有源RC滤波器.pdf

1、1 实验 10 有源 RC 滤波 器 1. 实验目 的 学习使 用运 放组 成 RC 低 通、高 通、 带通 和带 阻滤 波电路 的二 阶基 本节 。了 解高 阶 RC 滤 波器 的组 成 和性能 。 2. 实验仪 器 示波器 、信 号发 生器 、交 流毫伏 表、 数字 万用 表。 3. 预习内 容 1) 复习关 于使 用运 放组 成 RC 低 通、 高通 、带 通和 带 阻滤波 电路 的二 阶基 本节 方面的 知识 。 2) 定性绘 制本 实验 所用 电路 的幅频 特性 曲线 和相 频特 性曲线 。 4. 实验内 容 当对滤 波器 要求 不高 时， 往往使 用一 阶基 本节 或二 阶基本 节

2、。 当对 滤波 器要 求较高 时， 就需 要使 用高 阶滤波 器。高 阶滤 波器 通常 由一 阶基本 节和/ 或二 阶基 本节 组成。 低通二 阶基 本节 的传 递函 数只有 一个 ，通 常写 成规 范形式 （即 （10-2 ） 式） 。 可实现 这一 传递 函数 的电 路是多 种多样 的。 高通 、带 通和 带阻二 阶基 本节 亦然 。本 实验选 用了 有限 正增 益低 通二阶 基本 节电 路。 大多数 现有 教科 书 在 RC 有源滤 波器 设计 中， 其 R 、C 参数 是在 运放 为理 想 运放的 假设 下计 算出 来的 。所以 ， 实际电 路的 幅频 特性 曲线 和相频 特性 曲线

3、与理 想的 幅频特 性曲 线和 相频 特性 曲线常 常会 有差 别。 而这 种差别 往往 随着滤 波器 的理 论设 计性 能指标 越高 而变 得越 大。 由于在 有限 正增 益低 通二 阶基本 节电 路中 ，运 放仅 用于组 成有 限增益 放大 器， 所以 ，在 实际电 路中 由“ 理想 运放 ”假设 引起 的差 别很 小。 由（10-2 ） 式可 见， 低通 二阶基 本节 电路 的传 递函 数只有 三个 参数 ， 即 Ao 、L 、QL ，因此 ，最 少只 要 有三个 RC 元件 和一 个运 放就 可构 成一个 二阶 基本 节电 路。 通常， 二阶 基本 节电 路的 元件个 数都 大于 三。

4、 一般 地说， 若二 阶基本 节电 路的 运放 个数 和 R 、C 元件 个数 较多 ， 则电路 的灵 敏度 较低 。这 样的电 路才 有可 能性 能较 高、制 作调 试 较方便 、工 作较 稳定 。实 际中高 性能 的二 阶基 本节 电路常 用两 个或 两个 以上 的运放 来实 现。 通常，RC 有 源滤 波器 是低 频滤波 器， 其上 限频 率大 约为几 十 kHz 。主 要的 制 约 是运 放的 带宽 增益 积。 1 ） 有限 正增 益低 通二 阶基 本 节 图 10.1 所示 电路 为有 限正 增益低 通二 阶基 本节 电路 。对节 点 1 、2 立电 流方 程 ，记节 点 1 的电

5、压为 V1 ， 节点 2 的电压 为 V2 ，对 同相 放大 器立电 压方 程， 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 0 ) ( ) ( V A V V sC g V g V g V sC V g V sC g g Vf o i o (10-1) 其中 g 为 电导 。由 （10-1 ）式可 得低 通二 阶基 本节 传递函 数， 其一 般形 式为 图 10.2 图 10.1 所示 电路 的幅频 特 图 10.1 有 限 正 增 益 低 通 二 阶 基 2 2 L L L 2 2 L 0 i o s Q s A ) s ( V ) s ( V ) s ( A (10-2) 式

