1、第- 1 -页高 三 数 学 复 习 提 纲排列、组合、二项式定理一基础知识:1.分类计数原理（加法原理） .12nNm2.分步计数原理（乘法原理） .3.排列数公式 = = .( ， N *，且 )mnA)()1n ！ )(nm注:规定 .!04.排列恒等式 (1） ;（2） ;1()mmnnA1mmnnA（3） ; 1n（4） ;（5） .11mmnn(6) .!23!(1)!5.组合数公式 = = = ( N *， ，且 ).mnCA1)( ！ ！ )mn Nmn6.组合数的两个性质(1) = ;(2) + = .nmnC1注:规定 .07.组合恒等式（1） ;（2） ;1mmnn1mm
2、nnC（3） ; （4） = ;1Cr0（5） .12nrr(6) .rnnnC210 (7) .142053 n(8) .1321 nnn(9) .rmrrmrC010(10) .nnnnn C2222 )()()(8.排列数与组合数的关系 .mA！9单条件排列以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列.（1） “在位”与“不在位”第- 2 -页某（特）元必在某位有 种；某（特）元不在某位有 （补集思想）1mnA1mnA（着眼位置） （着眼元素）种.1mnA1n（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴： 个元在固定位的排列有 种.)(kkmn浮动紧贴： 个元素的全排列把 k 个元排在一
3、起的排法有 种.注：此类问题常用捆绑法；k1插空：两组元素分别有 k、h 个（ ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近1的所有排列数有 种.khA1（3）两组元素各相同的插空 个大球 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？mn当 时，无解；当 时，有 种排法.1mnnmCA1（4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 .nmC9分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法数共有.mnnmnmCCN)!(22（2）(平均分组无归属问题)将相异的 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配方法
4、数共有.mnnmnm )!(!.2（3）(非平均分组有归属问题) 将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完，)12P=n+m分别得到 ， ， 件，且 ， ， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数共有1212.!.2mnpn npCNm（4）(非完全平均分组有归属问题) 将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分)12mP(=n+完，分别得到 ， ， 件，且 ， ， 这 个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分1212配方法数有 .!.1cbamnpn12!.()mpabc（5）(非平均分组无归属问题) 将相异的 个物体分为任意的 ， ， 件1P=n+1n2mn无记号的 堆，且 ， ， 这 个数彼
5、此不相等，则其分配方法数有 .m1n2mn !pN（6）(非完全平均分组无归属问题) 将相异的 个物体分为任意的 ， ，)12m(12件无记号的 堆，且 ， ， 这 个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数有n12.!)(!.21cbapNm（7）(限定分组有归属问题)将相异的 （ ）个物体分给甲、乙、丙，等 个p2mn1+m人，物体必须被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，时，则无论 ， ， 等1n31n2n个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.!.21211 mnpnCm10.二项式定理 ;nrnrnn bCabaCab 210)(二项展开式的通项公式 .rrnrbT1
6、 )0(， 第- 3 -页.二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；(2) 若 n 为偶数，中间一项（第 1 项）的二项式系数最大；若 n 为奇数，中间两项（第 和2n 21n1 项）的二项式系数最大；2（3） ;2; 13120210 nnnnnn CCC11.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和为 ；偶数项的系数和为)(f；)(2f概率一基础知识:1.等可能性事件的概率.()mPAn2.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)164. 个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A 2A n)=P(A1)P(A 2)
7、P(A n)3.独立事件 A，B 同时发生的概率P(AB)= P(A)P(B).4.n个独立事件同时发生的概率P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)5.n次独立重复试验中某事件恰好发生 k次的概率()().kknPCP6. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A 与 、 与 及事件 与 也都是互斥事件；BAB7.如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1P（AB）1P(A)P(B) ；8.如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1P（ ）1P( )P( )；AB概率与统计一基础知识:1.离散型随机变量的分布列的两个
8、性质（1） ;0(1,2)iP（2） .2.数学期望 12nExxP 170.数学期望的性质（1） .()(abE（2）若 ,则 .Bp(3) 若 服从几何分布 ,且 ，则 .1()(,)kkgpq1Ep4.方差第- 4 -页22211 nnDxEpxpxEp 5.标准差= .6.方差的性质(1) ；2ab(2）若 ，则 .(,)Bnp(1)Dnp(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .1,kPkgqp2qD7.方差与期望的关系.22DE8.正态分布密度函数，式中的实数 ， （ 0）是参数，分别表示个体的平均261,xfxe数与标准差.9.标准正态分布密度函数.21,6xfxe10.对于 ，取值
