1、1.2 应用举例第 1 课时 距离和高度问题课后篇巩固探究1.(2017河南郑州一中期中考试) 如图,要测量某湖泊两侧 A,B 两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定 A,B 两点间的距离的是( )A.角 A,B 和边 b B.角 A,B 和边 aC.边 a,b 和角 C D.边 a,b 和角 A解析 根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选 D.答案 D2.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为,设 为坡角,那么 cos 等于( )A. B. C. D.解析 由题意,知 tan =.因为 0 ,得 cos =,故选 B.2答案 B3.如图,在河岸
2、一侧取 A,B 两点,在河岸另一侧取一点 C,若 AB=12 m,借助测角仪测得CAB=45,CBA=60,则 C 处河面宽 CD 为( )A.6(3+ )m B.6(3- )m3 3C.6(3+2 )m D.6(3-2 )m3 3解析 由AB=AD+BD= CD=12CD=6(60= (90-60),45= (90-45)=33,= (1+33)3- )m,故选 B.3答案 B4.如图,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得点 A 的仰角分别是 ,(),则点 A 离地面的高度 AB 等于( )A. B.(-) (-)C. D.(-) (-)解析 在ADC 中,DAC
3、=-.由正弦定理,得 ,(-)= AC= , AB=ACsin = .(-) (-)答案 A5. 导学号 04994010 如图,地平面上有一根旗杆 OP,为了测得它的高度 h,在地面上取一基线 AB,AB=20 m,在 A 处测得点 P 的仰角OAP=30,在 B 处测得点 P 的仰角OBP= 45,又测得AOB=60,则旗杆的高度为( )A.20( )m B. m32204- 2C. m D.10( )m204- 33+2解析 由已知,得 AO= h,BO=h,则在 ABO 中,由余弦定理,得 AB2=AO2+BO2-2AOBOcos 360,即 400=3h2+h2- h2,解得 h=
4、(m).3204- 3答案 C6.(2017陕西西安铁一中月考) 江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船 ,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为 45与 60,且两条船与炮台底部的连线成 30角,则两条船之间的距离为 m. 解析 设炮台顶部为 A,两条船分别为 B,C,炮台底部为 D(如图), 则BAD=45,CAD= 30,BDC=30,AD=30 m.在 RtABD 与 RtACD 中,tan 45= ,tan 30= , C则 DB=30 m,DC=10 m.3在DBC 中,由余弦定理,得 BC2=DB2+DC2-2DBDCcos 30,即 BC2=30+(10 )2-230103,解得
5、BC=10 m.332 3答案 10 37.台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 km 处,B 城市处于危险区内的持续时间为 小时. 解析 设 t 小时时,B 城市恰好处于危险区,则由余弦定理,得(20t) 2+402-220t40cos 45=302,即 4t2-8 t+7=0, t1+t2=2 ,t1t2=.故|t 1-t2|= =1.2 2(1+2)2-412=(22)2-474答案 18.(2017湖北黄冈中学月考)如图 ,某炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面 C 处和D 处,
6、已知 CD=6 000 m,ACD= 45,ADC= 75,目标出现于地面 B 处,测得BCD=30,BDC=15,求炮兵阵地与目标的距离 .解 由ACD=45,ADC=75,得CAD=60.在ACD 中,由正弦定理,得 ,则 AD= CD.在 BCD 中,可得60= 45 63CBD=135,由正弦定理,得 BD= CD.又ADB=ADC+BDC= 75+15=90,连接30135=22AB,则在ABD 中,AD= CD= 6 000=1 000 (m).2+2=426 426 42故炮兵阵地与目标的距离为 1 000 m.429. 导学号 04994011 如图,A,B ,C,D 都在同一
7、个铅垂面内( 与水平面垂直的平面),B,D 为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于 A 处测得点 B 和点 D 的仰角分别为 75,30,于 C处测得点 B 和点 D 的仰角均为 60,AC=1 km,求点 B,D 间的距离.解 (方法一) 在ACD 中,ADC=60-DAC=60-30=30.由正弦定理,得 AD=.12030=3在ABC 中,ABC=75-60= 15,ACB=60,由正弦定理,得 AB= .在ADB 中 ,BAD=180- 75-30=75,由6015=32+62余弦定理,得 BD= 2+2-275= .即点 B,D 间的距离为(32+62 )2+3-232+62 375=32+62km.32+62(方法二) 如图,过点 D 作 DH 垂直于水平线于点 H,过点 B 作 BE 垂直于水平线于点 E,记 AD与 BC 的交点为 M.由外角定理,得CDA=DCH-DAC=60-30=30,所以DAC=DCH-CDA=30,所以 AC=DC.又易知MCD= MCA= 60,所以AMCDMC,所以 M 为 AD 的中点,所以 BA=BD.又 AB= ,6015=32+62所以 BD= .32+62所以点 B,D 间的距离为 km.32+62