6、中 4 p VF 0 R R 1 A A ， 2 1 2 1 L C C R R 1 ， ) A 1 ( C R ) R R ( C C C R R Q VF 1 1 2 1 2 2 1 2 1 L ， Ao 为增益 ，L 为特 征角 频 率，QL 为品质 因数 。在 本 例中， 由 于 R1=R2=R 、C1=C2=C ， 所以 有 L=1/RC 、QL=1/(3 AVF) 。 其幅 频特 性为 ： ) j ( A 2 L L 2 2 L 0 ) Q ( ) ( 1 A (10-3) 由此可 得其 不 同 Q 值的 幅 频特性 曲线 ，如 图 10.2 。 由图 10.2 可 见， 若 QL

7、=0.707 ，则在 截止 频率 = L 处，幅频 特 性下 降 3dB ；称 （0，L ） 为通频 带； 当 QL=0.707 时 ，通频 带内 的幅 频特 性最 平坦； 当 QL0.707 时 ，将 出现峰 值。由 图 10.2 还 可看 到， 在通频 带外 ，幅 频特 性曲 线是 以 40dB/ 十倍 频的 斜 率下降 的。 实 验内 容 写出 Ao 、L 、QL 的灵 敏度表 达式 。例 如， L 关于 1 R 的灵敏 度为 2 1 dR d R R / dR / d S 1 L L 1 1 1 L L R L 1 （10-4 ） 关于 的灵敏 度： 关于 的灵敏 度： ； 同理 ，

8、关于 、 、 的灵 敏度 ； 关于 的灵敏 度： ； 关于 的灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： 调 整电 路， 使其 QL=1 ，步骤 如下 。由 （10-2 ） 式可知 ，在 截止 频 率 fL 处 ，其输 入- 输出 相移 为90 。 调 整输入 正 弦 波信 号的 频率 ，使输 入- 输出 相移 为90 ， 记录 信号 源的 频率 ，该 频率为 电路 的截 止频 率 fL 。由（10- 3 ）式可 知， 在截 止频 率 fL 处， 若 QL=1 ， 则输 出幅 值 为 A0 ； 再由 （10-2 ） 式中 QL 的表达 式可 知， 在本 电 路中， 由 于

9、R1=R2 、C1=C2 ，当 QL=1 时，AVF=2，即 A0=2 。 再 调整 Rp ，使 其输 出正 弦波 的幅值 为输 入 的 2 倍 ，此 时 QL=1 。 记录 Rp 的阻值 。 实验中 测得的 Rp 的阻值为 11.062k 。当 QL=1 时 ，由 A0 的表 达式 可以 算 出 理论 Rp 值 为 10 k ， 实验 值 的相对 误差 为 10.62% 。 测 量并 绘制 QL=1 时电 路的幅 频特 性曲 线， 并与 用（10-3 ） 式绘 制的 幅频 特性曲 线做 比较 。 输 入 信 号有 效值 为 1.00V ， 测量结 果如 下表 ： 3 频率 f(Hz) 10.

10、50 19.00 31.05 38.21 76.00 380.0 输出 幅 值 Ao 2.19 2.31 2.44 2.00 0.574 0.0214 其 中截止 频率为 38.21Hz ，理论 值 为 39.79Hz ， 相 对误差 为 3.97% 。 如 图， 图 中 的黑 点为 实验 数据点 ，曲 线 为 QL 1 时（10 3 ） 式所 绘制的 曲线 ，可 以看 出， 实验数 据与 理论 计算 符合 得很好 。 2 ） 有限正 增益 高通 二阶 基本 节 图 10.3 所示 电路 为有 限正 增益高 通二 阶基 本节 电路 。用实 验 1 ） 的方法 可得 高通 二阶 基本 节传递 函

11、数 的一 般形 式 2 h h 2 2 0 i o s Q s s A ) s ( V ) s ( V ) s ( A (10-5) 式中 4 p VF 0 R R 1 A A ， 2 1 2 1 h C C R R 1 ， ) A 1 ( C R R C R C C C R R Q VF 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 h Ao 为增 益，h 为特 征角 频 率，Qh 为 品质因 数。 在本 例中， 由 于 R1=R2=R 、C1=C2=C ， 所以 有 h=1/RC 、Qh=1/(3 AVF) 。 其幅 频特 性为 ： ) j ( A 2 h h 2 2 h 0 ) Q ( 1 )