9、小于 x的概率2()N.F12201 PxPFx.21二基本方法和数学思想1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）p i0,i=1,2,; (2) p1+p2+=1;2.二项分布：记作 B （n,p ）,其中 n,p 为参数， 并记 ； ,)(knkqCP ),;(pnkbqnk3.记住以下重要公式和结论：x1 X2 xn P P1 P2 Pn （1）期望值 E x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; （2）方差 D ;nnpExE22)()()( （3）标准差 ； Dabab; （
10、4）若 B（n,p）,则 E np, D npq,这里 q=1-p;4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法） ；（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；6.正态总体的概率密度函数： 式中 是参数，分别表示总体的平均数与标,21)(2)(Rxexf,准差；第- 5 -页7.正态曲线的性质：（1）曲线在 x 时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲
11、线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；（3）曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x= 对称；8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 的概率 P（x 1 x2）,可由变换),(2N而得 ，于是有 P（x 1 x2） ；tx)()xF)(1x9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从正态分布 ；（2）确定一次试,验中的取值 a 是否落入范围 ；（3）作出推断：如果 a ，接受统计),( )3(假设；如果 a ,由于这是小概率事件，就拒绝假设；)3,(导数一基础知识:1. 在 处的导数（或变化率或微商）)(xf0.0 00()(li
12、mlixxfxfyy2.瞬时速度.00()()lilittstss3.瞬时加速度.00()()lilittvtvav4. 在 的导数xf,b.()dyfx00()(limlixyffx5. 函数 在点 处的导数的几何意义)(函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切f0 )(f)(,0fP)(0xf线方程是 .)0y6.几种常见函数的导数(1) （C 为常数）.(2) .1()()nxQ(3) .xcossi(4) .i(5) ； .)ln eaxlog)(l(6) ; .xean7.导数的运算法则（1） .()uv（2） .（3） .2()(0)8.复合函数的求导法则 第-
13、6 -页设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点 U处有导数()ux()xu)(ufyx，则复合函数 在点 处有导数，且 ，或写作 .()uyf ()yf x ()()xffux10.判别 是极大（小）值的方法当函数 在点 处连续时，0 f0（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；0f)()(f（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.x)(xxf二基本方法和数学思想1.导数的定义：f(x)在点 x0处的导数记作 ；xfffyxx )(lim)(00002.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量（2） (2)求平均变化率 ; );(ffy f)（3）取
14、极限,得导数 ;xy0lim3.可导与连续的关系：如果函数 y=f(x)在点 x0处可导，那么函数 y=f(x)在点 x0处连续；但是 y=f(x)在点x0处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线 yf（x）在点 P（x 0,f(x0)）处的切线的斜率是 相应地，切线方程是).(0f);(00xfy5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数 yf（x）在某个区间内可导，如果那么 f(x)为增函数；如果 那么 f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有 那,)(f ,0)(xf ,0)(xf么 f(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤：求导数 ；求方程 的根；检验 在方程)(f 0
15、)(xf )(f根的左右的符号，如果左正右负，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那0)(xf么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求 y=f(x)在(a,b)内的极值；将 y=f(x)在各极值点的极值与f（a） 、 f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值6 导数与函数的单调性的关系 与 为增函数的关系。0)(xf)(f能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但x 3)(xf),(， 是 为增函数的充分不必要条件。fff 时， 与 为增函数的关系。0)(x0)()(x若将 的根作为分界点，因为规定
16、 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一f 0)(xf )(xf定有 。当 时， 是 为增函数的充分必要条件。)()(f)(f 与 为增函数的关系。0xf为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或)( 0)(xf 0)(xf 0)(xf。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。 是f )(xf 为增函数的必要不充分条件。x函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，第- 7 -页用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
