1、习题课 4. 第一(二)型曲线(面)积分、数量函数积分的应用1一. 习题 1. , 其中 L 为圆弧 y = (a 0)与直线 y = x 在第一象限所围成的扇形2()dxyLesA2x区域的边界. 2. , 其中 L 为椭圆 2x2 + y2 = 1, n 为 L 的外法向量, f (x, y) = (x 2)2 + y2. dLfsAn3. 求圆柱面 x2 + y2 = R2 (R 0)与 x2 + z2 = R2 所围立体的表面积. 4. 求曲面 z = 1 x2 y2 在 z 0 部分的面积. 5. 求中心在原点, 半径为 R 的球面的质量, 其面密度函数为 = y2 + z2. 6.
2、 求上半球面 z = 与锥面 x2 + y2 = z2 所围均匀立体的质心. 22axy7. 求上半球面 z = 与旋转抛物面 x2 + y2 = 2az 所围均匀立体的质心. 223axy8. 求密度 = 1 的曲线 = asin2 (a 0, 0 /2)对原点的转动惯量.习题课 4. 第一(二)型曲线(面)积分、数量函数积分的应用2二.往年期中/末期考试题. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 习题课 4. 第一(二)型曲线(面)积分、数量函数积分的应用37. 8. 9. 习题课 4. 第一(二)型曲线(面)积分、数量函数积分的应用410. 11. 12. 习题课 4. 第一(二)型曲线(
3、面)积分、数量函数积分的应用513. 设 L 为圆锥螺线 x = tcost, y = tsint, z = t (0 t 1) , 则 = _.Lszd解: = = =szd10 22d1)cos(in)si(cot 02t102)(tt= = = .32u32/1 14. 圆柱面 x2+z2 = a2 被圆柱面 x2+y2 = a2 所截部分的面积为 A.(A) 8a2, (B) 4a2, (C) 2a2, (D) a2.解: 由图形的对称性可知圆柱面 x2+z2 = a2 被圆柱面 x2+y2 = a2.所截部分的面积为它位于第一卦限内的部分的面积 S 的 8 倍.下面用两种方法计算 S
4、.(法一) 在 xOy 平面内的投影 Dxy, 的方程为 , (x, y) Dxy,2azS = ,xyDzAd1d2xyyxzd)(12xyDa2d令 , 则 Dxy: , sincoa0/S = = = = a2.xyDa2 222/ cos 2/ 0cos1ina(法二) 在 xOz 平面内的投影曲线记为 L: (0 /2), 则inzxS = = = a2.Lsd2/ 0dcos因此圆柱面 x2+z2 = a2 被圆柱面 x2+y2 = a2 所截部分的面积为 8a2.15. 计算 , 其中为半球面 的上侧.)4(yz9yxz习题课 4. 第一(二)型曲线(面)积分、数量函数积分的应用6-1 0 1-1 01024解: 原式 = =xzyd31zxDxzd9322令 z = cos, x = sin, (/2/2, 03), 则原式= =zxD9223 22/ dcos9= = .3 02d44716. 设计算 ,其中 C 是曲线 , 从 z 轴正向往 z 轴负向zyxzyCd)()()(22yx看去, C 的方向是逆时针方向.解: x = cost, y = sint, z = 2 cost + sint, 0 t 2. 原式= 20 d)sin)(cosi(cos)ins(sin)co( ttt= . d t