12、 ( A (10-6) 由此可 得其 不 同 Qh 值 的幅 频特性 曲线 ，如 图 10.4 。 由图 10.4 可 见， 若 Qh=0.707 ，则在 截止 频率 = h 处，幅频 特 性下 降 3dB ；称 h 为通 频带； 当 Qh=0.707 时 ，通 频带内 的幅 频特 性最 平坦 ；而 当 Qh0.707 时， 将出 现峰值 。 由图 10.4 还 可看 到， 在通 频带外 ，幅 频特 性曲 线是 以 40dB/ 十倍 频的 斜率 下 降的。 实验内 容 (1) 写出 Ao 、h 、Qh 的灵 敏度 表达式 。 关于 的灵敏 度： ； 关于 的灵敏 度： ； 同理 ， 关于 、

13、、 的灵 敏度 ； 图 10.3 有限正 增益高 通二 阶基 本 图 10.4 图 10.3 所示 电路 的 幅频特 性 4 关于 的灵敏 度： ； 关于 的灵敏 度： ； 关于 的灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： (2) 调整电 路， 使 其 Qh=1 ， 步 骤如下 。由 （10-5 ） 式可 知，在 截止 频 率 fh 处， 其 输入- 输出 相移 为 90 。调 整 输入正 弦波 信号 的频 率， 使输入-输 出相 移为 90 ， 记录信 号源 的频 率， 该 频 率为电 路的 截止 频 率 fh 。 由（10- 6 ）式可 知， 在截 止频 率 fh 处， 若 Qh=1 ， 则输

14、 出幅 值 为 A0 ； 再由 （10-5 ） 式中 Qh 的表 达式 可知， 在本 电 路 中，由 于 R1=R2 、C1=C2 ，当 Qh=1 时，AVF=2 ，即 A0=2 。 再调 整 Rp ， 使其 输出 正弦波 的幅 值为 输入 的 2 倍，此 时 Qh=1 。 记录 Rp 的阻 值 。 实验 中 测得的 Rp 的阻值 为 10.380 k ，理论值 为 10 k ，相 对误 差为 3.80% 。 (3) 测量并 绘 制 Qh=1 时 电路 的幅频 特性 曲线 ，并 与用 （10-6 ）式 绘制 的幅 频特 性曲线 做比 较。 输入 信 号有 效值 为 1.00V ， 测量结 果如

15、 下表 ： 频率 f(Hz) 16.00 78.00 156.2 300.0 329.0 1500 输出幅 值 Ao 0.0228 0.573 2.00 2.25 2.27 2.03 其中截 止频 率 为 156.2Hz ，理论 值 为 159.1Hz ，相 对误差 为 1.86% 。 如 图， 图 中 的黑 点为 实验 数据点 ，曲 线 为 Qh 1 时（10 6）式 所绘制 的曲 线 ， 可以 看出 ，实验 数据 与理 论计 算符 合得很 好。 3 ）有限 正增 益带 通二 阶基 本节 图 10.5 所示 电路 为有 限正 增益带 通二 阶基 本节 电路 。用实 验 1 ） 的方法 可得

16、带通 二阶 基本 节传递 函数 的一 般形 式 2 p p p 2 p p 0 i o s Q s s Q A ) s ( V ) s ( V ) s ( A （10-7 ） 式中， ) A 1 ( C R R C R R ) C C ( R R A C R R A VF 2 3 1 2 3 2 2 1 2 1 VF 2 3 2 0 ， 2 1 3 2 1 2 1 p C C R R R R R ， ) A 1 ( C R R C R R ) C C ( R R C C R R R R R Q VF 2 3 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 p ， 4 p VF R

