附录：程序如下：A=4,3,0;3,4,-1;0,-1,4; %系数矩阵%b=24;30;-24;D=diag(d
7、iag(A); %A 的对角矩阵%U=-triu(A,1) ; %A 上三角矩阵%L=-tril(A,-1); %A 的下三角矩阵%m=;t=; %创建两个空矩阵分别存放相对应的谱半径和记录迭代次数%for w=1:0.01:1.3; %取 w 的值%q=(D-w*L);p=inv(q); %求 q 的逆 %lw=p*(1-w)*D+w*U); %求得迭代矩阵%V=eig(lw); %计算迭代矩阵的特征向量%R=max(abs(V); %找出绝对值最大的谱半径 %m=m,R;plot(w,R,o); %画出 w 和 R 的关系图%hold onf=(D-w*L)b*w;x0=0;0;0; %取迭代初值%y=lw*x0+f; n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 %迭代条件%f=(D-w*L)b*w;x0=y;y=lw*x0+f;n=n+1;endt=t,n;endh,k=min(t); %h 记录最小的迭代次数，k 记录第几个数最小 %求解过程g=1.0+(k-1)*0.01;f=(D-g*L)b*g;y=lw*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6;f=(D-g*L)b*g;x0=y;y=lw*x0+f;n=n+1;endy,h,g %y 是解 g 是最佳松弛因子%