17、R 1 A 。在 本例 中， 由 于 R1=R2=R3=R 、 C1=C2=C ，所 以有 VF VF 0 A 4 A A 、 RC 2 P 、 VF P A 4 2 Q 。 其幅频 特性 为 ) j ( A = 2 p p 2 p 0 ) ( Q 1 A （10-8 ） 幅频特 性曲 线如 图 10.6 所 示。通 频带 带宽 5 p p p p Q f Q 2 BW （10-9 ） 实验内 容 (1) 写出 Ao 、p 、Qp 的灵 敏度 表达式 。 关于 的 灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 的灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 、 的

18、灵 敏度 ： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 、 的灵 敏度 ： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： ； 关于 的 灵敏 度： (2) 测量其 中心 频 率 fp 、增 益 Ao 。在 其中 心频 率 fp 处， 其输入-输 出相 移为 0 。 调 整 RP ，使 Qp=1 ，即使 fH- fL=fp ，fH 为上边 频，fL 为下 边频。 将 Qp=1 、fP 、|A(j )|=0.707A0 代入（10-8 ） 式 ，可求 出 fL 、fH ， 将信 号源 频率调 至 fL ，调 整 RP ， 使输 出幅 值 为 0.

19、707A0 ；再 将信 号源 频 率调 至 fH ，此 时输 出幅 值 应为 0.707A0 ； 若不 为 0.707A0 ，可 微 调 RP ， 最终 使 fH-fL=fp 。记 录 RP 的阻 值。 实验中 测量 得 RP 的阻值 为 16.682 k 。当 Qp=1 时 ，AVF=4-2 ，得 RP 的理 论 值 为 15.86 k ，相 对误 差为 图 10.6 图 10.5 所示 电路 的 幅频特图 10.5 有 限正 增益 带通 二 阶基本 节 Q p=1 6 5.20% 。 (3) 测量并 绘 制 Qp=1 时 电路 的幅频 特性 曲线 ，并 与用 （10-8 ）式 绘制 的幅

20、频特 性曲线 比较 。 输入 信 号有 效值 为 1.00V ， 测量结 果如 下表 ： 频率 f(Hz) 20.00 136.0 223.5 366.0 2000 输出幅 值 Ao 0.164 1.29 1.82 1.29 0.206 其中 中 心频率为 223.5Hz ，理论 值为 225.1 Hz ， 相 对误差 为 0.70%； 上 边频 为 136.0 Hz ，理论 值为 139.1Hz ， 相 对误 差为 2.23% ；下边 频为 366.0 Hz ，理论 值为 364. 2Hz ，相 对 误 差为 0.49% 。 如 图， 图中 的黑 点为 实验 数据点 ，曲 线 为 Qh 1

21、时（10-8 ）式 所 绘制的 曲线 ，可 以看 出， 实验数 据与 理论 计算 符合 得很好 。 4 ）单位 正增 益双 T 网络 带 阻二阶 基本 节 图 10.7 所示 电路 为单 位正 增益 双 T 网络 带阻 二阶 基 本节电 路。 用实 验 1 ） 的 方法可 得带 阻二 阶基 本节 传递函 数的一 般形 式 2 n n n 2 2 z 2 0 i o s Q s ) s ( A ) s ( V ) s ( V ) s ( A （10-10 ） 在电路 中， 1 A A VF 0 ；若 R1=R2=2R3=R ，C1=C2=1/2C3=C ， 则 有 RC 1 z n ， 2 1

22、) A 2 ( 2 1 Q VF n 。其 幅频特 性曲 线如 图 10.8 所 示。 测量 其幅 频特 性曲 线。 求 其中心 频率 （幅 值最 小时 的频率 ）和 中心 频率 处的 增益。 输入 信 号有 效值 为 1.00V ， 测量结 果如 下表 ： 频率 f(Hz) 10.00 30.00 60.00 77.00 81.15 输出幅 值 Ao 0.96436 0.75879 0.29300 0.052790 0.005059 频率 f(Hz) 85.00 100.0 300.0 500.0 1000 输出幅 值 Ao 0.046264 0.20494 0.85767 0.94260

23、0.98155 其中中 心频率为 81.15Hz ，理论 值为 79.58Hz ，相 对误差 为 1.98% 。 中心 频率 处的增 益 为 0.005059 。 若要 求提 高电 路的 品质 因 数，如 何修 改 图 10.7 所示 的电路 ？试 用 EWB 模拟 。 由 Qn 的 表达 式可 知， 减小 AVF 可提高 电路 的品 质因 数 ， 所 以可 仿照 前几 个滤 波 电路 ， 在 放大 器负 级和 输 出端之 间增 加分 压 电路 。如 下图 所示 ， ，当 趋近于 2 时， 品质 因数趋 向于 无穷 大， 阻断 范围越 窄。 可算 得此时 幅频 特性 为： 图 10.7 单位

24、正增 益双 T 网络 带阻二 阶基 本节 图 10.8 图 10.7 所 示电 路 的幅频 特 7 可画 出 新电 路的 幅频 特性 曲线图 ，如 图三 条曲 线从 上到下 ，分 别 是 品质 因数 10 ，1 和 0.1 时的幅 频特 性 曲线 。 由此 可 知， 在 0 到 1 之间取值， 比值 越大 ， 越大， 品质因 数 越大， 电路 选频 范围越 窄 。 5 思 考题 1 ） 在图 10.1 中 ，改 变 Rp ， 由实验 找出 该电 路可 能达 到最 大 的品 质因 数。 试述 实测值 与理 论计 算值 有差 别的 原因。 答 ：使用 EWB 软件 进行 模拟 ，Rp 最大 可至

25、87% ， 此 时品质 因数 为 11.63 。理论上使用 EWB 软件 可将 Rp 最大调 到 90% ， 品质 因数 为 50 。 除实验 器材 误差 外， 品质 因数过 大 时 ， 在 截止 频率 处， 电路 增 益 极 大， 可能会使软件 计算过程 中 有数据 溢出 （ 实验 中 即超 出器材 量 程） ， 导致错误 ， 电路 不能 安全 工作。 2) 图 10.1 中， 改变 Rp ， 若使 Rp 大于 20k ， 电路 会发 生 什么情 况？ 试从 理论 上给 予说明 。 答： 会 发生 自激 振荡。 在 RC 滤 波 电路 中， 信号 每通过 一个 RC 网格 就 会产生一个相

26、移。 在 图 （10 1 ） 所示的 电路 中 ， 正常 工作 时 ， 信号 从放大 器 正极 经过 了两个 RC 网格 ， 每个 RC 产生 90 度的相移 ， 从而 使负 极 信号产 生 180 度 的 相移 ， 形成 稳定 的负 反馈 放大 电路 。 当 Rp 大于 20k 时， 负反馈 过 大 ， 使得 信号 的相移 超 过 180 度， 原本 的 负反馈 因为 相移 过大 变 成 了 正 反馈 ， 使正极信号进 一步 增大 ， 从而 引起 自 激 振荡 。 消除 自激 振荡 ， 可以 减小 RC 电路 引起 的 相移 ，如在 （10 1 ）电路 中 减小 C1 或 减小 R1 或增大

27、 C2 或增大 R2 ，用 EWB 分别 验证 ，可 以 使电路在 Rp 大于 20k 也能正常 工作 （ 也可以 从 QL 的表达 式看 出来 ， 只要 使其分母 大于 0 即可 保证 电路能 正 常 工作 ） 。 3) 在图 10.1 中 ，当 QL=1 时 ，为了 寻找 截止 频率 为什 么观察 相位 而不 观察 幅值 ？ 答： 在截止 频率 处 ， 相 移 为 90 度 ， 不 随 QL 值变化 ； 而在幅 值 最 大处 ， 由 （10 2 ） 式 可严格 求 得 ， 当 QL 较 大 时 ， 可 近似 认为 幅值最大 处 就是 截止 频率 处， 而 QL=1 时 ， 幅 值最大处 0.707 。 因此 不 可 以 通过 观 察 幅值 来寻找 截止 频率 。